キスナンバー

幾何学では、数学的空間のキス数は、その空間で共通の単位球にそれぞれが接するように配置できる、重なり合わない単位球の最大数として定義されます。特定の空間内の特定の球のパッキング（球の配置）に対して、各球が接する球の数として、キス数を定義することもできます。格子パッキングの場合、キス数はすべての球で同じですが、任意の球のパッキングの場合、キス数は球ごとに異なる場合があります。

キス数には、ニュートン数（問題の発案者にちなんで）、接触数など、他の呼び名も使われてきました。

一般に、キス数問題は、 ( n +1)次元ユークリッド空間内のn次元球の最大キス数を求める問題です。通常の球は、3次元空間内の2次元の閉曲面に対応します。

球の中心が直線（1次元の場合）または平面（2次元の場合）に限定されている場合、キス数を見つけることは簡単です。3次元の場合の解決法は、物理世界では概念化やモデル化が容易であるにもかかわらず、20世紀半ばまで数学者にはわかりませんでした。^{[1] [2]}高次元での解決法はかなり難しく、正確に解決されたケースはほんの一握りです。その他のケースについては、調査により上限と下限は決定されましたが、正確な解決法は決定されていません。^[3]

1次元では、^[4]キス数は2である。

2次元では、キスの数は6です。

証明: 中心がCである円を考えます。この円は、中心がC ₁、C ₂ 、...である円と接しています。光線C C _{i を}考えます。これらの光線はすべて同じ中心Cから発せられるため、隣接する光線間の角度の合計は 360° です。

矛盾により、6つ以上の接する円があると仮定する。すると、少なくとも2つの隣接する線、たとえばC C ₁とC C _{2 は}、60°未満の角度で分離される。線分CC _{i は、}すべてのiに対して同じ長さ（2 r ）を持つ。したがって、三角形C C ₁ C _{2 は}二等辺三角形であり、その3番目の辺（C ₁ C _{2 ）の辺の長さは2} r未満である。したがって、円1と円2は交差するが、これは矛盾である。^[5]

3次元では、接吻数は12ですが、正しい値を確立するのは1次元や2次元の場合よりもはるかに困難でした。12個の球をそれぞれが中央の球に接するように配置して、十分なスペースを残すことは簡単で、13個目の球を詰め込む方法がないことは明らかではありません。(実際には、余分なスペースが非常に多いため、12個の外側の球のうちの任意の2つは、外側の球が中央の球と接触したまま連続的に移動して場所を交換できます。) これは、数学者アイザック・ニュートンとデビッド・グレゴリーの間の有名な意見の相違の主題でした。ニュートンは、限界は12であると正しく考えました。グレゴリーは、13個目は収まると考えました。ニュートンが正しかったという不完全な証明は19世紀にいくつか提示されたが、最も有名なのはラインホルト・ホッペによる証明である。しかし、最初の正しい証明（ブラス、モーザー、パックによる）は1953年まで現れなかった。^{[1] [2] [6]}

中心球の 12 個の隣接原子は、すべての原子が同じサイズである結晶格子(化学元素など)内の原子の最大バルク配位数に対応します。配位数 12 は、立方最密充填構造または六方最密充填構造に見られます。

4次元では、キス数は24です。これは2003年にオレグ・ムシンによって証明されました。^{[7] [8]}以前は、答えは24か25であると考えられていました。中心の球の周りに24個の球を詰め込むのは簡単です（原点を中心とした適切にスケールされた24セルの頂点に球を配置できます）が、3次元の場合と同様に、多くのスペースが残ります（実際にはn = 3の場合よりも多くなります）ため、状況はさらに不明瞭でした。

高度に対称的なE8格子とリーチ格子の存在により、_n = 8（キス数は240）と n = 24（キス数は196,560）の既知の結果が得られています。^{[9] [10]} n 次元 のキス数は他の次元では不明です。

配置が格子配置に制限され、球の中心がすべて格子内の点上にある場合、この制限されたキス数はn = 1〜9およびn = 24次元に対して知られています。^[11] 5、6、および7次元の場合、これまでに見つかった最高のキス数を持つ配置が最適な格子配置ですが、より高いキス数を持つ非格子配置の存在も排除されていません。

次の表は、様々な次元におけるキス数の既知の境界をいくつか示しています。^[12]キス数が既知の次元は太字で示されています。

キス数問題は、任意の凸体の、あるコピーに接する重複しない合同なコピーの最大数を求める問題に一般化できる。コピーが元の体と合同であればよいのか、元の体の平行移動であればよいのか、格子によって平行移動されていればよいのかによって、この問題にはさまざまなバージョンがある。例えば、正四面体の場合、格子キス数と平行移動キス数はどちらも 18 であるのに対し、合同キス数は少なくとも 56 であることが知られている。^[13]

交差グラフには、近似率がキス数に依存するいくつかの近似アルゴリズムがあります。 ^[14]たとえば、回転した単位正方形の集合の最大の非交差部分集合を見つけるための多項式時間10近似アルゴリズムがあります。

キス数問題は、不等式の集合に対する解の存在として述べることができる。を球の中心のN次元位置ベクトルの集合とする。この球の集合が重なり合うことなく中心球の周りに存在できる条件は、次の通りである。^[15]${\displaystyle x_{n}}$ $${\displaystyle \exists x\ \left\{\forall _{n}\{x_{n}^{\textsf {T}}x_{n}=1\}\land \forall _{m,n:m\neq n}\{(x_{n}-x_{m})^{\textsf {T}}(x_{n}-x_{m})\geq 1\}\right\}}$$

このように、各次元の問題は実数の存在理論で表現できる。しかし、この形式の問題を解く一般的な方法は少なくとも指数関数的な時間がかかるため、この問題は4次元までしか解かれていない。変数を追加することで、これはN ( N  − 1)/2 + DN変数の単一の4次方程式に変換できる。^[16]${\displaystyle y_{nm}}$ $${\displaystyle \exists xy\ \left\{\sum _{n}\left(x_{n}^{\textsf {T}}x_{n}-1\right)^{2}+\sum _{m,n:m<n}{\Big (}(x_{n}-x_{m})^{\textsf {T}}(x_{n}-x_{m})-1-(y_{nm})^{2}{\Big )}^{2}=0\right\}}$$

したがって、 D  = 5 次元、N  =  40 +  1 ベクトルの場合を解くことは、 1025 変数の 4 次多項式の実数解の存在を決定することと同等です。D = 24 次元、N  =  196560 + 1 の場合、4 次多項式には 19,322,732,544 個の変数があります。距離幾何学 の別の表現は、m^番目の球とn^番目の球の間の距離の 2 乗で表されます。 ${\displaystyle R_{mn}}$$${\displaystyle \exists R\ \{\forall _{n}\{R_{0n}=1\}\land \forall _{m,n:m<n}\{R_{mn}\geq 1\}\}}$$

これに、 D次元で ( D  + 1) 単体を形成する任意の点集合に対してケイリー・メンガー行列式がゼロになるという条件を付け加えなければなりません。なぜなら、その体積はゼロでなければならないからです。 と設定すると、実数値についてのみ解く必要があるyだけの同時多項式方程式のセットが得られます。 2 つの方法は完全に同等ですが、さまざまな異なる用途があります。たとえば、2 番目のケースでは、 yの値を少量ランダムに変更して、 yに関して多項式を最小化すること ができます。 ${\displaystyle R_{mn}=1+{y_{mn}}^{2}}$

• 等辺寸法
• 球状コード
• ソディのヘクスレット
• 円筒球パッキング

• T. アステとD. ウィア 『完璧な梱包の追求』（Institute Of Physics Publishing London 2000）ISBN 0-7503-0648-3 
• ガブリエル・ネーベとニール・スローンが管理する、現在知られているキスの最高回数表（下限）
• Bachoc, Christine ; Vallentin, Frank (2008). 「半正定値計画法によるキス数に対する新しい上限」. Journal of the American Mathematical Society . 21 (3): 909–924. arXiv : math.MG/0608426 . Bibcode :2008JAMS...21..909B. doi :10.1090/S0894-0347-07-00589-9. MR  2393433. S2CID  204096.

• グライム、ジェイムス。「Kissing Numbers」（ビデオ）。YouTube 。ブレイディ・ハラン。2021年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年10月11日閲覧。