意味 f ( x )を実変数 x の関数とする。実変数xに対して、 f のジャクソン積分は次の級数展開で定義される。
∫ 0 1 f （ x ） d q x = （ 1 − q ） 1 ∑ k = 0 ∞ q k f （ q k 1 ） 。 {\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,a\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}a).} これと一致する定義は1 → ∞ {\displaystyle a\to \infty }
∫ 0 ∞ f （ x ） d q x = （ 1 − q ） ∑ k = − ∞ ∞ q k f （ q k ） 。 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k}f(q^{k}).} より一般的に、g ( x )が別の関数であり、Dqg が q 微分を表す場合、形式的には次のように書くことができる。
∫ f （ x ） D q g d q x = （ 1 − q ） x ∑ k = 0 ∞ q k f （ q k x ） D q g （ q k x ） = （ 1 − q ） x ∑ k = 0 ∞ q k f （ q k x ） g （ q k x ） − g （ q k + 1 x ） （ 1 − q ） q k x 、 {\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},} ∫ f （ x ） d q g （ x ） = ∑ k = 0 ∞ f （ q k x ） ⋅ （ g （ q k x ） − g （ q k + 1 x ） ） 、 {\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),} リーマン・スティルチェス積分 のq 類似物を与える。
q-原始関数としてのジャクソン積分 連続関数 の通常の原始関数が リーマン積分 で表せるのと同様に、ジャクソン積分が特定の関数クラス内で一意のq- 原始関数を与えることを示すことができる（ [ 2 ]
注記 ↑ Exton, H (1979). "基本フーリエ級数". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 369 (1736): 115–136 . Bibcode : 1979RSPSA.369..115E . doi : 10.1098/rspa.1979.0155 . S2CID 120587254 . ↑ Kempf, A; Majid, Shahn (1994). "量子空間およびブレイド空間における代数的 q -積分とフーリエ理論". Journal of Mathematical Physics . 35 (12): 6802–6837 . arXiv : hep-th/9402037 . Bibcode : 1994JMP....35.6802K . doi : 10.1063/1.530644 . S2CID 16930694 . ↑ Kac-Cheung、定理19.1。
参考文献 Victor Kac、Pokman Cheung、『Quantum Calculus』 。ISBN 0-387-95341-8 Jackson FH (1904)、「関数Γ(n)とx n の一般化」、Proc. R. Soc. 74 64–72。 Jackson FH (1910)、「q-定積分について」、QJ Pure Appl. Math. 41 193–203。 エクストン、ハロルド（1983）。Q超幾何関数とその応用 。チチェスター（ウェスト・サセックス）：E.ホーウッド。ISBN 978-0470274538 。
