表現論
数学 において 、 表現論 における ワイル特性公式は、 コンパクト・リー群 の既約表現の 特性をその 最高重み で 記述する 。 [1]これは ヘルマン・ワイル (1925, 1926a, 1926b)によって証明された 。半単純リー代数の既約表現の特性には、密接に関連した公式がある。 [2] 連結コンパクト・リー群の表現論 に対するワイルのアプローチでは 、特性公式の証明は、すべての支配的な積分元が実際には何らかの既約表現の最高重みとして生じることを証明する重要なステップである。 [3]特性公式の重要な帰結は 、ワイル次元公式 と コスタントの重複度公式 である 。
定義により、 G の 表現の 指標は 、群の要素 の関数として の の トレース です 。この場合の既約表現はすべて有限次元です (これは ピーター・ワイルの定理 の一部です)。したがって、トレースの概念は線型代数の通常の概念です。 の指標に関する知識は、 それ自体 に関する多くの情報を与えます 。
χ
{\displaystyle \chi}
π
{\displaystyle \pi}
π （ グ ）
{\displaystyle \pi (g)}
グ ∈ グ
{\displaystyle g\in G}
χ
{\displaystyle \chi}
π
{\displaystyle \pi}
π
{\displaystyle \pi}
ワイルの公式は、 G とその リー代数 から構成される他のオブジェクトに関して、 キャラクター の 閉じた公式 です。
χ
{\displaystyle \chi}
特性式は、複素半単純リー代数の表現、または（本質的に同等の）コンパクトリー群 の表現理論によって表現することができます 。
複素半単純リー代数 を複素半単純リー代数 の既約有限次元表現とする 。 を の カルタン部分代数 とする 。 の指標は次 のように定義される
関数である。
π
{\displaystyle \pi}
グ
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
グ
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
π
{\displaystyle \pi}
ch
π
:
h
→
Ｃ
{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }
ch
π
（ H ） = tr （
e
π （ H ）
） 。
{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}
における文字の値は の次元である 。基本的な考察により、文字は次のように計算できる。
H = 0
{\displaystyle H=0}
π
{\displaystyle \pi}
ch
π
（ H ） =
∑
μ
メートル
μ
e
μ （ H ）
{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)}}
、 ここで、和はのすべての 重み にわたっており 、 は の重複度です 。(前の式は、文字の定義として解釈されることがあります。)
μ
{\displaystyle \mu}
π
{\displaystyle \pi}
メートル
μ
{\displaystyle m_{\mu}}
μ
{\displaystyle \mu}
文字式は [4] のよう に計算することもできる。
ch
π
（ H ）
{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}
ch
π
（ H ） =
∑
わ ∈ わ
ε （ わ ）
e
わ （ λ + ρ ） （ H ）
∏
α ∈
Δ
+
（
e
α （ H ）
/
2
−
e
− α （ H ）
/
2
）
{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}
どこ
わ
{\displaystyle W}
はワイル群 である 。
Δ
+
{\displaystyle \Delta ^{+}}
はルートシステム の 正の根 の集合である 。
Δ
{\displaystyle \Delta }
ρ
{\displaystyle \rho}
は正の根の半分の和であり、 ワイルベクトル と呼ばれることが多い。
λ
{\displaystyle \lambda}
は、既約表現の 最高の重み です 。
五
{\displaystyle V}
ε （ わ ）
{\displaystyle \varepsilon (w)}
は、カルタン部分代数 に対する の作用の行列式です 。これは に等しく 、ここで は ワイル群要素 の長さ であり 、 がそれらの反射の積に等しいような単純根に関する反射の最小数として定義されます 。
わ
{\displaystyle w}
h
⊂
グ
{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}
（ − 1
）
ℓ （ わ ）
{\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}
ℓ （ わ ）
{\displaystyle \ell (w)}
わ
{\displaystyle w}
議論 ワイル分母公式（下記参照）を用いると、この指標式は次のように書き直すことができる。
ch
π
（ H ） =
∑
わ ∈ わ
ε （ わ ）
e
わ （ λ + ρ ） （ H ）
∑
わ ∈ わ
ε （ わ ）
e
わ （ ρ ） （ H ）
{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)} }{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}
、 あるいは、同等に、
ch
π
（ H ）
∑
わ ∈ わ
ε （ わ ）
e
わ （ ρ ） （ H ）
=
∑
わ ∈ わ
ε （ わ ）
e
わ （ λ + ρ ） （ H ）
。
{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w \in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}
指標自体は指数の大きな和です。この最後の式では、指標に指数の交互和を掛け合わせます。これにより、さらに大きな指数の和が得られるように見えます。指標式の驚くべき部分は、この積を計算すると、実際に残る項の数はわずかであることです。指標とワイル分母の積には、これよりもはるかに多くの項が少なくとも 1 回出現しますが、これらの項のほとんどはゼロに打ち消されます。 [5] 残る項は、 （ から最大の重みとワイル分母から最大の重みを取ることで得られる ）と のワイル群軌道にあるものなど、1 回しか出現しない項だけです 。
e
（ λ + ρ ） （ H ）
{\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}
ch
π
{\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }}
e
（ λ + ρ ） （ H ）
{\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}
コンパクトリー群 をコンパクトで連結なリー群とし、 を における最大トーラスとする 。 を の既約表現とする 。 このとき、 の指標を 関数として
定義する。
け
{\displaystyle K}
T
{\displaystyle T}
け
{\displaystyle K}
Π
{\displaystyle \Pi}
け
{\displaystyle K}
Π
{\displaystyle \Pi}
バツ
（ x ） = トレース （ Π （ x ） ） 、 x ∈ け 。
{\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}
指標は 上の類関数であることが容易にわかり 、 ピーター・ワイルの定理は 指標が 上の平方可積分類関数の空間の正規直交基底を形成することを主張している 。 [6]
け
{\displaystyle K}
け
{\displaystyle K}
はクラス関数な ので、 への制限によって決定されます 。 さて、 の リー代数において 、 については、
バツ
{\displaystyle \mathrm {X} }
T
{\displaystyle T}
H
{\displaystyle H}
t
{\displaystyle {\mathfrak {t}}}
T
{\displaystyle T}
トレース （ Π （
e
H
） ） = トレース （
e
π （ H ）
）
{\displaystyle \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {trace} (e^{\pi (H)})}
、 ここで は の リー代数の関連表現です 。したがって、関数 は、 前の節で説明したように、 の 関連表現の単なる特徴です。 の特徴の への制限は 、リー代数の場合と同じ式で与えられます。
π
{\displaystyle \pi}
け
{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
け
{\displaystyle K}
H ↦ トレース （ Π （
e
H
） ）
{\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))}
π
{\displaystyle \pi}
け
{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
Π
{\displaystyle \Pi}
T
{\displaystyle T}
バツ
（
e
H
） =
∑
わ ∈ わ
ε （ わ ）
e
わ （ λ + ρ ） （ H ）
∑
わ ∈ わ
ε （ わ ）
e
わ （ ρ ） （ H ）
。
{\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}} {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}
コンパクト群の設定における指標式の ワイルの 証明は、半単純リー代数の設定における指標式の代数的証明とはまったく異なります。 [7] コンパクト群の設定では、「実根」と「実重み」を使用するのが一般的ですが、これらは ここで使用されている根と重みとは 倍異なります。したがって、コンパクト群の設定における式は、 指数全体に 倍の係数を持ちます。
私
{\displaystyle i}
私
{\displaystyle i}
SU(2)の場合 SU(2)群の場合、 次元の 既約表現 を考える。 を SU(2)の対角部分群とすると、この場合の指標式は [8]となる。
メートル + 1
{\displaystyle m+1}
T
{\displaystyle T}
X
(
(
e
i
θ
0
0
e
−
i
θ
)
)
=
e
i
(
m
+
1
)
θ
−
e
−
i
(
m
+
1
)
θ
e
i
θ
−
e
−
i
θ
=
sin
(
(
m
+
1
)
θ
)
sin
θ
.
{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}
(特性式の分子と分母は両方とも 2 つの項を持ちます。) この場合、この式を直接検証すると、ワイル特性式に暗黙的に含まれるキャンセル現象を観察できるため、有益です。
表現は非常に明示的に知られているので、表現の性質は次のように記述できる。
X
(
(
e
i
θ
0
0
e
−
i
θ
)
)
=
e
i
m
θ
+
e
i
(
m
−
2
)
θ
+
⋯
+
e
−
i
m
θ
.
{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}
一方、ワイル分母は単に関数である 。この指標にワイル分母を掛けると、
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}
X
(
(
e
i
θ
0
0
e
−
i
θ
)
)
(
e
i
θ
−
e
−
i
θ
)
=
(
e
i
(
m
+
1
)
θ
+
e
i
(
m
−
1
)
θ
+
⋯
+
e
−
i
(
m
−
1
)
θ
)
−
(
e
i
(
m
−
1
)
θ
+
⋯
+
e
−
i
(
m
−
1
)
θ
+
e
−
i
(
m
+
1
)
θ
)
.
{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}
これで、上の右側の2つの項のほとんどの項が打ち消されることが簡単に確認でき、残るのは
X
(
(
e
i
θ
0
0
e
−
i
θ
)
)
(
e
i
θ
−
e
−
i
θ
)
=
e
i
(
m
+
1
)
θ
−
e
−
i
(
m
+
1
)
θ
{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}
となることによって
X
(
(
e
i
θ
0
0
e
−
i
θ
)
)
=
e
i
(
m
+
1
)
θ
−
e
−
i
(
m
+
1
)
θ
e
i
θ
−
e
−
i
θ
=
sin
(
(
m
+
1
)
θ
)
sin
θ
.
{\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}
この場合の文字は を持つ等比級数であり 、その前の引数は有限等比級数の和の公式の標準導出の小さな変形です。
R
=
e
2
i
θ
{\displaystyle R=e^{2i\theta }}
1次元表現の特別な場合には指標は1なので、ワイル指標式は ワイル分母式 となる： [9]
∑
w
∈
W
ε
(
w
)
e
w
(
ρ
)
(
H
)
=
∏
α
∈
Δ
+
(
e
α
(
H
)
/
2
−
e
−
α
(
H
)
/
2
)
.
{\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}
特殊ユニタリ群の場合、これは次の式と同等である。
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
X
1
σ
(
1
)
−
1
⋯
X
n
σ
(
n
)
−
1
=
∏
1
≤
i
<
j
≤
n
(
X
j
−
X
i
)
{\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}
ヴァンデルモンド行列式 の場合 。 [10]
における指標を評価することにより 、ワイル指標公式は ワイル次元公式を与える。
H
=
0
{\displaystyle H=0}
dim
(
V
λ
)
=
∏
α
∈
Δ
+
(
λ
+
ρ
,
α
)
∏
α
∈
Δ
+
(
ρ
,
α
)
{\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}
最高の重みを持つ 有限次元表現の次元です 。(通常どおり、ρ は正根の和の半分であり、積は正根 α 上を走ります。) 特殊化は完全に自明ではありません。なぜなら、ワイル特性式の分子と分母は両方とも単位元で高次まで消えるため、ロピタルの規則のバージョンを使用して、単位元に向かう元のトレースの極限を取る必要があるからです 。 [ 11] たとえば、上記の SU(2) のケースでは、ロピタルの規則を使用して が ゼロに向かう 極限を評価することで、表現の次元を回復できます 。
V
λ
{\displaystyle V_{\lambda }}
λ
{\displaystyle \lambda }
m
+
1
{\displaystyle m+1}
θ
{\displaystyle \theta }
sin
(
(
m
+
1
)
θ
)
/
sin
θ
{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }
例として、複素半単純リー代数sl(3, C )、または同等のコンパクト群SU(3)を考えてみましょう。その場合、 表現は 非負整数のペアでラベル付けされます。この場合、3つの正の根があり、次元の公式が明示的な形式 [12] をとることを確認するのは難しくありません。
(
m
1
,
m
2
)
{\displaystyle (m_{1},m_{2})}
dim
(
V
m
1
,
m
2
)
=
1
2
(
m
1
+
1
)
(
m
2
+
1
)
(
m
1
+
m
2
+
2
)
{\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}
このケースは 標準的な表現であり、実際、このケースでは次元の式によって値 3 が返されます。
m
1
=
1
,
m
2
=
0
{\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}
ワイル特性公式は、各表現の特性を商として与えます。ここで、分子と分母はそれぞれ指数の有限線形結合です。この公式は原理的には特性を決定しますが、この商を指数の有限和として明示的に計算する方法は特に明らかではありません。すでに上記の SU(2) のケースでは、特性を次のように与えるワイル特性公式から、 指数の和としての特性の公式に戻る方法がすぐには明らかではありません。
sin
(
(
m
+
1
)
θ
)
/
sin
θ
{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }
e
i
m
θ
+
e
i
(
m
−
2
)
θ
+
⋯
+
e
−
i
m
θ
.
{\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}
この場合、式を有限等比級数の和として
認識することはそれほど難しくないかもしれませんが、一般的にはより体系的な手順が必要になります。
sin
(
(
m
+
1
)
θ
)
/
sin
θ
{\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }
一般に、除算のプロセスは、ワイル分母の形式的な逆数を計算し、ワイル指標式の分子にこの形式的な逆数を掛けることによって達成できる。 [13] 結果は指数の有限和として指標を与える。この展開の係数は重み空間の次元、すなわち重みの多重度である。したがって、ワイル指標式から、 コスタント多重度式 として知られる重みの多重度の式が得られる。場合によってはより計算しやすい代替式を次のセクションで示す。
ハンス・フロイデン タールの公式は、重みの多重度に関する再帰式であり、コスタントの多重度公式と同じ答えを出すが、合計する項がはるかに少ないため、計算に使いやすい場合がある。この公式は カシミール要素 の使用に基づいており、その導出は特性公式とは独立している。 [14]
(
‖
Λ
+
ρ
‖
2
−
‖
λ
+
ρ
‖
2
)
m
Λ
(
λ
)
=
2
∑
α
∈
Δ
+
∑
j
≥
1
(
λ
+
j
α
,
α
)
m
Λ
(
λ
+
j
α
)
{\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}
どこ
Λは最高重みであり、 λは他の重みであり、 m Λ (λ)は、既約表現V Λ における重みλの多重度である。 ρはワイルベクトルである 最初の合計はすべての正の根 α にわたります。
ワイル特性公式は、 カツ・ムーディ代数 の積分可能な 最高重み表現に対しても成り立ち、その場合は ワイル・カツ特性公式 と呼ばれる 。同様に、カツ・ムーディ代数の分母恒等式があり、これはアフィン・リー代数の場合には マクドナルド恒等式 と同値である。A 1 型のアフィン・リー代数の最も単純なケースでは、 これ は ヤコビの三重積 恒等式
である。
∏
m
=
1
∞
(
1
−
x
2
m
)
(
1
−
x
2
m
−
1
y
)
(
1
−
x
2
m
−
1
y
−
1
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
x
n
2
y
n
.
{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}
特性公式は、特性が次のように与えられるとき、
一般化カッツ・ムーディ代数 の積分可能な最高重み表現に拡張することもできる。
∑
w
∈
W
(
−
1
)
ℓ
(
w
)
w
(
e
λ
+
ρ
S
)
e
ρ
∏
α
∈
Δ
+
(
1
−
e
−
α
)
.
{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}
ここで Sは 、虚数単根によって与えられる補正項である。
S
=
∑
I
(
−
1
)
|
I
|
e
Σ
I
{\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}
ここで、和は、互いに直交し、かつ最高重み λ に直交する虚数単純根の すべての有限部分集合 Iにわたっており、|I| は I の濃度、Σ I は I の要素の和です 。
モンスターリー代数 の分母式は 積の式である
j
(
p
)
−
j
(
q
)
=
(
1
p
−
1
q
)
∏
n
,
m
=
1
∞
(
1
−
p
n
q
m
)
c
n
m
{\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}
楕円モジュラー関数 j について 。
ピーターソンは、対称化可能な（一般化された）カック・ムーディ代数の根 β の重複度 mult(β) の再帰式を与えた。これはワイル・カックの分母式と同等であるが、計算にはより簡単に使用できる。
(
β
,
β
−
2
ρ
)
c
β
=
∑
γ
+
δ
=
β
(
γ
,
δ
)
c
γ
c
δ
{\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}
ここで、和は正の根γ、δ、および
c
β
=
∑
n
≥
1
mult
(
β
/
n
)
n
.
{\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}
ハリシュ＝チャンドラは、ワイルの指標公式が実簡約群 の表現に一般化できることを示した 。 は 、 無限小指標 を持つ実簡約群 G の既約で 許容可能な表現 であるとする。 を の ハリシュ＝チャンドラ指標 とする。これは、 正則集合 上の 解析関数 に対する積分によって与えられる。H が G の カルタン部分群 であり、H' が H の正則元の集合である場合、
π
{\displaystyle \pi }
λ
{\displaystyle \lambda }
Θ
π
{\displaystyle \Theta _{\pi }}
π
{\displaystyle \pi }
Θ
π
|
H
′
=
∑
w
∈
W
/
W
λ
a
w
e
w
λ
e
ρ
∏
α
∈
Δ
+
(
1
−
e
−
α
)
.
{\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}
ここ
Wは、の 複素ワイル群である。
H
C
{\displaystyle H_{\mathbb {C} }}
G
C
{\displaystyle G_{\mathbb {C} }}
W
λ
{\displaystyle W_{\lambda }}
Wの 安定剤である
λ
{\displaystyle \lambda }
残りの表記は上記の通りです。
係数はまだ十分に理解されていません。これらの係数の結果は、 Herb 、Adams、Schmid、Schmid-Vilonen など
の論文に記載されています。
a
w
{\displaystyle a_{w}}
参照
参考文献
^ ホール 2015 セクション 12.4。 ^ ホール 2015 セクション 10.4。 ^ ホール 2015 セクション 12.5。 ^ ホール 2015 定理 10.14 ^ ホール 2015 セクション 10.4。 ^ ホール 2015 セクション 12.3 ^ リー代数設定についてはHall 2015のセクション10.8、コンパクト群設定についてはセクション12.4を参照 ^ ホール 2015 例 12.23 ^ ホール 2015 補題 10.28. ^ Hall 2015 第10章の演習9。 ^ ホール 2015 セクション 10.5。 ^ ホール 2015 例 10.23 ^ ホール 2015 セクション 10.6 ^ ハンフリーズ 1972 セクション 22.3
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