フレネル積分

フレネル積分 S ( x )とC ( x ) は、光学で使用されるオーギュスタン＝ジャン・フレネルにちなんで名付けられた2 つの超越関数であり、誤差関数( erf )と密接に関連しています。これらは、近接場フレネル回折現象の記述で発生し、次の積分表現によって定義されます。

$${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.}$$

パラメトリック曲線は オイラー${\displaystyle {\bigl (}S(t),C(t){\bigr )}}$螺旋またはクロソイドであり、その曲率は弧の長さに応じて直線的に変化する曲線です。

フレネル積分という用語は、複素定積分を指すこともある。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{\pm iax^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\pm i\pi /4}}$$

ここで、a は実数かつ正です。これは、複素平面上で閉曲線を描き、コーシーの積分定理を適用することで評価できます。

フレネル積分は、すべてのxに対して収束する次のべき級数展開を許容します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}}$$

広く使われている表^{[1] [2]では}、⁠π/2⁠ t ^2の代わりにS ( x )とC ( x )を定義する積分の引数を使用します。これにより、無限大での極限が⁠から1/2⁠ · √ ⁠π/2⁠から⁠1/2⁠ ^[3]そして、最初の螺旋回転の弧の長さは√2πから2（t = 2 ）までです。これらの代替関数は通常、正規化フレネル積分として知られています。

オイラー螺旋は、コルニュ螺旋またはクロソイドとも呼ばれ、S ( t )とC ( t )のパラメトリック プロットによって生成される曲線です。オイラー螺旋は、18 世紀半ばにレオンハルト オイラーによってオイラー-ベルヌーイの梁理論の文脈で初めて研究されました。1 世紀後、マリー アルフレッド コルニュは、回折計算用のノモグラムとして同じ螺旋を作成しました。

フレネル積分の定義から、無限小数 dxとdy は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}}$$

したがって、原点から測った螺旋の長さは次のように表される。 $${\displaystyle L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.}$$

つまり、パラメータtは原点(0, 0)から測った曲線の長さであり、オイラー螺旋の長さは無限大です。ベクトル(cos( t ² ), sin( t ² ))は螺旋に沿った単位 接線ベクトルも表し、 θ = t ²となります。tは曲線の長さなので、曲率κ は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.}$$

したがって、曲線の長さに対する曲率の変化率は $${\displaystyle {\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.}$$

オイラー螺旋には、任意の点における曲率が、原点から測定された螺旋に沿った距離に比例するという特性があります。この特性により、オイラー螺旋は高速道路や鉄道工学における遷移曲線として役立ちます。車両が単位速度で螺旋をたどる場合、上記の導関数のパラメータt は時間も表します。したがって、一定速度で螺旋をたどる車両は、一定の角加速度率を持ちます。

オイラー螺旋の一部は、ジェットコースターのループの形状によく組み込まれ、クロソイドループと呼ばれるものを形成します。

C ( x )と S ( x )はxの奇関数であり、

$${\displaystyle C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x).}$$

これは、それらのべき級数展開が奇数次項のみを持つという事実から、または、それらが原点でゼロである偶関数の不定積分であるという事実から容易に見ることができます。

x → ∞におけるフレネル積分の漸近は次の式で与えられる:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}}$$

上記のべき級数展開を使用すると、フレネル積分は複素数の領域に拡張でき、そこでは 複素変数zの完全な関数になります。

フレネル積分は誤差関数を用いて次のように表すことができる: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}$$

または

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}$$

C ( x )とS ( x )を定義する積分は、特別な場合を除いて、基本関数の閉形式では評価できません。 x が無限大に近づくときのこれらの関数の極限は既知です。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.}$$

この積分は 合流型超幾何関数 であり、不完全ガンマ関数^[6]でも ある。これは実部または虚部を取るとフレネル積分に帰着する。 漸近展開の主要項は 、したがって $${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right).}$$$${\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.}$$

m = 0の場合、特にこの方程式の虚数部は、 左側がa > 1で収束し、右側がΓ ( a ⁻¹ )の極がある部分を除いた平面全体への解析的拡張となります。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),}$$

合流型超幾何関数のクンマー変換は 、 $${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},}$$$${\displaystyle V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).}$$

任意の精度での計算では、引数が小さい場合はべき級数が適しています。引数が大きい場合は漸近展開の方が収束が速くなります。^[7]連分数法も使用できます。^[8]

特定の目標精度の計算のために、他の近似法が開発されている。Cody ^[9]は、有理関数に基づく効率的な近似法を開発し、相対誤差を2 × 10 ⁻¹⁹。他の言語での実装に必要な係数の値を含むCody近似のFORTRAN実装はvan Snyderによって公開されました。 ^[10] Boersmaは誤差が2×10 −19未満の近似を開発しました。1.6 × 10 ⁻⁹ . ^[11]

フレネル積分はもともと、光が不透明な物体の周りを曲がる環境における電磁場の強度を計算するために使用されていました。^{[12]最近では、高速道路や鉄道の設計、特に曲率遷移ゾーン}（線路遷移曲線を参照）に使用されています。^[13]その他の用途としては、ジェットコースター^[12]や、自転車競技場の線路の遷移を計算して、カーブへの急速な進入と緩やかな退出を可能にすることが挙げられます。^[要出典]

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  Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、-2-2i から 2+2i までの複素平面におけるフレネル積分関数 S(z) のカラー プロット
• 
  Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、-2-2i から 2+2i までの複素平面におけるフレネル積分関数 C(z) のカラー プロット
• 
  Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、複素平面における -2-2i から 2+2i までのフレネル補助関数 G(z) のカラー プロット
• 
  Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、複素平面における -2-2i から 2+2i までのフレネル補助関数 F(z) のカラー プロット

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• Cephes は、フレネル積分やその他の特殊関数を計算するための無料/オープンソースの C++/C コードです。SciPyおよび ALGLIBで使用されます。
• Faddeeva パッケージは、複雑な誤差関数 (フレネル積分を取得できる) を計算するための無料/オープンソースのC++/C コードで、Matlab、Python、その他の言語用のラッパーが含まれています。
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• Weisstein, Eric W.「フレネル積分」。MathWorld。
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