ニーマイヤー格子

数学において、ニーマイヤー格子は、ランク24の24 の正定値偶数ユニモジュラー格子の 1 つであり、ハンス・フォルカー・ニーマイヤー (1973) によって分類されました。ベンコフ (1978) は、この分類の簡略化された証明を与えました。ウィット (1941) は、10 を超えるそのような格子を発見したと述べていますが、それ以上の詳細は示していません。ニーマイヤー格子の 1 つの例として、1967 年に発見された リーチ格子があります。

ニーマイヤー格子は、通常、そのルート格子の ディンキン図によってラベル付けされます。各ニーマイヤー格子は、Conway & Sloane (1998) の §16.1 に詳述されているように、グルー ベクトルと呼ばれる隣接要素によって、そのルート格子から構築できます (ルートを持たないリーチ格子を除く)。ニーマイヤー格子に関連付けられたディンキン図のランクは 0 または 24 で、そのすべてのコンポーネントは同じコクセター数を持ちます。(コクセター数は、少なくともこれらの場合、ルートの数を次元で割ったものです。) これらの特性を持つディンキン図はちょうど 24 個あり、これらのディンキン図ごとに一意のニーマイヤー格子が存在することがわかります。

ニーマイヤー格子の完全なリストは次の表に示す。表では、

G _{0 は}反射によって生成される群の順序である

G _{1 は}ディンキン図のすべての成分を固定した自己同型群の順序である。

G _{2 は}ディンキン図の成分の順列の自己同型群の順序である。

G _∞はニーマイヤー格子におけるルート格子のインデックス、つまり「グルーコード」の順序です。これはルート格子の判別式の平方根です。

G ₀ × G ₁ × G ₂は格子の自己同型群の位数である。

G∞ × G1 × G2_は対応する深い穴の自己同型群の位数で_ある。

Lが 8 n次元の奇数ユニモジュラー格子で、Mが偶数ベクトルの部分格子である場合、 M はちょうど 3 つのユニモジュラー格子に含まれ、そのうちの 1 つはLで、他の 2 つは偶数です。( L がノルム 1 ベクトルを持つ場合、2 つの偶数格子は同型です。) 8 n次元のKneser 近傍グラフには、偶数格子ごとに 1 つの点があり、ノルム 1 ベクトルを持たない 8 n次元の奇数格子ごとに 2 つの点を結ぶ線があり、各線の頂点は、奇数格子に関連付けられた 2 つの偶数格子です。同じ頂点のペアの間には複数の線がある場合があり、頂点からその頂点自体に向かう線がある場合もあります。Kneser は、このグラフが常に接続されていることを証明しました。8 次元では 1 つの点があり線はありません。16 次元では 2 つの点が 1 本の線で結ばれ、24 次元では次のグラフになります。

各点は 24 個のニーマイヤー格子の 1 つを表し、それらを結ぶ線はノルム 1 ベクトルを持たない 24 次元の奇数ユニモジュラー格子を表します。左側の数字はニーマイヤー格子の Coxeter 数です。ノード内の赤いインデックス番号は、上記の関連表の行を示します。

32 次元では、近傍グラフには 10 億を超える頂点があります。

ニーマイヤー格子のいくつかは散在単純群と関連している。リーチ格子はコンウェイ群の二重被覆によって作用され、格子 A ₁ ²⁴と A ₂ ^12はマシュー群M ₂₄と M ₁₂ によって作用される。

リーチ格子以外のニーマイヤー格子は、リーチ格子の深い穴に対応します。これは、リーチ格子の 2 点が、距離 の場合は線で結ばれておらず 、距離 の場合は 1 本の線で結ばれており、距離 の場合は 2 本の線で結ばれている場合に、リーチ格子の内側でニーマイヤー格子のアフィン ディンキン図を見ることができることを意味します。 ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

ニーマイヤー格子は、偶ユニモジュラーローレンツ格子II _25,1の原始ノルムゼロベクトルwの24軌道にも対応し、 wに対応するニーマイヤー格子はw ^⊥ / wです。

• アンブラル・ムーンシャイン
• スミス・ミンコフスキー・シーゲル質量公式#次元 n = 24

• シュヌヴィエ、ガエタン。 Lannes、Jean (2014)、Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier、arXiv : 1409.7616、Bibcode :2014arXiv1409.7616C
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• アーヘン大学格子カタログ