スピン量子数

物理学と化学において、スピン量子数とは、電子やその他の粒子の固有角運動量（またはスピン角運動量、あるいは単にスピン）を表す量子数（sと表記）である。これは、同じ種類のすべての粒子に対して同じ値を持ち、たとえばs = ⁠1/2⁠すべての電子に対して。光子などのすべてのボソンに対しては整数、電子や陽子などのすべてのフェルミオンに対しては半奇数整数です。

特定の軸に沿ったスピンの成分は、スピン磁気量子数で与えられ、慣例的にm _sと表記される。^{[1] [2]} m _sの値は、特定の方向（慣例的にz軸と呼ばれる）に平行な、縮約プランク定数 ħを単位とするスピン角運動量の成分である。整数増分で + sから− sまでの値を取ることができる。電子の場合、m _sは⁠++1/2⁠または⁠−+1/2⁠ .

スピン量子数という用語は、量子化されたスピン角運動量を指します。記号sはスピン量子数に使用され、m _sはスピン磁気量子数^[3]またはスピンs _zのz成分として記述されます。^[4]

全スピンとスピンのz成分は量子化されており、スピン量子数とスピン磁石量子数の2つの量子数が生じる。^[5]（全）スピン量子数は、素粒子ごとに1つの値しか持たない。一部の入門化学教科書では、m _sをスピン量子数と記述しているが、^{[6] [7]} sは、その値が⁠1/2⁠ は電子の固定された性質であり、m _sの代わりに変数sを使用する人もいます。^[5]

２つのスピン量子数と は、 ２つの軌道角運動量量子数とのスピン角運動量類似体である。^{[8] : 152}${\displaystyle s}$${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle l}$${\displaystyle m_{l}}$

スピン量子数は、複数の電子を含む原子など、結合スピンのシステムにも適用されます。大文字の記号が使用されます。電子スピン全体はS、z軸成分はm _SまたはM _Sです。スピン一重項状態の電子対はS = 0、三重項状態の電子対はS = 1 で、m _S = -1、0、または +1です。核スピン量子数は、慣例的に、スピンはI、z軸成分はm _IまたはM _Iと表記されます。

「スピン」という名前は、ウーレンベックとグードシュミットによって提唱された、軸の周りを電子が幾何学的に回転することから来ています。しかし、この単純な図は、電子が光速よりも速く回転する必要があるため、物理的に非現実的であることがすぐに認識されました。^[9]そのため、より抽象的な量子力学的説明に置き換えられました。

1916年から1925年にかけて、周期表における電子の配置に関して大きな進歩が遂げられていた。ボーア原子におけるゼーマン効果を説明するために、ゾンマーフェルトは、電子は軌道の大きさ、軌道の形、軌道が向いている方向を表す3つの「量子数」n、k、mに基づいていると提唱した。^[10] アーヴィング・ラングミュアは、電子殻内の電子に関する1919年の論文で、「リュードベリは、これらの数は数列から得られると指摘した。係数2は、すべての安定した原子に基本的な二重対称性があることを示唆している」と説明していた。^[11]この構成は、エドモンド・ストーナーが1924年10月に哲学雑誌に掲載した論文「原子レベル間の電子の分布」で 採用された。${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$${\displaystyle 2n^{2}}$

ゾンマーフェルトの量子数体系は定性的に成功したが、弱い磁場強度におけるゼーマン効果、すなわち異常ゼーマン効果を説明することはできなかった。1924年12月、 ヴォルフガング・パウリは、これまで想定されていたように、コア電子の角運動量はこの効果とは関係ないことを示した。^{[12] : 563}むしろ、彼は外側の「軽い」電子だけが角運動量を決定すると提案し、これには2値性を持つ4番目の量子数が必要であると仮説を立てた。^[13]この4番目の量子数がスピン磁気量子数となった。

スピン- ⁠ 1 /2⁠粒子はスピンsの角運動量量子数によって特徴付けられる= ⁠ 1 /2⁠ 。シュレーディンガー-パウリ方程式の解では、角運動量はこの数に従って量子化されるため、スピン角運動量の大きさは

$${\displaystyle \|{\mathbf {S}}\|=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\ \hbar ~.}$$

水素スペクトルの微細構造は、角運動量のz成分の 2 つの可能性に対応する二重線として観測されます。 任意の方向zに対して、$${\displaystyle s_{z}=\pm {\tfrac {1}{2}}\hbar ~.}$$

その解は、電子のz成分が 2 つだけ存在することを示しています。電子では、2 つの異なるスピンの向きは、「スピンアップ」または「スピンダウン」と呼ばれることがあります。

電子のスピン特性により磁気モーメントが生じ、これが 4 番目の量子数に必要な条件となります。

電子スピンの磁気モーメントベクトルは次のように表されます。

$${\displaystyle \ {\boldsymbol {\mu}}_{\text{s}}=-{\frac {e}{\ 2m\ }}\ g_{\text{s}}\ {\mathbf {S}}\ }$$

ここで、は電子電荷、は電子質量、は電子スピンg因子で、約2.0023です。そのz軸投影は、スピン磁気量子数によって次のように与えられます。 ${\displaystyle -e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g_{\text{s}}}$${\displaystyle m_{\text{s}}}$

$${\displaystyle \mu _{z}=-m_{\text{s}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}=\pm {\tfrac {1}{2}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}\ }$$

ボーア磁子はどこにありますか。 ${\displaystyle \ \mu _{\mathsf {B}}\ }$

原子が偶数の電子を持つ場合、各軌道の各電子のスピンは、そのすぐ隣の電子のスピンと反対の方向を向いています。しかし、多くの原子は、奇数の電子、または「スピンアップ」と「スピンダウン」の方向の数が不均等な電子配置を持っています。これらの原子または電子は、電子スピン共鳴で検出される不対スピンを持つと言われています。

原子核もスピンを持っています。核スピンIは各核の固定された特性で、整数または半整数のいずれかになります。z 軸に平行な核スピンの成分m I は( ₂ I + 1) 個の値 I 、I –1、...、–I を持ちます。たとえば、 14 N核はI ⁼ 1であるため、z軸に対して 3 つの可能な向きがあり、状態m _I = +1、0、および -1 に対応します。^[14]

異なる原子核のスピンIは、原子核殻モデルを使用して解釈されます。12 ^Cや¹⁶ Oなどの陽子と中性子の両方が偶数である偶偶原子核は、スピンがゼロです。質量数が奇数の原子核は、次のように半整数のスピンを持ちます。3/ 2 ⁠ ⁷ Liの場合、⁠ 1 /2⁠ ¹³ Cおよび⁠​5/ 2 ⁠ ¹⁷ Oの場合、これは通常、最後に追加された核子の角運動量に対応します。陽子と中性子の両方が奇数の奇数核は整数スピンを持ちます。たとえば、 ¹⁰ Bの場合は 3 、¹⁴ Nの場合は 1 です。^[15]特定の同位体の核スピンの値は、各元素の同位体リストに記載されています。（酸素の同位体、アルミニウムの同位体などを参照）

水素スペクトルの線を非常に高い解像度で調べると、それらは密集した二重線であることがわかります。この分裂は微細構造と呼ばれ、電子スピンの最初の実験的証拠の 1 つでした。電子の固有角運動量の直接観測は、シュテルン・ゲルラッハ実験で達成されました。

磁場内に位置する原子の電子の運動量のスピンモーメントの空間量子化の理論は、実験的に証明する必要がありました。1922 年(スピンの理論的記述が作成される 2 年前)、オットー シュテルンとウォルター ゲルラッハは、彼らが行った実験でこれを観察しました。

銀原子は真空中の電気炉で蒸発させられました。薄いスリットを使って原子を平らなビームに導き、ビームは不均一な磁場を通過してから金属板に衝突しました。古典物理学の法則によれば、板上の凝縮した銀原子の集合は元のビームと同じ形の細い実線を形成するはずです。しかし、不均一な磁場によってビームは 2 つの方向に分裂し、金属板上に 2 本の線ができました。

この現象は、運動量のスピンモーメントの空間量子化によって説明できます。原子では、電子はペアになっており、一方が上向きに、もう一方が下向きにスピンし、原子全体の動作に対するスピンの影響を中和します。しかし、銀原子の価電子殻には、スピンが不均衡なままの電子が 1 つあります。

不均衡なスピンはスピン磁気モーメントを生み出し、電子を非常に小さな磁石のように働かせる。原子が不均質な磁場を通過すると、磁場の力モーメントが電子の双極子に影響を与え、その位置が強い磁場の方向と一致するまで続く。原子は、価電子のスピンの値に応じて、特定の量だけ強い磁場に向かって引っ張られたり、強い磁場から引き離されたりする。電子のスピンが⁠+の場合、+ 1 /2⁠原子はより強い磁場から遠ざかり、スピンが⁠−+ 1 /2⁠原子はそれに向かって移動します。このように、銀原子のビームは、各原子の価電子のスピンに応じて、不均一な磁場を通過する際に分割されます。

1927 年、フィップスとテイラーは水素原子を使用して同様の実験を行い、同様の結果を得ました。その後、科学者は価電子殻に電子を 1 つしか持たない他の原子 (銅、金、ナトリウム、カリウム)を使用して実験を行いました。そのたびに、金属板上に 2 本の線が形成されました。

原子核もスピンを持っている可能性がありますが、陽子と中性子は電子よりもはるかに重く（約1836倍）、磁気双極子モーメントは質量に反比例します。そのため、核磁気双極子運動量は原子全体の磁気双極子運動量よりもはるかに小さくなります。この小さな磁気双極子は、後にシュテルン、フリッシュ、イースターマンによって測定されました。

不対電子を持つ原子や分子の場合、電子軌道や他の量子数に変化がなく、スピン量子数だけが変化する磁場中の遷移も観測される。これは、フリーラジカルの研究に使用される電子常磁性共鳴(EPR) または電子スピン共鳴 (ESR)の手法である。スピンの磁気相互作用のみが変化するため、エネルギー変化は軌道間の遷移よりもはるかに小さく、スペクトルはマイクロ波領域で観測される。

非相対論的パウリ方程式または相対論的ディラック方程式の解については、量子化された角運動量（角運動量量子数を参照）は次のように表される。 ここで $${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)\,}}\,\hbar }$$

• ${\displaystyle \mathbf {s} }$量子化されたスピンベクトルまたはスピノルである
• ${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert }$スピンベクトルのノルムである
• sはスピン角運動量に関連するスピン量子数である。
• ${\displaystyle \hbar}$は換算プランク定数です。

任意の方向z（通常は外部磁場によって決定される）が与えられた場合、スピンz投影は次のように与えられる。

${\displaystyle s_{z}=m_{s}\,\hbar }$

ここで、m _{s は}磁気スピン量子数であり、 − sから+ sまで1 ずつの範囲です。これにより、2  s + 1 個の異なるm _s値が生成されます。

sに許される値は、負でない整数または半整数です。フェルミオンは半整数値を持ち、電子、陽子、中性子はすべてs = ⁠+です。 + 1 /2⁠。 光子やすべての中間子などのボソンは整数のスピン値を持ちます。

スピンの代数理論は、量子力学理論における角運動量のコピーです。 ^[16] まず、スピンは基本的な交換関係を満たしています。 ここで、は（反対称の）レヴィ・チヴィタ記号です。これは、不確定性原理の制限により、スピンの2つの座標を同時に知ることは不可能であることを意味します。 $${\displaystyle \ [S_{i},S_{j}]=i\ \hbar \ \epsilon _{ijk}\ S_{k}\ ,}$$ $${\displaystyle \ \left[S_{i},S^{2}\right]=0\ }$$${\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\ }$

次に、およびの固有ベクトルは次の式を満たします。 ここで はラダー(または「上げる」および「下げる」) 演算子 です。${\displaystyle \ S^{2}\ }$${\displaystyle \ S_{z}\ }$$${\displaystyle \ S^{2}\ |s,m_{s}\rangle ={\hbar }^{2}\ s(s+1)\ |s,m_{s}\rangle \ }$$ $${\displaystyle \ S_{z}\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ m_{s}\ |s,m_{s}\rangle \ }$$ $${\displaystyle \ S_{\pm }\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)\ }}\;|s,m_{s}\pm 1\rangle \ }$$${\displaystyle \ S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}\ }$

1928 年、ポール・ディラックは、現在ディラック方程式と呼ばれる相対論的波動方程式を開発しました。この方程式は、スピン磁気モーメントを正しく予測し、同時に電子を点状の粒子として扱いました。水素原子内の電子のエネルギー準位についてディラック方程式を解くと、 s を含む 4 つの量子数すべてが自然に生じ、実験とよく一致しました。

いくつかの原子では、複数の不対電子のスピン（s ₁、s ₂、...）が結合して、全スピン量子数 S を形成します。[ 17 ] [ ^{18 ]}これは特に軽い原子（または軽い原子のみで構成された分子）で、スピン軌道結合がスピン間の結合や軌道角運動量間の結合に比べて弱い場合に発生します。LとS は運動定数であるため、この状況はL S結合として知られています。ここで、Lは全軌道角運動量量子数です。^[18]

明確に定義されたS を持つ原子の場合、状態の多重度は2 S + 1と定義されます。これは、 S ≤ L (典型的なケース)を条件として、特定の ( L、S ) 組み合わせに対する合計 (軌道プラススピン) 角運動量Jの可能な異なる値の数に等しくなります。たとえば、S = 1 の場合、三重項を形成する 3 つの状態があります。これら 3 つの状態のS _zの固有値は、 +1ħ、0、および-1ħです。^[17]原子状態の用語記号は、 L、S、およびJの値を示します。

例えば、酸素原子と二酸素分子の基底状態はどちらも2つの不対電子を持ち、したがって三重項状態である。原子状態は記号³ Pで表され、分子状態は記号³ Σで表されます。⁻
_グラム。

• 全角運動量量子数
• 回転分光法
• 基本的な量子力学

• ワイス、マイケル (2001)。「スピンの完全な解説 - スピン理論の起源、発展、スピン方程式の詳細を含む」。カリフォルニア大学リバーサイド校数学部。