原始関数（複素解析）

複素解析（数学の一分野）において、複素数値関数gの原始関数、または原始関数とは、複素導関数がgである関数のことである。より正確には、開集合が与えられたとき、${\displaystyle U}$複素平面上および関数${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} ,}$の反微分${\displaystyle g}$関数です${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$満たす${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=g}$。

したがって、この概念は、実数値関数の原始関数の複素変数版である。

定数関数の導関数はゼロ関数です。したがって、任意の定数関数はゼロ関数の原始関数です。${\displaystyle U}$が連結集合である場合、定数関数はゼロ関数の唯一の原始関数である。そうでない場合、関数がゼロ関数の原始関数であるのは、それが の各連結成分上で定数である場合に限る。${\displaystyle U}$（これらの定数は必ずしも等しい必要はない。）

この観察は、関数が${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }$が原始関数を持つ場合、その原始関数は、の各連結成分上で定数となる関数を加えることを除いて一意である。${\displaystyle U}$。

コーシーの積分公式によれば、微分可能な関数は実際には無限に微分可能であることが示され、関数は${\displaystyle f}$原始関数を持つ場合、それ自体が微分可能でなければならない${\displaystyle F}$なぜなら、もし${\displaystyle F'=f}$それから${\displaystyle F}$微分可能であり、${\displaystyle F''=f'}$存在する。

実変数関数の場合と同様に、複素平面上の経路積分を用いて原始関数の存在を特徴づけることができる。おそらく当然のことながら、g が原始関数fを持つのは、 aからbへの任意の γ 経路に対して、経路積分が次のようになる場合のみである。

${\displaystyle \int _{\gamma }g(\zeta )\,\mathrm {d} \zeta =f(b)-f(a).}$

同様に、

${\displaystyle \oint _{\gamma }g(\zeta )\,{\rm {\mathrm {d} \zeta =0,​​}}}$

任意の閉経路γについて。

しかし、この形式的な類似性にもかかわらず、複素原始関数を持つことは、実数における原始関数を持つことよりもはるかに厳しい条件です。不連続な実関数が原始関数を持つことは可能ですが、複素変数の正則関数であっても原始関数が存在しない場合があります。たとえば、穴の開いた平面C \{0}上で正則である逆関数g ( z ) = 1/ zを考えてみましょう。直接計算すると、原点を囲む任意の円に沿ったgの積分はゼロではないことがわかります。したがって、g は上記の条件を満たしません。これは、保存ベクトル場のポテンシャル関数の存在に似ています。グリーンの定理は、コーシーの積分定理の場合のように、問題の関数が単連結領域で定義されている場合にのみ、経路独立性を保証できます。

実際、正則性とは局所的に原始関数を持つことで特徴づけられる。つまり、定義域内の任意の点 zに対して、g がU上で原始関数を持つようなzの近傍Uが存在する場合、g は正則関数である。さらに、正則関数の導関数は正則であるため、正則性は関数が原始関数を持つための必要条件である。

コーシー積分定理のさまざまなバージョンは、経路積分を多用するコーシー関数理論の基礎となる結果であり、正則gに対して、

${\displaystyle \oint _{\gamma }g(\zeta )\,\mathrm {\mathrm {d} } \zeta }$

任意の閉経路γ（例えば、gの定義域が単連結または星型凸である場合など）に対しては消滅する。

• イアン・スチュワート、デイビッド・O・トール（1983年3月10日）。複素解析。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-28763-4。
• アラン・D・ソロモン（1994年1月1日）。複素変数の基礎I。リサーチ＆エデュケーション協会。ISBN 0-87891-661-X。

• ワイススタイン、エリック・W. 「微積分学の基本定理」 . MathWorld .