二乗平均平方根

交流電流の実効値は、抵抗負荷で同じ電力を消費する定常直流電流の値に等しい。^{[ 1 ]}

波形の組み合わせの RMS の特殊なケースは次のとおりです。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{V}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}}$

どこ${\displaystyle {\text{V}}_{\text{DC}}}$信号の直流（または平均）成分を指し、${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC}}}$これは信号の交流成分です。

電気技術者は、電気抵抗Rによって消費される電力Pを知る必要があることがよくあります。抵抗に一定の電流Iが流れている場合、計算は簡単です。負荷がRオームの場合、電力は次のように表されます。

${\displaystyle P=I^{2}R.}$

しかし、電流が時間変化関数I ( t ) である場合、この式は電流（したがって瞬時電力）が時間とともに変化するという事実を反映するように拡張する必要があります。関数が周期的である場合（家庭用交流電力など）、時間平均消費電力について議論することは依然として意味があり、これは平均消費電力を計算することによって求められます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{Avg}}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{\text{Avg}}&&{\text{where }}(\cdots )_{\text{Avg}}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{\text{Avg}}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}}$

つまり、関数I ( t ) のRMS 値I _{RMSは、電流}I ( t )の時間平均電力損失と同じ電力損失を生み出す定電流です。

平均電力は、実効値V _{RMSを持つ時間変動}電圧V ( t )の場合と同じ方法を使用して求めることもできます。

${\displaystyle P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.}$

この方程式は、正弦波や鋸歯状波などのあらゆる周期的な波形に適用でき、特定の負荷に供給される平均電力を計算することができます。

これら2つの式の平方根を取り、それらを掛け合わせると、べき乗は次のようになります。

${\displaystyle P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.}$

どちらの導出も、電圧と電流が比例関係にあること（つまり、負荷Rが純粋な抵抗性であること）を前提としています。リアクティブ負荷（つまり、エネルギーを消費するだけでなく蓄積することもできる負荷）については、交流電力の項で説明します。

交流電流の一般的なケース、すなわちI ( t ) が正弦波電流である場合（主電源の場合にほぼ当てはまる）、実効値は上記の連続電流の式から簡単に計算できます。Ip をピーク_電流と定義すると、次のようになります。

${\displaystyle I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},}$

ここで、tは時間、ωは角周波数（ω  =  2π / T、Tは波の周期）である。

I _pは正の定数であり、積分内で二乗されるものなので、次のようになります。

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.}$

三角関数の二乗をなくすために三角関数の恒等式を使用する：

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}}$

しかし、間隔は完全なサイクルの整数倍であるため（RMSの定義による）、正弦項は相殺され、次のようになります。

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.}$

同様の解析により、正弦波電圧についても同様の式が得られる。

${\displaystyle V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},}$

ここで、I _Pはピーク電流、V _Pはピーク電圧を表す。

電力計算を行う上で有用であるため、電源コンセントの電圧（例えば、 米国では120V、 ヨーロッパでは230V）は、ピーク値ではなく、ほぼ常に実効値で表示されます。ピーク値は、上記の式（V _P  = V _RMS × √ 2）から実効値で計算できます。これは、電源が純粋な正弦波であると仮定した場合です。したがって、米国の主電源電圧のピーク値は約120 × √ 2、つまり約170ボルトです。ピークツーピーク電圧は、この2倍なので約340ボルトです。同様の計算により、ヨーロッパの主電源電圧のピーク値は約325ボルト、ピークツーピーク電圧は約650ボルトであることがわかります。     

電流などの実効値（RMS値）は通常、1サイクルで計算されます。しかし、送電損失を計算する際には、より長い期間の実効電流値が必要となる場合があります。同じ原理が適用され、例えば、1日24時間のうち12時間10アンペアの電流を使用した場合、平均電流は5アンペアですが、長期的には実効電流値は7.07アンペアとなります。

RMS電力という用語は、平均電力または平均負荷電力の同義語として誤って使用されることがあります（例えば、オーディオ業界など）。これは、抵抗負荷におけるRMS電圧またはRMS電流の二乗に比例します。オーディオ電力測定とその欠点については、「オーディオ電力」を参照してください。