置換積分

微積分学では、置換積分（u置換、逆連鎖律、変数変換とも呼ばれる）^{[ 1 ]}は、積分と原始関数を評価する方法です。これは微分における連鎖律の対義語であり、大まかに言えば連鎖律を「逆向きに」使うものと考えることができます。これには微分形式が含まれます。

単一変数の代入

序論（不定積分）

結果を厳密に述べる前に、不定積分を用いた簡単なケースを考えてみましょう。

計算する $\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$ ^{[ 2 ]}

セット $u=2x^{3}+1.$ これはつまり ${\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}$ または微分形式として、 ${\textstyle du=6x^{2}\,dx.}$ 次に考えてみましょう ${\textstyle \int u^{7}du.}$ :

 ${\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx\\={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}$

どこ $C$ は任意の積分定数です。

この手順はよく用いられるが、すべての積分がこの方法の適用を可能にする形式であるわけではない。いずれにせよ、結果は微分して元の被積分関数と比較することで検証する必要がある。 ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).\end{aligned}}$ 定積分の場合、積分範囲も調整する必要があるが、手順はほぼ同じである。

定積分に関する記述

させて $g:[a,b]\to I$ 連続導関数を持つ微分可能な関数である。 $I\subset \mathbb {R}$ は区間です。 $f:I\to \mathbb {R}$ は連続関数である。したがって：^{[ 3 ]} $\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.$

ライプニッツ記法では、置換 $u=g(x)$ 収量： $\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).}$ 無限小をヒューリスティックに扱うと、次の式が得られる。 $du=g'(x)\,dx,$ これは上記の置換積分式を示唆している。（この式は微分形式に関する記述として解釈することで、より厳密な基礎の上に据えることができる。）置換積分法は、ライプニッツの積分と微分の記法を部分的に正当化するものと見なすことができる。

この公式は、ある積分を、計算しやすい別の積分に変換するために使用されます。したがって、与えられた積分を簡略化するために、この公式は左から右、または右から左のどちらからでも読むことができます。前者の場合、これはu置換またはw置換と呼ばれることがあり、新しい変数は、合成関数内の元の変数の関数に、内側の関数の導関数を掛けたものとして定義されます。後者の場合、三角関数置換でよく使用され、元の変数を新しい変数の三角関数に置き換え、元の微分を三角関数の微分に置き換えます。

証拠

置換積分は、微積分学の基本定理から次のように導き出すことができる。 $f$ そして $g$ 上記の仮説を満たす2つの関数は、 $f$ 連続している $I$ そして $g'$ 閉区間上で積分可能である $[a,b]$ すると関数 $f(g(x))\cdot g'(x)$ また、積分可能 $[a,b]$ したがって、積分は $\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx$ そして $\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du$ 実際には存在しており、それらが平等であることを示す必要がある。

以来 $f$ 連続関数であり、原始関数を持つ。 $F$ 合成関数 $F\circ g$ は定義される。 $g$ 微分可能であること、連鎖律と原始関数の定義を組み合わせると次のようになる。 $(F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).$

微積分学の基本定理を2回適用すると、次のようになる。 ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}F'(u)\,du=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}$ これは代入規則です。

例：原始関数（不定積分）

置換法を用いて原始関数を決定することができる。 $x$ そして $u,$ 対応する関係を決定します $dx$ そして $du$ 微分によって、置換を実行します。置換された関数の原始関数が決定できるはずです。 $x$ そして $u$ その後、元に戻されます。

例１

次の積分を考えてみましょう。 $\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.}$ 置換を行う $u=x^{2}+1$ 取得する $du=2x\ dx,$ 意味 ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ したがって： ${\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}$ どこ $C$ は任意の積分定数です。

例２：正接と余接の原始関数

正接関数は、正弦と余弦を用いて表すことで、置換積分によって積分することができる。 $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$ 。

置換を用いて $u=\cos x$ 与える $du=-\sin x\,dx$ そして ${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}$

コタンジェント関数は、次のように表すことで同様に積分できます。 $\cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}$ そして置換を用いて $u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx$ : ${\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}$

例：定積分

定積分を置換積分で評価する場合、まず原始関数を完全に計算してから境界条件を適用することができます。この場合、境界項を変換する必要はありません。あるいは、まず不定積分を完全に計算してから境界条件を適用することもできます（上記参照）。これは、複数の置換積分を用いる場合に特に便利です。

例１

次の積分を考えてみましょう。 $\int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.$ 置換を行う ${\textstyle u=x^{2}+1}$ 取得する $du=2x\ dx,$ 意味 ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ したがって： ${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}$ 下限値 $x=0$ に置き換えられました $u=1,$ 上限 $x=2$ と $2^{2}+1=5,$ 変換して $x$ 不要だった。

例２：三角関数の置換

積分については $\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,$ 上記の手順の変形が必要である。置換 $x=\sin u$ 暗示する $dx=\cos u\,du$ 役立つ理由は ${\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}$ したがって、次のようになります。 ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}$

結果として得られる積分は、部分積分または倍角公式を使用して計算できます。 ${\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}$ 続いてもう1つの置換を行う。また、積分される関数は半径1の円の右上四分円であることに注意することもできる。したがって、右上四分円を0から1まで積分することは、単位円の4分の1の面積の幾何学的等価物である。 ${\tfrac {\pi }{4}}.$

複数の変数の代入

複数の変数の関数を積分する場合にも、置換法を用いることができます。

ここで、置換関数 $(v 1,..., v n) = φ (u 1, ..., u n)は$ 単射かつ連続微分可能である必要があり、微分は次のように変換されます。 $dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},$ ここで、 $det(Dφ)(u 1, ..., u n)$ は、点 $($ $u$ $1$ $, ...,$ $u$ $n$ $)における$ $φ$ の偏微分を表すヤコビ行列の行列式を表します。この式は、行列の行列式の絶対値が、その列または行によって張られる平行多面体の体積に等しいという事実を表しています。

より正確には、変数変換の公式は次の定理で述べられています。

定理— $U を$ $R n$ の開集合とし、φ $: U \to R n を$ $U$ のすべての $x$ に対してヤコビ行列がゼロでない連続偏導関数を持つ単射微分可能関数とする。このとき、 $φ$ $($ $U$ $)$ に含まれる台を持つ任意の実数値でコンパクトな台を持つ連続関数 $f$ に対して、次のことが成り立つ。 $\int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .$

定理の条件は、さまざまな方法で緩和できます。まず、 $φ が$ 連続微分可能であるという要件を、 $φ が$ 微分可能で連続逆関数を持つというより弱い仮定に置き換えることができます。^{[ 4 ]}これは、逆関数定理により $φ が連続微分可能であれば必ず成り立ちます。あるいは、$ サードの定理を適用することで、 $det($ $Dφ$ $) \neq 0$ という要件をなくすことができます。^[⁵^]

ルベーグ可測関数については、定理は次の形式で述べることができます。^{[ 6 ]}

定理— $U を$ $R$ $n の$ 可測部分集合とし、 $φ : U \to R n を$ 単射関数とする。また、 $U$ の任意の $x$ に対して、 $φ$ $($ $y$ $)$ $=$ $φ$ $($ $x$ $) +$ $φ ' ( x )( y - x ) + o ( ‖ y - x ‖ ) が y \to x のときに成り立つような R n , n の φ$ $'$ $($ $x$ $)$ $が$ $存在$ $する$ $と$ $仮定する$ $($ $ここ$ $で$ $o$ $は$ $小文字$ $の$ $o$ $表記$ $)$ 。このとき、 $φ$ $($ $U$ $)$ $は$ $可$ $測$ で $あり$ 、φ ( U ) $上$ $で$ $定義$ $さ$ $れ$ $た$ $任意$ $の$ 実数値関数 $f$ に対して、次のことが成り立つ。 $\int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du$ つまり、どちらかの積分が存在する場合（真の無限大である可能性も含めて）、もう一方の積分も存在し、それらは同じ値を持つという意味である。

測度論におけるもう一つの非常に一般的なバージョンは次のとおりです。^{[ 7 ]}

定理— $X を$ 有限ラドン測度 $μを備えた$ 局所コンパクトハウスドルフ空間とし、 $Y を$ $σ 有限ラドン測度 ρ を備えた σ コンパクトハウスドルフ空間とする。φ : X$ → Yを $絶対$ 連続関数とする $($ $ここ$ $で$ $、$ μ ( E $)$ $=$ $0$ $の$ とき $ρ$ $($ $φ$ $($ $E$ $)) = 0である)。このとき、$ $X$ 上に実数値ボレル可測関数 $wが存在し、すべての$ ルベーグ可積分関数 $f$ $:$ $Y$ $\to$ $R$ に対して、関数 $($ $f$ $\circ$ $φ$ $) \cdot$ $w$ $はX$ 上でルベーグ可積分であり、 $\int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).$ さらに、次のように書くことも可能である。 $w(x)=(g\circ \varphi )(x)$ $Y$ 上のボレル可測関数 $g$ に対して。

幾何学的測度論では、置換積分はリプシッツ関数とともに用いられる。双リプシッツ関数とは、単射であり、かつその逆関数 $φ$ $-$ $1$ $:$ $φ$ $($ $U$ $) \to$ $Uもリプシッツであるリプシッツ関数$ $φ : U \to R n$ のことである。ラデマッハーの定理によれば、双リプシッツ写像はほとんど至るところで微分可能である。特に、双リプシッツ写像のヤコビ行列式 $det$ $Dφ$ はほとんど至るところでwell-definedである。したがって、次の結果が成り立つ。

定理— $U を$ $R n$ の開集合とし、φ $: U \to R n を$ $双$ リプシッツ写像とする。f $:$ $φ (U) \to R$ を可測とする。このとき $\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx=\int _{U}(f\circ \varphi )(x)\left|\det D\varphi (x)\right|\,dx$ つまり、どちらかの積分が存在する（または真に無限大である）ならば、もう一方の積分も存在し、それらは同じ値を持つということである。

上記の定理は、オイラーが1769年に二重積分の概念を発展させた際に初めて提唱されました。1773年にラグランジュによって三重積分に一般化され、ルジャンドル、ラプラス、ガウスによって使用され、 1836年にミハイル・オストログラツキーによって初めて $n$ 変数に一般化されましたが、驚くほど長い間、完全に厳密な形式的証明が不可能であり、125年後の1890年代半ばから始まった一連の論文でエリー・カルタンによって初めて満足のいく形で解決されました。 ^[⁸^]^[⁹^]

確率論への応用

代入法は、確率論における次の重要な質問に答えるために使用できます。確率密度 $p$ $X$ $を持つ確率変数Xと、$ 単射(1 対 1) $ϕ$ に対して $Y$ $=$ $ϕ$ $($ $X$ $)$ となる別の確率変数 $Yが与えられたとき$ $、$ $Y$ の確率密度は何ですか?

$この質問に答えるには、$ まず少し異なる質問に答えるのが最も簡単です。つまり、 $Yが特定のサブセット$ $S$ の値をとる確率はどれくらいかということです。この確率を $P (Y\inS)とします。$ もちろん、 $Yの$ $確率$ 密度がpYであれ $ば$ 、答えは次のようになります $。$ $P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,$ $しかし、これは実際には役に立ちません。なぜなら、 p Y$ がわからないからです $。$ 私たちが探しているのは p Y です。変数 $X$ の問題を考えることで進展させることができます。Y $は、$ $X が$ S の値を取るときに $S$ の値を取ります。 ${\textstyle \phi ^{-1}(S),}$ それで： $P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.$

変数 $xを$ $y$ に変換すると次のようになります。 $P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.$ これを最初の式と組み合わせると次のようになります。 $\int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,$ それで： $p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.$

$X$ と $Y が$ 複数の無相関変数に依存する場合(つまり、 ${\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ そして $y=\phi (x)$ ) $p_{Y}$ は、上記で説明したいくつかの変数に代入することで求めることができます。結果は次のとおりです。 $p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.$

参考文献

ブリッグス、ウィリアム、コックラン、ライル（2011）、『微積分：初期超越関数（単変数版）』、アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-321-66414-3
Ferzola, Anthony P. (1994)、「オイラーと微分」、The College Mathematics Journal、25 (2): 102–111、doi : 10.2307/2687130、JSTOR 2687130 、 2012年11月7日にオリジナルからアーカイブ、 2008年12月24日取得
フレムリン、DH（2010）、『測度論、第2巻』、トーレス・フレムリン、ISBN 978-0-9538129-7-4。
ヒューイット、エドウィン；ストロンバーグ、カール（1965）、『実解析と抽象解析』、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-04559-7。
Katz, Victor J. (1982)、「多重積分における変数変換：オイラーからカルタンへ」、Mathematics Magazine、55 (1): 3–11、doi : 10.2307/2689856、JSTOR 2689856
ルディン、ウォルター（1987）、『実解析と複素解析』、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-054234-1。
スウォコウスキー、アール・W. (1983)、解析幾何学を伴う微積分（別版）、プリンドル、ウェーバー＆シュミット、ISBN 0-87150-341-7
スピヴァク、マイケル（1965）、『多様体上の微積分』、ウェストビュー・プレス、ISBN 978-0-8053-9021-6。

外部リンク

数学百科事典における置換積分法
数学百科事典の面積公式

[1] スウォコフスキー 1983 、p. 257

[2] スウォコフスキー 1983 、p. 258

[3] ブリッグス＆コックラン 2011 、p.361

[4] ルーディン 1987 、定理 7.26

[5] スピヴァク 1965 、p.72

[6] フレムリン 2010 、定理 263D

[7] Hewitt & Stromberg 1965 、定理20.3

[8] カッツ 1982

[9] フェルゾラ 1994

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