モーメント（数学）

数学において、関数のモーメントとは、関数のグラフの形状に関連する特定の定量的尺度です。関数が質量密度を表す場合、ゼロ次モーメントは総質量、第 1 モーメント (総質量で正規化) は質量中心、第 2 モーメントは慣性モーメントです。関数が確率分布の場合、第 1 モーメントは期待値、第 2中心モーメントは分散、第 3標準化モーメントは歪度、第 4 標準化モーメントは尖度です。

有限区間上の質量または確率の分布については、すべてのモーメント（0から∞までのすべての次数）の集合によって分布が一意に決定されます（ハウスドルフモーメント問題）。有限区間では同じことが当てはまりません（ハンバーガーモーメント問題）。

19世紀半ば、パフヌティ・チェビシェフはランダム変数のモーメントについて体系的に考えた最初の人物となった。^[1]

密度関数を持つランダム変数のn次のモーメント（つまり、ゼロに関するモーメント）は次のように定義される^[2]。密度関数を持つ実数値連続ランダム変数のn次のモーメントは、積分${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \mu '_{n}=\langle X^{n}\rangle ~{\overset {\mathrm {def} }{=}}~{\begin{cases}\sum _{i}x_{i}^{n}f(x_{i}),&{\text{discrete distribution}}\\[1.2ex]\int x^{n}f(x)\,dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

実数値関数のモーメントよりも一般的な方法で、ランダム変数のモーメントを定義することができます。距離空間のモーメントを参照してください。関数のモーメントは、特に説明しない限り、通常は上記の の式を指します。2 次以上のモーメントについては、分布の形状に関するより明確な情報を提供するため、通常はゼロのモーメントではなく中心モーメント(平均のモーメント、cは平均) が使用されます。 ${\displaystyle c=0}$

他のモーメントも定義される。例えば、ゼロの周りのn次の逆モーメントは、ゼロの周りのn次の対数モーメントは、${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{-n}\right]}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].}$

確率密度関数のゼロ周りの n 次モーメントはの期待値であり、生モーメントまたは粗モーメントと呼ばれます。^[3]その平均周りのモーメントは中心モーメントと呼ばれ、平行移動とは無関係に関数の形状を表します。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle \mu }$

が確率密度関数である場合、上記の積分の値は確率分布のn次モーメントと呼ばれます。より一般的には、F が、密度関数を持たない可能性のある任意の確率分布の累積確率分布関数である場合、確率分布のn次モーメントはリーマン–スティルチェス積分で与えられ、ここでXはこの累積分布Fを持つランダム変数、E は期待値演算子または平均です。モーメントが存在しないと言われるとき。任意の点についてのn次モーメントが存在する場合、すべての点についての( n − 1)次モーメント (したがって、すべての低次のモーメント) も存在します。任意の確率密度関数のゼロ次モーメントは1 です。これは、任意の確率密度関数の下の面積が1 に等しくなければならないためです。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)}$$$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty }$$

正規化された n次中心モーメントまたは標準化モーメントは、n次中心モーメントをσnで割ったもの^である。ランダム変数Xの正規化されたn次中心モーメントは、$${\displaystyle {\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}.}$$

これらの正規化された中心モーメントは無次元量であり、スケールの線形変化とは無関係に分布を表します。

最初の生モーメントは平均であり、通常は${\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E} [X].}$

2番目の中心モーメントは分散です。分散の正の平方根は標準偏差です。 ${\displaystyle \sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.}$

3 次中心モーメントは、分布の偏りの尺度です。対称分布の 3 次中心モーメントは、定義されている場合はゼロになります。正規化された 3 次中心モーメントは歪度と呼ばれ、多くの場合γです。左に歪んだ分布 (分布の裾が左側で長い) は、歪度が負になります。右に歪んだ分布 (分布の裾が右側で長い) は、歪度が正になります。

正規分布とあまり変わらない分布の場合、中央値はμ − γσ /6付近になり、最頻値はμ − γσ /2付近になります。

4 次中心モーメントは、分布の裾の重さの尺度です。これは 4 乗の期待値であるため、定義されている 4 次中心モーメントは常に非負です。また、点分布を除いて、常に厳密に正です。正規分布の 4 次中心モーメントは3 σ ⁴です。

尖度κ は、 標準化された第 4 中心モーメントとして定義されます。(同様に、次のセクションのように、過剰尖度は第 4キュムラントを第 2キュムラントの 2 乗で割ったものです。) ^{[4] [5]}分布の裾が重い場合、尖度は高くなります (軽尖と呼ばれることもあります)。逆に、裾が軽い分布 (たとえば、一様分布などの有界分布) の尖度は低くなります (平尖と呼ばれることもあります)。

尖度は無制限に正の値を取ることができますが、κ はγ ² + 1以上でなければなりません。等式はバイナリ分布に対してのみ成立します。正規分布からそれほど離れていない無制限の歪んだ分布の場合、κ はγ ²と2 γ ²の領域のどこかになる傾向があります。

不等式は、 T = ( X − μ )/ σを考えることで証明できます。これは平方の期待値なので、すべてのaに対して非負ですが、aの2次多項式でもあります。その判別式は非正でなければならず、これにより必要な関係が得られます。 $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]}$$

高次モーメントは4 次モーメントを超えるモーメントです。

分散、歪度、尖度と同様に、これらはデータの非線形結合を伴う高次統計量であり、さらなる形状パラメータの記述または推定に使用できます。モーメントが高くなるほど、同様の品質の推定値を得るために必要なサンプル数が増えるという意味で、推定が難しくなります。これは、高次によって消費される自由度が過剰になるためです。さらに、これらは解釈が微妙な場合があり、多くの場合、低次モーメントの観点から理解するのが最も簡単です。物理学におけるジャークとジャウンスの高次導関数を比較してください。たとえば、4 次モーメント (尖度) が「分散への寄与における肩部と比較した裾部の相対的重要性」と解釈できるのと同様に (所定の分散量では、尖度が高いほど裾部が厚くなり、尖度が低いほど肩部が広くなります)、5 次モーメントは「歪度への寄与における中心 (モードと肩部) と比較した裾部の相対的重要性」を測るものとして解釈できます (所定の歪度では、5 次モーメントが高いほど裾部の歪度が高く、モードの歪度が小さいことに対応し、5 次モーメントが低いほど肩部の歪度が大きいことに対応します)。

混合モーメントは複数の変数が関与するモーメントです。

値は順序モーメントと呼ばれます（モーメントは非整数 に対しても定義されます）。ランダム変数の結合分布のモーメントも同様に定義されます。任意の整数 に対して、数学的期待値は順序混合モーメント（）と呼ばれ、順序中心混合モーメントと呼ばれます。混合モーメントは共分散と呼ばれ、ランダム変数間の依存関係の基本的な特性の 1 つです。 ${\displaystyle E[X^{k}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$${\displaystyle k_{i}\geq 0}$${\displaystyle E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=k_{1}+...+k_{n}}$${\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]}$

例としては、共分散、共歪度、共尖度などがあります。共分散は 1 つだけですが、共歪度と共尖度は複数存在します。

は二項係数なので 、 bについてのモーメントはaについてのモーメントから次のように計算できます。 $${\displaystyle (x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}}$$${\textstyle {\binom {n}{i}}}$$${\displaystyle E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}.}$$

畳み込みの生のモーメントは、括弧内に与えられた関数の - 番目のモーメントを表す 、と読みます 。この恒等式は、モーメント生成関数の畳み込み定理と、積を微分するための連鎖律の適用によって得られます。 ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle \mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]}$$${\displaystyle \mu _{n}[\,\cdot \,]}$${\displaystyle n}$

最初の生モーメントと2番目と3番目の正規化されていない中心モーメントは、XとYが独立した確率変数 である場合、$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}}$$

(これらは、独立性よりも弱い条件を満たす変数にも当てはまります。最初の条件は常に当てはまります。2 番目が当てはまる場合、変数は無相関と呼ばれます)。

実際、これらは最初の 3 つのキュムラントであり、すべてのキュムラントはこの加法性を共有しています。

すべてのkについて、母集団のk番目の生のモーメントは、母集団から抽出された サンプルX ₁、...、X _nに適用されたk番目の生のサンプル モーメント を使用して推定できます。$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$$

生の標本モーメントの期待値は、任意の標本サイズnに対して、母集団のk番目の生のモーメント（存在する場合）に等しいことが示されます。したがって、これは不偏推定値です。これは、標本平均を使用して計算することで自由度を消費する中心モーメントの状況とは対照的です。したがって、たとえば、母分散（第 2 中心モーメント）の不偏推定値は、 前の分母nが自由度n − 1に置き換えられ、 が標本平均を参照することで与えられます。この母集団モーメントの推定値は、調整されていない観測標本モーメントよりも 倍大きく、これは「調整標本分散」または単に「標本分散」と呼ばれることもあります。 $${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle {\tfrac {n}{n-1}},}$

確率分布をそのモーメントの列から決定する問題は、モーメントの問題と呼ばれます。このような問題は、極限定理の研究に関連して、 PL Chebyshev (1874) ^[6]によって最初に議論されました。ランダム変数の確率分布をそのモーメントによって一意に定義するには、たとえば、Carleman の条件が満たされていれば十分です。 同様の結果は、ランダムベクトルのモーメントについても当てはまります。モーメントの問題は、すべてのモーメントが有限である関数fのモーメントの列である列の特徴付けを求め、各整数に対してが有限で あるとします 。すると、 のモーメントを持つ分布関数に弱収束する列が存在します。モーメントが一意に決定する場合、列はに弱収束します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha _{k}=E\left[X^{k}\right]}$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty }$$${\displaystyle {{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }}$${\displaystyle \alpha _{k}(n)}$${\displaystyle k\geq 1}$$${\displaystyle \alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,}$$${\displaystyle \alpha _{k}}$${\displaystyle {\mu _{n}}'}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha _{k}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mu _{n}}'}$${\displaystyle \mu }$

部分モーメントは「片側モーメント」と呼ばれることもあります。基準点rに対するn次の下側および上側部分モーメントは次のように表すことができます。

$${\displaystyle \mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

積分関数が収束しない場合は、部分モーメントは存在しません。

部分モーメントは 1/ n乗して正規化されます。上方ポテンシャル比は、 1 次上部部分モーメントと正規化された 2 次下部部分モーメントの比として表すことができます。

( M , d )を計量空間とし、 B( M ) をM上のボレルσ代数、つまりMのd開部分集合によって生成されるσ代数とします。(技術的な理由から、 M は計量dに関して可分空間であると仮定するのも便利です。) 1 ≤ p ≤ ∞とします。

与えられた点x ₀ ∈ Mの周りの測定空間( M , B( M ))上の測度μのp 次中心モーメントは次のように定義されます。 $${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

μのx ₀に関するp次中心モーメントが、あるx ₀ ∈ Mに対して有限である場合、μ は有限のp次中心モーメントを持つと言われます。

この測度に関する用語は、通常の方法でランダム変数にも適用されます。つまり、(Ω, Σ, P )が確率空間で、X  : Ω → Mがランダム変数である場合、x ₀ ∈ MについてのXのp次中心モーメントは と定義され 、あるx ₀ ∈ MについてXのx _{0についての}p次中心モーメントが有限である場合、X は有限のp次中心モーメントを持ちます。 $${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],}$$

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• スパノス、アリス（1999年）。確率論と統計的推論。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。pp.109-130。ISBN 0-521-42408-9。
• ウォーカー、ヘレン M. (1929)。統計手法の歴史研究、特に特定の教育問題に関連して。ボルチモア、ウィリアムズ & ウィルキンス社、p. 71。

• 「瞬間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Mathworldでのひととき