ケーラー微分

数学において、ケーラー微分は、任意の可換環または可換スキームへの微分形式の適応を提供する。この概念は、1930年代にエーリッヒ・ケーラーによって導入された。複素数に関する微積分と幾何学の手法を、そのような手法が利用できない状況に適応させる必要性が感じられるようになってから、ケーラー微分は、やや遅れて可換代数と代数幾何学の標準として採用された。

RとS を可換環とし、φ :  R → Sを環準同型とする。重要な例として、R が体でS がR上の単位代数（アフィン多様体の座標環など）の場合が挙げられる。ケーラー微分は、多項式の微分が再び多項式になるという観察を形式化する。この意味で、微分は純粋に代数的な用語で表現できる概念である。この観察は、モジュールの定義に変換できる。

${\displaystyle \Omega_{S/R}}$

異なるが同等の方法で微分を表わす。

S上のR線型微分は、ライプニッツ則を満たすS加群MへのR加群準同型である（この定義から、 Rの像がdの核にあることが自動的にわかる^[1]）。ケーラー微分加群は、普遍微分が存在するS加群として定義される。他の普遍的性質と同様に、これは、 d が、 S加群準同型との合成によって他のあらゆる微分が得られるという意味で、可能な限り最良の微分であることを意味する。言い換えれば、dとの合成は、すべてのS加群Mに対して、S加群同型を 提供する。 ${\displaystyle d:S\to M}$ ${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$ ${\displaystyle \Omega_{S/R}}$${\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

Ω _{S / R}とdの1つの構成は、 S内の各sに対して1つの形式的生成元dsを持つ自由S加群を構成し、関係式を課すこと によって行われる。

• dr = 0、
• d ( s + t ) = ds + dt、
• d ( st ) = s dt + t ds、

すべてのr がRに含まれ、すべてのsとt がSに含まれる場合。普遍微分はs をdsに送ります。関係は普遍微分がR加群の準同型であることを意味します。

別の構成は、Iを乗算写像の 核として定義されるテンソル積 のイデアルとすることで進行する。${\displaystyle S\otimes _{R}S}$

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

このとき、 Sのケーラー微分加群は^[2]で定義される。

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

そして普遍微分は、次のように定義される準 同型写像dである。

${\displaystyle ds=1\otimes ss\otimes 1.}$

この構成は、 Iが射影の核である ため、前の構成と同等である。

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

したがって次のようになります:

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

すると、補完投影によって誘導されるマップによって Iと同一視される。${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

これは、 d がRの各要素をゼロにするR加群の準同型であることを条件として、S内のsに対する形式生成子dsによって生成されるS加群とI を同一視します。商をI ²で割ると、ライプニッツ規則が正確に課されます。

任意の可換環Rに対して、多項式環 のケーラー微分は、変数の微分によって生成される 階数nの自由S加群である。${\displaystyle S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\dots t_{n}]\,dt_{i}.}$

ケーラー微分はスカラーの拡張と両立する。つまり、第2のR代数R ′とに対して、同型が存在する。 ${\displaystyle S'=R'\otimes _{R}S}$

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.}$

この特別な例として、ケーラー微分は局所化と両立する。つまり、WがSの乗法集合であれば、同型が存在する。

${\displaystyle W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.}$

2つの環準同型が与えられたとき、 T加群 の短完全列が存在する。${\displaystyle R\to S\to T}$

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.}$

あるイデアルIに対して項が消える場合、シーケンスは次のように左側に継続できます。 ${\displaystyle T=S/I}$${\displaystyle \Omega_{T/S}}$

${\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.}$

これら 2 つの短い完全列の一般化は、コタンジェント複素数によって提供されます。

後者のシーケンスと多項式環の上記の計算により、有限生成R代数のケーラー微分を計算することができます。簡単に言うと、これらは変数の微分によって生成され、方程式の微分から来る関係を持ちます。たとえば、単一の変数の単一の多項式の場合、 ${\displaystyle T=R[t_{1},\ldots,t_{n}]/(f_{1},\ldots,f_{m})}$

${\displaystyle \Omega _{(R[t]/(f))/R}\cong (R[t]\,dt\otimes R[t]/(f))/(df)\cong R[t]/(f,df/dt)\,dt.}$

ケーラー微分は局所化と互換性があるので、アフィン開部分スキームと接着に対して上記の 2 つの定義のいずれかを実行することによって、一般的なスキーム上にケーラー微分を構築できます。ただし、2 番目の定義には、直ちにグローバル化する幾何学的解釈があります。この解釈では、IはSpec ( S ) → Spec( R ) 上の Spec( S )とそれ自身とのファイバー積における対角線を定義するイデアルを表します。したがって、この構成は、少なくとも 2 次まで消える関数を法として消える関数を介して、対角線の最初の無限小近傍の概念がそれによって表現されるという意味で、より幾何学的な趣があります (関連する概念についてはコタンジェント空間を参照)。さらに、ファイバー積 における対角線のイデアルを に設定することによって、スキームの一般的な射に拡張されます。コタンジェント層 は、前と同様に定義された微分とともに、 - モジュールの -線型微分の間で普遍的です。U がXの開いたアフィン部分スキームであり、そのYの像が開いたアフィン部分スキームVに含まれている場合、余接層は同様に普遍的なU上の層に制限されます。したがって、これはUとV の基礎となる環のケーラー微分加群に関連付けられた層です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

可換代数の場合と同様に、スキームの射に関連する正確な列が存在する。スキームの射とが与えられた場合、層の正確な列が存在する。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

また、が理想層によって与えられる閉部分スキームである場合、そして、上に層の正確な列が存在する。${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \Omega _{Y/Z}|_{X}\to \Omega _{X/Z}\to 0}$

が有限体拡大である場合、が可分である場合に限ります。したがって、が有限可分体拡大であり、 が滑らかな多様体（またはスキーム）である場合、相対コタンジェントシーケンス ${\displaystyle K/k}$${\displaystyle \Omega _{K/k}^{1}=0}$${\displaystyle K/k}$${\displaystyle K/k}$${\displaystyle \pi :Y\to \operatorname {Spec} (K)}$

${\displaystyle \pi ^{*}\Omega _{K/k}^{1}\to \Omega _{Y/k}^{1}\to \Omega _{Y/K}^{1}\to 0}$

証明します。 ${\displaystyle \Omega _{Y/k}^{1}\cong \Omega _{Y/K}^{1}}$

射影スキームが与えられた場合、その余接層は、基礎となる次数代数上の余接加群の層化から計算できる。例えば、複素曲線を考える。 ${\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /\mathbb {k} }$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)=\operatorname {Proj} (R)}$

すると、コタンジェントモジュールは次のように計算できる。

${\displaystyle \Omega _{R/\mathbb {C} }={\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy\oplus R\cdot dz}{nx^{n-1}dx+ny^{n-1}dy-nz^{n-1}dz}}}$

それから、

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }={\widetilde {\Omega _{R/\mathbb {C} }}}}$

射影写像を考える

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)=\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])=Y}$

で、最初のシーケンスを使用すると、 ${\displaystyle \operatorname {Sch} /\mathbb {C} }$

${\displaystyle {\widetilde {R\cdot dt}}\to {\widetilde {\frac {R\cdot dt\oplus R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy-dt}}}\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

したがって

${\displaystyle \Omega _{X/Y}={\widetilde {\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy}}}}$

前と同様に、写像 を固定します。高次の微分形式は、上の外冪として定義されます。 ${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}$

この導出は、自然な方法で一連のマップに拡張されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

を満たすこれは、de Rham 複合体として知られる共鎖複合体です。 ${\displaystyle d\circ d=0.}$

デ・ラム複体には、くさび積という追加の乗法構造がある。

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}$

これにより、ド・ラーム複体は可換微分次数代数になる。また、外積代数から継承された余代数構造も持つ。^[3]

層の de Rham 複体のハイパーコホモロジーは、 Y上のX の代数的 de Rham コホモロジーと呼ばれ、 または、文脈からYが明らかな場合は単に で表されます。(多くの場合、 Y は特性0の体のスペクトルです。) 代数的 de Rham コホモロジーは Grothendieck (1966a) によって導入されました。これは結晶コホモロジーと密接に関連しています。 ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}$

他の準連接層の連接コホモロジーからおなじみのように、 X = Spec SおよびY = Spec Rがアフィンスキームである場合、ド・ラーム・コホモロジーの計算は単純化される。この場合、アフィンスキームには高次のコホモロジーがないため、アーベル群の複体のコホモロジーとして計算できる 。${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

これは、項ごとに、層のグローバルセクションです。 ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}$

非常に特殊な例として、 が上の乗法群であるとする。これはアフィンスキームなので、ハイパーコホモロジーは普通のコホモロジーに帰着する。代数的ド・ラーム複体は ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.}$

微分dは通常の微積分の規則に従う。つまり、核と余核は代数的ド・ラーム・コホモロジーを計算する。つまり、 ${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}$

そして、他のすべての代数的ド・ラーム・コホモロジー群はゼロである。比較すると、 の代数的ド・ラーム・コホモロジー群ははるかに大きく、すなわち、 ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}$

これらのコホモロジー群のベッティ数は期待されるものではないため、この問題を解決するために結晶コホモロジーが開発され、有限体上のヴェイユコホモロジー理論が定義されます。

Xが滑らかな複素代数多様体である場合、層の複体の自然な比較写像が存在する。

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}$

代数的ド・ラーム複体と、Xに付随する複素多様体 上の（複素数値）微分形式によって定義される滑らかなド・ラーム複体との間の写像である。ここで、 は複素解析関数を表す。この写像は同型とは程遠い。しかし、グロタンディーク（1966a）は、比較写像が同型を誘導することを示した。 ${\displaystyle X^{\text{an}}}$${\textstyle (-)^{\text{an}}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}$

代数的ド・ラーム・コホモロジーから滑らかなド・ラーム・コホモロジーへ（そしてド・ラームの定理により特異コホモロジーへ）。特に、X がに埋め込まれた滑らかなアフィン代数多様体である場合、代数微分形式の部分複体をX上のすべての滑らかな形式の部分複体に含めることは準同型である。たとえば、 ${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}$、

すると、上で示したように、代数的ド・ラーム・コホモロジーの計算により、それぞれおよびの明示的な生成元が得られ、他のコホモロジー群はすべて消滅します。Xは円とホモトピー同値であるため、これはグロタンディークの定理によって予測されるとおりです。 ${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}$

特異点の場合の反例は、 および の次数付き環のような非デュボイス特異点に見出すことができる。[ 4 ]その他の^反例は、ミルノア数とチュリナ数が等しくない孤立特異点を持つ代数平面曲線に見出すことができる。 ^[5]${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \deg(y)=3}$${\displaystyle \deg(x)=2}$

混合ヴェイユコホモロジー理論の概念を用いたグロタンディークの定理の証明は、Cisinski & Déglise (2013) によって与えられました。

X が体k上の滑らかな多様体である場合、^{[説明が必要]}はXの次元に等しい階数のベクトル束（つまり、局所自由 - 加群）である。これは特に、 ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}$

は直線束、またはそれと同義の因子です。これは標準因子と呼ばれます。標準因子は、結局のところ、双対化複体であり、そのため、セール双対性やヴェルディエ双対性など、代数幾何学のさまざまな重要な定理に登場します。

体k上の次元dの滑らかな代数多様体Xの幾何学的種数は次元として定義される

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}$

曲線の場合、この純粋に代数的な定義は、Xに関連付けられたリーマン面の「ハンドルの数」としての位相的な定義（ の場合）と一致します。曲線の種数によって、幾何学的および算術的特性のかなり明確な三分法があり、g はそれぞれ0（有理曲線）、1（楕円曲線）、および 1 より大きい値（超楕円曲線を含む双曲リーマン面）です。 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

滑らかな多様体Xの接束は、定義により、余接層の双対です。リーマン-ロッホの定理とその広範囲にわたる一般化であるグロタンディーク-リーマン-ロッホの定理には、接束のトッド類が重要な要素として含まれています。 ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$

微分層は様々な代数幾何学的概念と関連している。スキームの射が非分岐的であるのは、がゼロである場合に限る。^[6]この主張の特別なケースは、体kに対して、がk上で分離可能である場合のみであり、これも上記の計算から読み取ることができる。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$${\displaystyle K:=k[t]/f}$${\displaystyle \Omega _{K/k}=0}$

有限型の射f は、平坦であり、適切なランクの局所自由- 加群である場合に滑らかな射である。上記の計算は、アフィン空間からの射影が滑らかであることを示す。 ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$

周期とは、大まかに言えば、算術的に定義された微分形式の積分である。 ^[7]周期の最も単純な例は であり、次のように表される。 ${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

代数的ド・ラームコホモロジーは周期を次のように構成するのに使用される。^[8]代数多様体Xが上記の基底変換との互換性を持つ 上で定義されると、自然な同型が得られる。${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}$

一方、右辺のコホモロジー群は、Xに関連付けられた複素多様体 の de Rham コホモロジーに同型で、ここで と表記されます。さらにもう 1 つの古典的な結果であるde Rham の定理は、後者のコホモロジー群と、複素係数 を持つ特異コホモロジー(または層コホモロジー) との同型を主張しており、これは普遍係数定理により、と同型になります。これらの同型を合成すると、2 つの有理ベクトル空間が得られ、 でテンソル化した後、同型になります。これらの有理部分空間 (格子とも呼ばれる) の基底を選択すると、基底変換行列の行列式は複素数であり、有理数による乗算まで明確に定義されます。このような数は周期です。 ${\displaystyle X^{\text{an}}}$${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}$${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

代数的整数論では、ケーラー微分は代数的数体の拡大における分岐を研究するために使われる。L / K が整数 R と S の環を持つ有限拡大である場合、分岐データを符号化する異なるイデアルδ _{L / K}はR加群Ω _{R / S}の消滅子である: ^[9]

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}$

ホッホシルトホモロジーは結合環のホモロジー理論であり、ケーラー微分と密接に関連していることが判明しています。これは、滑らかな多様体の代数のホッホシルトホモロジーが特性 の体に対するデ・ラーム複体に同型であると述べるホッホシルト-コスタント-ローゼンベルグ定理によるものです。この定理の導出された拡張は、微分次数代数のホッホシルトホモロジーが導出されたデ・ラーム複体に同型であると述べるものです。 ${\displaystyle HH_{\bullet }(R)}$${\displaystyle \Omega _{R/k}^{\bullet }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0}$

ド・ラーム・ウィット複体は、非常に大まかに言えば、ウィットベクトルの環に対するド・ラーム複体の拡張です。

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• Grothendieck、Alexander (1966a)、「代数多様体のド ラム コホモロジーについて」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、29 (29): 95–103、doi :10.1007/BF02684807、ISSN  0073-8301、MR  0199194、S2CID  123434721（マイケル・アティヤ宛の手紙、1963年10月14日）

• グロタンディーク、アレクサンダー (1966b)、ジョン・テイトへの手紙(PDF)

• Grothendieck, Alexander (1968)、「結晶とスキームの de Rham コホモロジー」(PDF)、Giraud, Jean、Grothendieck, Alexander、Kleiman, Steven L.、他編、『Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas』、純粋数学の高度な研究、第 3 巻、アムステルダム: North-Holland、pp. 306–358、MR  0269663
• ジョンソン、ジェームズ (1969)、「ケーラー微分と微分代数」、数学年報、89 (1): 92–98、doi :10.2307/1970810、JSTOR  1970810、Zbl  0179.34302
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• 松村秀之（1986）『可換環論』ケンブリッジ大学出版局
• Neukirch、Jürgen (1999)、Algebraische Zahlentheorie、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 322、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-65399-8、MR  1697859、Zbl  0956.11021
• Rosenlicht, M. (1976)、「Liouville の初等関数理論について」(PDF)、Pacific Journal of Mathematics、65 (2): 485–492、doi : 10.2140/pjm.1976.65.485、Zbl  0318.12107
• Fu, Guofeng; Halás, Miroslav; Li, Ziming (2011)、「非線形制御システムにおけるケーラー微分と通常微分に関するいくつかのコメント」、Systems and Control Letters、60 : 699–703、doi :10.1016/j.sysconle.2011.05.006

• p進代数的デ・ラームコホモロジーに関するノート - 動機として特性0上の多くの計算を与える
• 代数的および解析的微分形式に関する関係を論じるスレッド
• ディファレンシャル（スタックス プロジェクト）