コーシー分布

線の前に立って、線に向かって一様に分布したランダムな角度でボールを蹴ると、ボールが線に当たる点の分布はコーシー分布になる。

例えば、ある点を考えてみましょう。${\displaystyle (x_{0},\gamma )}$xy平面上で、点を通る直線を選択し、その方向（点との角度）を指定します。${\displaystyle x}$x軸)は、ランダムに一様に（-180°から0°の間で）選択される。直線とx軸の交点は、位置がコーシー分布に従う。${\displaystyle x_{0}}$スケール${\displaystyle \gamma }$。

この定義は、標準コーシー分布からサンプリングする簡単な方法を示しています。${\displaystyle u}$一様分布からのサンプルである${\displaystyle [0,1]}$そうすればサンプルを生成できます。${\displaystyle x}$標準コーシー分布から

$${\displaystyle x=\tan \left(\pi (u-{\tfrac {1}{2}})\right)}$$ いつ${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$が期待値0、分散1の2つの独立した正規分布確率変数である場合、比率は${\displaystyle U/V}$標準コーシー分布に従う。

より一般的に言えば、${\displaystyle (U,V)}$平面上で回転対称分布である場合、比率は${\displaystyle U/V}$標準コーシー分布に従う。

コーシー分布は、次の確率密度関数(PDF)を持つ確率分布です^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$$

どこ${\displaystyle x_{0}}$は位置パラメータであり、分布のピークの位置を指定します。${\displaystyle \gamma }$は、半値全幅 (HWHM) を指定するスケールパラメータです。${\displaystyle 2\gamma }$半値全幅（FWHM）のことです。${\displaystyle \gamma }$は四分位範囲の半分にも等しく、確率誤差と呼ばれることもあります。^{[ 1 ]}この関数はローレンツ関数^{[ 3 ]}としても知られており、初期デルタ関数の例であり、したがって極限ではディラックのデルタ関数に近づきます。$\gamma \to 0$オーギュスタン＝ルイ・コーシーは1827年に無限小スケールパラメータを持つこのような密度関数を利用し、このディラックデルタ関数を定義した。

コーシー分布は、以下の累積分布関数（CDF）を持つ確率分布です。 $${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$$

コーシー分布の 分位関数（逆累積分布関数）は$${\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$$ したがって、第1四分位数と第3四分位数は${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0}+\gamma )}$したがって、四分位範囲は${\displaystyle 2\gamma }$。

標準分布の場合、累積分布関数は逆正接関数に簡略化される。${\displaystyle \arctan(x)}$: $${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left(x\right)+{\frac {1}{2}}}$$

標準コーシー分布は自由度1のスチューデントのt分布であり、スチューデントのt分布を構築する任意の方法で構築することができる。^{[ 6 ]}

もし${\displaystyle \Sigma }$は${\displaystyle p\times p}$対角成分が厳密に正である正半定値共分散行列の場合、独立かつ同一の分布に従う。${\displaystyle X,Y\sim N(0,\Sigma )}$そしてランダムな${\displaystyle p}$-ベクター${\displaystyle w}$独立して${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$そのため${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$そして${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$（ カテゴリカル分布を定義する） ^{[ 7 ]}が成り立つ。$${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}w_{j}{\frac {X_{j}}{Y_{j}}}\sim \mathrm {コーシー} (0,1)。}$$

もし${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$が標準コーシー分布からのIIDサンプルである場合、そのサンプル平均は${\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}}$標準コーシー分布も成り立つ。特に、平均値は平均に収束しないため、標準コーシー分布は大数の法則に従わない。

これは、確率密度関数（PDF）を用いた繰り返し積分によって証明できるが、より簡便な方法として、標準コーシー分布の特性関数を用いることで証明できる（下記参照）。$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}.}$$これで、$\displaystyle \varphi _{\sum _{i}X_{i}}(t)=e^{-n|t|}}$、 など${\displaystyle {\bar {X}}}$標準コーシー分布に従う。

より一般的に言えば、${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$は独立で、位置パラメータを持つコーシー分布に従う。${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$そしてスケール${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$、 そして${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$実数である場合、$\sum_ia_iX_i$コーシー分布は位置によって決まります${\textstyle \sum _{i}a_{i}x_{i}}$スケール${\textstyle \sum _{i}|a_{i}|\gamma _{i}}$独立したコーシー分布の重み付き和には、大数の法則は存在しないことがわかります。

これは、中心極限定理における有限分散の条件を省略できないことを示している。また、これは中心極限定理のより一般化されたバージョンの一例であり、すべての安定分布に共通する特徴であり、コーシー分布はその特殊な場合である。

もし${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$PDF を持つ IID サンプル${\displaystyle \rho }$そのため$\lim _{c\to \infty }{\frac {1}{c}}\int _{-c}^{c}x^{2}\rho (x)\,dx={\frac {2\gamma }{\pi }}}$有限だがゼロではない場合、${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$分布はスケールを持つコーシー分布に収束する${\displaystyle \gamma }$[ ^{10 ]​}

させて${\displaystyle X}$はコーシー分布に従う確率変数を表す。コーシー分布の特性関数は次のように与えられる。

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}.}$$

これは確率密度のフーリエ変換に他なりません。元の確率密度は、本質的には逆フーリエ変換を用いることで、特性関数を用いて表現することができます。

$${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!}$$

分布の n 次モーメントは、特性関数のn次導関数を で評価したものです。${\displaystyle t=0}$特性関数は原点で微分できないことに注意してください。これは、コーシー分布がゼロ次モーメントよりも高い明確なモーメントを持たないという事実に対応します。

2 つのコーシー分布間のカルバック・ライブラー情報量は、次の対称閉形式公式を持つ: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{x_{0,1},\gamma _{1}}:p_{x_{0,2},\gamma _{2}}\right)=\log {\frac {{\left(\gamma _{1}+\gamma _{2}\right)}^{2}+{\left(x_{0,1}-x_{0,2}\right)}^{2}}{4\gamma _{1}\gamma _{2}}}.}$$

2 つのコーシー分布間のf 発散は対称であり、カイ二乗発散の関数として表現できます。^{[ 12 ]}全変動、ジェンセン・シャノン発散、ヘリンジャー距離など の閉形式の表現が利用可能です。

コーシー分布のエントロピーは次のように表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\gamma )&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma ))\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\end{aligned}}}$$

コーシー分布における分位関数の導関数、すなわち分位密度関数は次のようになります。

$${\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \pi \,\sec ^{2}\left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$$

分布の微分エントロピーは、その分位密度を用いて定義できる。[ ^{13 ]具体}的には、

$${\displaystyle H(\gamma )=\int _{0}^{1}\log \,(Q'(p;\gamma ))\,\mathrm {d} p=\log(4\pi \gamma )}$$

コーシー分布は、ランダム変数の最大エントロピー確率分布である。${\displaystyle X}$^[ 14 ^]​

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\log \left(1+{\left({\frac {X-x_{0}}{\gamma }}\right)}^{2}\right)\right]=\log 4}$$

コーシー分布は、明確な（あるいは「不定な」）モーメントを持たない分布として、初等確率論の授業でよく反例として用いられる。

サンプルモーメント

IIDサンプルを取る場合${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$標準コーシー分布から、標本平均の系列は次のようになる。${\textstyle S_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$これも標準コーシー分布に従います。したがって、項数をいくつ取っても、標本平均は収束しません。

同様に、標本分散${\textstyle V_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(X_{i}-S_{n}\right)}^{2}}$収束もしない。

典型的な軌跡${\displaystyle S_{1},S_{2},...}$ゼロへの緩やかな収束が長期間続き、ゼロから大きく離れるジャンプが断続的に発生するものの、決して遠く離れることはないように見える。典型的な軌跡は${\displaystyle V_{1},V_{2},...}$見た目は似ているが、ジャンプの蓄積速度が減衰速度よりも速く、無限大へと発散していく。これら2種類の軌跡を図に示す。

標本モーメントのうち1次未満のものはゼロに収束する。標本モーメントのうち2次以上のものは、標本分散よりもさらに速く無限大に発散する。

• もし${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$それから${\displaystyle kX+\ell \sim {\textrm {Cauchy}}(x_{0}k+\ell ,\gamma |k|)}$^{[ 17 ]}
• もし${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma _{0})}$そして${\displaystyle Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{1},\gamma _{1})}$独立している場合、${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}+x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})}$そして${\displaystyle X-Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}-x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})}$
• もし${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,\gamma )}$それから${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} (0,{\tfrac {1}{\gamma }})}$
• マッカローによるコーシー分布のパラメータ化：^{[ 18 ]} 1つの複素パラメータでコーシー分布を表現する${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }$、 定義する${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$意味する${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},|\gamma |)}$。 もし${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$それから：$${\displaystyle {\frac {aX+b}{cX+d}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\frac {a\psi +b}{c\psi +d}}\right)}$$どこ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$そして${\displaystyle d}$これらは実数です。
• 上記と同じ規則を用いると、${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$そして：^{[ 18 ]}$${\displaystyle {\frac {X-i}{X+i}}\sim \operatorname {CCauchy} \left({\frac {\psi -i}{\psi +i}}\right)}$$どこ${\displaystyle \operatorname {CCauchy} }$は円形コーシー分布です。

コーシー分布のパラメータは平均と分散に対応しないため、標本平均と標本分散を用いてコーシー分布のパラメータを推定しようとしても成功しません。^{[ 19 ]}例えば、サイズnの独立同分布（iid）標本がコーシー分布から抽出された場合、標本平均は次のように計算できます。

$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

サンプル値は${\displaystyle x_{i}}$中心となる価値観に集中する${\displaystyle x_{0}}$標本平均は、観測値が増えるにつれて絶対値が大きい標本点に遭遇する確率が高くなるため、変動が大きくなります。実際、標本平均の分布は観測値自体の分布と等しくなります。つまり、大きな標本の標本平均は、${\displaystyle x_{0}}$標本から得られる個々の観測値よりも、標本分散は大きくなります。同様に、標本分散を計算すると、観測値が増えるにつれて値も大きくなります。

したがって、中心値を推定するためのより堅牢な手段${\displaystyle x_{0}}$スケーリングパラメータ${\displaystyle \gamma }$が必要です。簡単な方法の1つは、サンプルの中央値を推定値として使用することです。${\displaystyle x_{0}}$そしてサンプル四分位範囲の半分を推定値として${\displaystyle \gamma }$他にも、より正確で堅牢な方法が開発されている。^{[ 20 ] [ 21 ]} 例えば、標本順序統計量の中央24%を切り捨てた平均は、次の推定値を生成する。${\displaystyle x_{0}}$これは、標本中央値または全標本平均のどちらを使用するよりも効率的です。^{[ 22 ] [ 23 ]}ただし、コーシー分布の裾が厚いため、標本の24%以上を使用すると推定量の効率が低下します。^{[ 22 ] [ 23 ]}

もう1つの簡単な方法は、標本の複素数値の準算術平均を考えることです 。 $${\displaystyle \theta _{n}=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right),}$$ どこ${\displaystyle f}$は準算術平均の生成子です。${\displaystyle f(x)=\log(x+\alpha ),\alpha \in {\overline {\mathbb {H} }}}$それから、${\displaystyle \theta _{n}}$は複素数値の幾何平均である${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x_{i}+\alpha )^{1/n}}$、そして、もし${\displaystyle f(x)=1/(x+\alpha ),\alpha \in \mathbb {H} }$ それから、${\displaystyle \theta _{n}}$は複素数値の調和平均である${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}/(x_{i}+\alpha )}{\sum _{i=1}^{n}1/(x_{i}+\alpha )}}}$。 ${\displaystyle (\theta _{n})_{n}}$は、コーシー分布のマッカローのパラメータ化の下での位置パラメータと尺度パラメータの同時推定量として閉形式で不偏かつ強一致性を持つ推定量である 。^{[ 24 ] [ 25 ]} 中心極限定理とバハドゥール効率も に対して成り立つ。${\displaystyle (\theta _{n})_{n}}$。

最尤法はパラメータの推定にも使用できます${\displaystyle x_{0}}$そして${\displaystyle \gamma }$しかし、これは高次の多項式の根を求める必要があり、局所最大値を表す根が複数存在する可能性があるため、複雑になる傾向があります。^{[ 26 ]}また、最尤推定量は漸近的に効率的ですが、サンプルサイズが小さい場合は比較的非効率的です。^{[ 27 ] [ 28 ]} サンプルサイズに対するコーシー分布の対数尤度関数${\displaystyle n}$は：

$${\displaystyle \ell (x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid \!x_{0},\gamma )=-n\log(\gamma \pi )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(1+\left({\frac {x_{i}-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}$$

$${\displaystyle \qquad \qquad =-n\log(\pi )+n\log(\gamma )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}\right).}$$

対数尤度関数を最大化する${\displaystyle x_{0}}$そして${\displaystyle \gamma }$一次導関数をとると、次の連立方程式が得られる。

$${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial x_{0}}}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2(x_{i}-x_{0})}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-\!x_{0}\right)^{2}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \gamma }}={\frac {n}{\gamma }}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\gamma }{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}=0}$$

ご了承ください

$${\displaystyle {\frac {n}{\gamma }}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\gamma }{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}=0}$$

と同等

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}={\frac {n}{2}}}$$

そしてそれは

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}}$$

は単調関数である${\displaystyle \gamma }$そしてその解決策は${\displaystyle \gamma }$満たさなければならない

$${\displaystyle \min |x_{i}-x_{0}|\leq \gamma \leq \max |x_{i}-x_{0}|.}$$

解決するのは${\displaystyle x_{0}}$次数 の多項式を解く必要がある${\displaystyle 2n-1}$[ ^{26 ]を}解くと${\displaystyle \,\!\gamma }$次数 の多項式を解く必要がある${\displaystyle 2n}$したがって、1 つのパラメータを解く場合でも、両方のパラメータを同時に解く場合でも、通常はコンピュータ上での数値解法が必要です。最尤推定の利点は漸近効率です。${\displaystyle x_{0}}$標本中央値を使用することは、推定することに比べて漸近的に約 81% しか効率が良くない。${\displaystyle x_{0}}$最尤法により。^{[ 23 ] [ 29 ]}中央24%の順序統計量を用いた切り捨て標本平均は、漸近的に約88%の効率で推定値である。${\displaystyle x_{0}}$最尤推定値として。^{[ 23 ]}ニュートン法を用いて最尤推定値の解を求める場合、中央の24%の順序統計量を初期解として用いることができます。${\displaystyle x_{0}}$。

位置 0 のコーシー変数は絶対値の中央値を使用して形状を推定できます。${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$、${\displaystyle \operatorname {median} (|X|)=\gamma }$形状パラメータ。

• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (0,1)\sim {\textrm {t}}(\mathrm {df} =1)\,}$スチューデントのt分布
• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\sigma )\sim {\textrm {t}}_{(\mathrm {df} =1)}(\mu ,\sigma )\,}$非標準化スチューデントのt分布
• もし${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {N}}(0,1)\,X,Y}$独立して、それから${\displaystyle {\tfrac {X}{Y}}\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {U}}(0,1)\,}$それから${\displaystyle \tan \left(\pi \left(X-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• もし${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-Cauchy} (0,1)}$それから${\displaystyle \ln(X)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)}$
• もし${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$ それから${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}},{\tfrac {\gamma }{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}}\right)}$
• コーシー分布は、ピアソン分布のタイプ4の極限ケースである。
• コーシー分布は、ピアソン分布のタイプ7の特殊なケースです^{。[ 1 ]}
• コーシー分布は安定分布です。${\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )}$、 それから${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,\gamma )}$。
• コーシー分布は双曲線分布の特異極限である。
• 円周上の値をとるラップドコーシー分布は、コーシー分布を円周上に巻き付けることによって得られる。
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)}$、${\displaystyle Z\sim \operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)}$、 それから${\displaystyle Y=\mu +X{\sqrt {Z}}\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,s)}$半コーシー分布の場合、次の関係は、と設定することで成り立つ。${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)I\{X\geq 0\}}$。

コーシー分布は指数1の安定分布である。このような安定分布のパラメータのレヴィ・ヒンチン表現${\displaystyle \gamma }$与えられているのは、${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (\gamma ,0,0)\,}$による：

$${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{ixX}\right)=\exp \left(\int _{\mathbb {R} }(e^{ixy}-1)\Pi _{\gamma }(dy)\right)}$$

どこ

$${\displaystyle \Pi _{\gamma }(dy)=\left(c_{1,\gamma }{\frac {1}{y^{1+\gamma }}}1_{\left\{y>0\right\}}+c_{2,\gamma }{\frac {1}{|y|^{1+\gamma }}}1_{\left\{y<0\right\}}\right)\,dy}$$

そして${\displaystyle c_{1,\gamma },c_{2,\gamma }}$明示的に表現できる。^{[ 30 ]}${\displaystyle \gamma =1}$コーシー分布では、${\displaystyle c_{1,\gamma }=c_{2,\gamma }}$。

この最後の表現は、次の式の結果である。

$${\displaystyle \pi |x|=\operatorname {PV} \int _{\mathbb {R} \smallsetminus \lbrace 0\rbrace }(1-e^{ixy})\,{\frac {dy}{y^{2}}}}$$

ランダムベクトル${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}}$は、その成分のすべての線形結合が多変量コーシー分布であると言われます。${\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}}$コーシー分布に従う。つまり、任意の定数ベクトルに対して${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{k}}$確率変数${\displaystyle Y=a^{T}X}$単変量コーシー分布に従うはずである。^{[ 31 ]} 多変量コーシー分布の特性関数は次のように与えられる。

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-\gamma (t)},\!}$$

どこ${\displaystyle x_{0}(t)}$そして${\displaystyle \gamma (t)}$は実関数で、${\displaystyle x_{0}(t)}$次数が 1 の同次関数と${\displaystyle \gamma (t)}$1次の正の同次関数。^{[ 31 ]} より厳密には：^{[ 31 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}(at)&=ax_{0}(t),\\\gamma (at)&=|a|\gamma (t),\end{aligned}}}$$

すべての人々のために${\displaystyle t}$。

二変量コーシー分布の例は次のように表すことができます。^{[ 32 ]}$${\displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\gamma }{{\left({\left(x-x_{0}\right)}^{2}+{\left(y-y_{0}\right)}^{2}+\gamma ^{2}\right)}^{3/2}}}.}$$ この例では、共分散が${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$0 です。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$統計的に独立ではない。^{[ 32 ]}

この式は複素変数に対しても記述できます。すると、複素コーシーの確率密度関数は次のようになります 。

$${\displaystyle f(z;z_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\gamma }{{\left({\left|z-z_{0}\right|}^{2}+\gamma ^{2}\right)}^{3/2}}}.}$$

標準コーシー分布が自由度1のスチューデントt分布であるのと同様に、多次元コーシー密度は自由度1の多変量スチューデント分布である。${\displaystyle k}$次元1自由度のスチューデント分布は次のとおりです。

$${\displaystyle f(\mathbf {x}$$ ;{\boldsymbol {\mu }},\mathbf {\Sigma } ,k)={\frac {\Gamma {\left({\frac {1+k}{2}}\right)}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\pi ^{\frac {k}{2}}\left|\mathbf {\Sigma } \right|^{\frac {1}{2}}\left[1+({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{\​​frac {1+k}{2}}}}.}

多次元コーシー分布の性質は、多変量スチューデント分布の特殊な場合である。

• 分光法では、コーシー分布は、スペクトル線の形状を記述します。スペクトル線は、線形状に含まれる周波数範囲で全ての原子が同じように相互作用する均一広がりを受けます。均一広がりを引き起こすメカニズムは多数あり、最も顕著なのは衝突広がりです。^{[ 33 ]}寿命または自然広がりも、コーシー分布で記述される線形状を生み出します。
• コーシー分布またはその変換の応用は、指数成長を扱う分野で見られる。ホワイト^{[ 34 ]}による1958年の論文では、推定量の検定統計量が導出された。${\displaystyle {\hat {\beta }}}$方程式の場合${\displaystyle x_{t+1}=\beta {x}_{t}+\varepsilon _{t+1},\beta >1}$そして、通常の最小二乗法を用いて最尤推定量が求められた場合、その統計量の標本分布はコーシー分布であることが示された。
• コーシー分布は、回転する物体の観測値の分布であることが多い。これに関する古典的な参考文献は、カモメの灯台問題^{[ 35 ]}と呼ばれ、上記のセクションで述べたように、素粒子物理学ではブライト・ウィグナー分布として知られている。
• 水文学では、コーシー分布は年間最大日降雨量や河川流量などの極端な事象に適用されます。青色の図は、順位付けされた月間最大日降雨量にコーシー分布を当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示されています。降雨データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることで表されます。
• ローレンツモデルによれば、複素誘電率の虚数部の式はコーシー分布で表される。
• 計算金融におけるファットテールをモデル化するための追加の分布として、コーシー分布は、ガウス分布よりもはるかに高い確率で極端なリスクを生み出すVAR（バリュー・アット・リスク）をモデル化するために使用できます。^{[ 36 ]}

原子核物理学および素粒子物理学では、共鳴のエネルギープロファイルは相対論的ブライト・ウィグナー分布によって記述され、コーシー分布は（非相対論的）ブライト・ウィグナー分布である。^{[ 37 ]}