ジェネレータマトリックス

符号理論では、生成行列は行が線形符号の基底を形成する行列です。符号語はこの行列の行の線形結合のすべてであり、つまり線形符号はその生成行列の 行空間です。

Gが行列の場合、線形コードCのコードワードは次のように 生成される。

${\displaystyle w=sG}$

ここで、w は線形コードCのコードワード、s は任意の入力ベクトルです。wとs は両方とも行ベクトルであると仮定されます。^[1]線形コードの生成行列は の形式を持ち、nはコードワードの長さ、kは情報ビットの数（ベクトル部分空間としてのCの次元）、 dはコードの最小距離、qは有限体のサイズ、つまりアルファベット内の記号の数です（したがって、q = 2 はバイナリコードなどを示します）。冗長ビットの数はで表されます。 ${\displaystyle [n,k,d]_{q}}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle r=nk}$

生成行列の標準形は、 ^{[2]である。}

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$、

ここで、は単位行列、Pは行列である。生成行列が標準形式の場合、コードCは最初のk座標位置で体系的である。^[3]${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle k\times (nk)}$

生成行列は、符号のパリティ検査行列を作成するために使用できます（逆も同様）。生成行列Gが標準形式である 場合、 Cのパリティ検査行列は^[4]です。${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{nk}\end{bmatrix}}}$、

ここで、は行列 の転置です。これは、 のパリティ検査行列がデュアルコードの生成行列であるという事実の結果です。 ${\displaystyle P^{\top}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\perp}}$

G は行列であり、H は行列です。 ${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle (nk)\times n}$

コードC ₁とC ₂は、次の2つの変換によって一方のコードが他方のコードから得られる場合、同等である（C ₁ ~ C _{2と表記される）。} ^[5]

1. コンポーネントを任意に並べ替え、
2. 任意のコンポーネントをゼロ以外の要素で独立してスケーリングします。

同等のコードは最小距離が同じです。

同値なコードの生成行列は、次の基本操作によって互いに得ることができる: ^[6]

1. 行を並べ替える
2. 行をゼロ以外のスカラーでスケールする
3. 他の行に行を追加する
4. 列を並べ替え、
5. 列をゼロ以外のスカラーでスケールします。

したがって、Gに対してガウス消去法を実行できます。実際、これにより、生成行列が標準形式であると想定できます。より正確には、任意の行列Gに対して、 となる可逆行列U を見つけることができます。ここで、Gと は同等のコードを生成します。 ${\displaystyle UG={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$

• ハミングコード (7,4)

• リン・サン、シン・チャオピン（2004）、コーディング理論/入門コース、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-52923-9
• Pless, Vera (1998)、誤り訂正符号理論入門（第3版）、Wiley Interscience、ISBN 0-471-19047-0
• ローマン、スティーブン（1992）、コーディングと情報理論、GTM、第134巻、Springer-Verlag、ISBN 0-387-97812-7
• ウェルシュ、ドミニク（1988）、コードと暗号、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-853287-3

• MacWilliams, FJ ; Sloane, NJA (1977)、The Theory of Error-Correcting Codes、North-Holland、ISBN 0-444-85193-3

• MathWorld のジェネレーター マトリックス