砲弾問題

図形数の数学において、砲弾問題は、どの数が正方形かつ四角錐であるかを問うものです。この問題は、砲弾を正方形に並べた場合、どのサイズの正方形にこれらの砲弾を配置すれば四角錐になるか、と述べることができます。同様に、どの正方形が 1 から始まる連続する正方形の合計として表されるか、という問題です。

砲弾が正方形の枠の中に積み上げられている場合、その数は四角錐の数である。トーマス・ハリオットは1587年頃、アメリカ遠征中にサー・ウォルター・ローリーから尋ねられた質問に答えて、この数の公式を示した。 ^[1] エドゥアール・ルーカスは砲弾問題をディオファントス方程式として定式化した。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$

または

${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)={\frac {2N^{3}+3N^{2}+N}{6}}=M^ {2}。}$

ルーカスは、0、1、または4900個の砲弾を使用した場合、唯一の解は( N , M ) = (0,0)、(1,1)、および(24,70)であると推測しました。GNワトソンが楕円関数を使用してこの事実を証明したのは1918年になってからでした。最近では、初等的な証明が発表されています。^{[2] [3]}

N = 24、M = 70の解はリーチ格子の構築に使用できる。この結果は26次元のボゾン弦理論と関連がある。 ^[4]

幾何学的な正方形を不等な正方形でタイル張りすることは可能ですが、キャノンボール問題の解決策ではそうすることはできません。辺の長さが 1 から 24 までの正方形は、辺の長さが 70 の正方形と面積が等しくなりますが、それをタイル張りするように配置することはできません。

N番目^の四面体数から完全な正方形を求めるという三角錐版の砲弾問題では、 N = 48となる。つまり、(24 × 2 = )48番目の四面体数は(70 ² × 2 ² = 140 ² = )19600に等しい。これは、合計70 ^2個の砲弾を持つ24番目の正方形ピラミッドに匹敵する。^[5]

同様に、完全な正方形を生成するための五角錐バージョンの砲弾問題では、N = 8となり、合計で(14 × 14 =) 196個の砲弾が生成されます。^[6]

三角形と四角錐が同時に存在する数字は1、55、91、208335の4つだけです。^{[7] [8]}

四面体と四角錐の両方の性質を持つ数は存在しない（自明な解1を除く） 。 ^[8]

• 平方三角数、同時に平方かつ三角形である数
• 均等な球の最密充填

• Weisstein、Eric W.「キャノンボール問題」。MathWorld。