翻訳（幾何学）

ユークリッド幾何学において、平行移動とは、図形、形状、または空間のすべての点を、指定された方向に同じ距離だけ移動させる幾何学的変換のことです。平行移動は、すべての点に定数ベクトルを加えること、または座標系の原点を移動させることとして解釈することもできます。ユークリッド空間では、すべての平行移動は等長変換です。

平行移動とは、元の図形を方向、向き、長さ（ベクトル）に従って移動させる等長変換のことです。平行移動は、線分の方向と長さ、および角度の振幅を保持します。

スライドとは、ねじ軸に沿った並進運動であり、その軸を中心に回転運動も起こり得る。

翻訳の具体的な例としては、エレベーター、エスカレーター、さらには滑り台などが挙げられる。

並進対称では、図形は線に沿って「スライド」し、形状は変化しません。すべての並進において、同じ要素が一定の方向に、常に自身と平行に、つまり回転することなく移動することが観察されます。フリーズでは、一定の方向に、常に自身と平行に、周期的に繰り返されるモチーフが存在します。

「AB を平面 π または空間 E 内の向き付けられた線分とする。（向き付けられているとは、端点の順序が重要であることを意味する。まず A、次に B である。）AB によって決定される並進は、τ  : π → π または τ  : E → E という変換（全単射対応）であり、τ(X) = X' で定義され、(AB, XX') と (AX, BX') は平行四辺形の対辺のペアである。」^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle \mathbf {v} }$は固定ベクトルであり、並進ベクトルとして知られています。${\displaystyle \mathbf {p} }$あるオブジェクトの初期位置が、変換関数である場合${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$として機能します${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$。

もし${\displaystyle T}$翻訳である場合、部分集合の画像${\displaystyle A}$機能の下で${\displaystyle T}$は​​${\displaystyle A}$による${\displaystyle T}$. の翻訳${\displaystyle A}$による${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$しばしば次のように書かれる${\displaystyle A+\mathbf {v} }$。

変換演算子は元の位置の関数を変換します。${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$最終位置の関数に、${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}$。 言い換えると、$\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$は次のように定義される。${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$この演算子は関数よりも抽象的です。$\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$変換演算子は、基となるベクトル自体ではなく、2つの関数間の関係を定義します。変換演算子は、量子力学の分野で研究されている波動関数に作用する場合など、多くの種類の関数に作用することができます。

すべての翻訳の集合が翻訳グループを形成する。${\displaystyle \mathbb {T} }$これは空間自体と同型であり、ユークリッド群の正規部分群である。${\displaystyle E(n)}$商群​​${\displaystyle E(n)}$による${\displaystyle \mathbb {T} }$は、特定の原点を固定する剛体運動の群、直交群と同型である。${\displaystyle O(n)}$:

${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$

平行移動は可換であるため、平行移動群はアーベル群です。平行移動は無限に存在するため、平行移動群は無限群です。

相対性理論では、空間と時間を単一の時空として扱うため、並進は時間座標の変化も指すことがある。例えば、ガリレオ群やポアンカレ群には、時間に関する並進が含まれる。

平行移動は固定点を持たないアフィン変換です。行列乗算では常に原点が固定点となります。しかしながら、同次座標を用いて行列乗算によるベクトル空間の平行移動を表す一般的な回避策があります。3次元ベクトルを記述します。${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$4つの同次座標を使用して${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$[ ^{3 ]​}

オブジェクトをベクトルで移動させる${\displaystyle \mathbf {v} }$各同次ベクトル${\displaystyle \mathbf {p} }$（同次座標で表記）には、この並進行列を乗じることができます。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

以下に示すように、乗算を行うと期待通りの結果が得られます。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

並進行列の逆行列は、ベクトルの方向を反転させることで得られます（つまり、M行列です）。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

同様に、並進行列の積は、ベクトルを加算することによって得られます。

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

ベクトルの加算は可換であるため、並進行列の乗算も可換である（任意の行列の乗算とは異なる）。

幾何学的平行移動は、幾何学的オブジェクトの位置を変更する能動的な変換として捉えられることが多いが、座標系自体を移動させ、オブジェクトの位置は固定したままにする受動的な変換によっても同様の結果が得られる。能動的な幾何学的平行移動の受動的なバージョンは、軸の平行移動として知られている。

平行移動の前後で見た目が同じである物体は、平行移動対称性を持つと言われます。一般的な例としては、平行移動演算子の固有関数である周期関数が挙げられます。

並進対称では、図形は線に沿って「スライド」し、形状は変化しません。すべての並進において、同じ要素が一定の方向に、常に自身と平行に、つまり回転することなく移動することが観察されます。フリーズでは、一定の方向に、常に自身と平行に、周期的に繰り返されるモチーフが存在します。

実関数fのグラフ、点の集合⁠${\displaystyle (x,f(x))}$は、 xを水平座標、を とした実座標平面でよく図示される。${\displaystyle y=f(x)}$垂直座標として。

fのグラフから始めて、水平方向の平行移動とは、 fと関数を合成すること を意味します。${\displaystyle x\mapsto x-a}$⁠、ある定数aに対して、結果として点からなるグラフが得られます。${\displaystyle (x,f(x-a))}$各ポイント​${\displaystyle (x,y)}$元のグラフの⁠は、点 ⁠ に対応します。${\displaystyle (x+a,y)}$新しいグラフでは、視覚的には水平方向のずれが生じます。

垂直方向の移動とは、関数を構成することを意味します。${\displaystyle y\mapsto y+b}$fを用いて、ある定数bに対して、点からなるグラフが得られる。${\displaystyle {\bigl (}x,f(x)+b{\bigr )}}$各ポイント​${\displaystyle (x,y)}$元のグラフの⁠は、点 ⁠ に対応します。${\displaystyle (x,y+b)}$新しいグラフでは、図的には垂直方向のシフトが生じます。^{[ 4 ]}

例えば、二次関数を考えると${\displaystyle y=x^{2}}$⁠、そのグラフは頂点が にある放物線です。${\displaystyle (0,0)}$⁠、水平方向に右へ5単位移動するのが新しい機能です。${\displaystyle y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25}$頂点の座標は⁠${\displaystyle (5,0)}$3単位上方向への垂直移動が新しい機能となります。${\displaystyle y=x^{2}+3}$頂点の座標は⁠${\displaystyle (0,3)}$⁠ .

関数の原始関数はすべて積分定数だけ異なり、したがって互いに垂直方向に平行移動したものである。^{[ 5 ]}

船舶や航空機の動力学を含む、車両（またはあらゆる剛体）の動力学を記述する場合、3つの基準軸に沿った並進運動（およびそれらの3つの軸を中心とした回転運動）を含む6自由度からなる機械モデルを使用するのが一般的です。これらの並進運動は、サージ、スウェイ、ヒーブと呼ばれることがよくあります。

• Zazkis, R.、Liljedahl, P.、Gadowsky, K.「関数変換の概念：障害、直観、および再ルーティング」Journal of Mathematical Behavior、22、437–450。2014年4月29日、www.elsevier.com/locate/jmathbより取得。
• グラフの変換：水平方向の平行移動。（2006年1月1日）。BioMath：グラフの変換。2014年4月29日取得。

• 翻訳変換at cut-the-knot
• Math Is Funの幾何学的変換（インタラクティブアニメーション）
• Roger Germundsson 著、Wolfram Demonstrations Project の「Understanding 2D Translation」および「Understanding 3D Translation」。