不定額

離散計算では、不定和演算子（反差分演算子とも呼ばれる）は、または^{[1] [2]}で表され、線形演算子であり、前進差分演算子の逆である。不定積分が導関数と関係しているのと同様に、前進差分演算子と不定積分は関係している。したがって 、${\textstyle \sum _{x}}$${\displaystyle \Delta ^{-1}}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,.}$

より明確に言えば、ならば、 ${\textstyle \sum _{x}f(x)=F(x)}$

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)\,.}$

F ( x ) が与えられたf ( x )に対するこの関数方程式の解である場合、周期 1 の任意の周期関数C ( x ) に対してF ( x )+ C ( x ) も解になります。したがって、各不定和は実際には関数の族を表します。ただし、カールソンの定理により、そのニュートン級数展開に等しい解は、加法定数Cを除いて一意です。この一意の解は、反差分演算子の形式的なべき級数形式で表すことができます。 ${\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}$

不定和は次の式で定和を計算するために使用できる: ^[3]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}$

ラプラスの総和公式は、不定和を不定積分と差分演算子の反復から得られる補正項の和として表すことを可能にするが、もともとは積分を不定和と補正項の和として表す逆のプロセスのために開発された。不定和や不定積分の場合と同様に、積分定数を任意に選択するまで有効である。演算子代数を使用すると、演算対象となる関数を繰り返しコピーして式が乱雑になるのを防ぐことができる。^[4]

$${\displaystyle \sum _{x}=\int {}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{12}}\Delta +{\frac {1}{24}}\Delta ^{2}-{\frac {19}{720}}\Delta ^{3}+{\frac {3}{160}}\Delta ^{4}-\cdots }$$

例えば、この式では、項は与えられた関数を2で割る演算子を表します。この式に現れる係数、、などはグレゴリー係数であり、ラプラス数とも呼ばれます。項の係数は^[4]です。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}}$${\displaystyle \Delta ^{n-1}}$

$${\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n}}{n!}}=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx}$$

ここで、左辺の分子は第一種コーシー数と呼ばれるが、この名前はグレゴリー係数自体にも適用されることがある。 ^[4]${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}[f]\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)_{k}+C}$

ここで、 は下降階乗です。${\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C\,,}$

ファウルハーバーの公式は、方程式の右辺が収束することを規定しています。

もしそうなら^[5]${\displaystyle \lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}$

多くの場合、不定和の 定数C は次の条件から決定されます。

させて

${\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}$

定数Cは条件から固定される。

${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)\,dx=0}$

または

${\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)\,dx=0}$

あるいは、ラマヌジャンの和を使用することもできます。

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

または1

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}$

それぞれ^{[6] [7]}

部分ごとの不定合計:

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}$

部分ごとの明確な合計:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}$

関数の周期であれ ば${\displaystyle T}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}$

が関数の反周期である 場合、${\displaystyle T}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x+T)=-f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}$

上限の数値が指定されていない合計を説明するために、「不定の合計」というフレーズを使用する著者もいます。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k).}$

この場合、和の 閉じた形式表現F ( k )は、

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}$

これはテレスコーピング方程式と呼ばれます。^[8]これは後方差分 演算子の逆です。これは、前述の離散計算の基本定理を使用して前方反差分演算子に関連付けられます。 ${\displaystyle \nabla }$

これはさまざまな関数の不定和のリストです。すべての関数が基本関数で表現できる不定和を持つわけではありません。

${\displaystyle \sum _{x}a=ax+C}$

ここから因数分解すると 1 が残り、別の形式 となります。そこから次の式が得られます。${\displaystyle a}$${\displaystyle x^{0}}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{0}=\ x}$

以下の合計については、${\displaystyle x=x^{1}}$

${\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x(x+1)}{2}}+C}$

正の整数指数にはファウルハーバーの公式が使える。負の整数指数には

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x^{a}}}={\frac {(-1)^{a+1}\psi ^{(a+1)}(x)}{a!}}+C,\,a\in \mathbb {Z} }$

ここでポリガンマ関数を使用できます。${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$

より一般的には、

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\begin{cases}-\zeta (-a,x+1)+C_{1},&{\text{if }}a\neq -1\\\psi (x+1)+C_{2},&{\text{if }}a=-1\end{cases}}}$

ここで、はフルヴィッツゼータ関数、はディガンマ関数です。および は通常それぞれ(ここで、 はリーマンゼータ関数) およびオイラー・マスケローニ定数に設定される定数です。 変数を に置き換えると、これは一般化調和数になります。フルヴィッツゼータ関数とポリガンマ関数の関係については、バランスポリガンマ関数とフルヴィッツゼータ関数#特殊なケースと一般化を参照してください。${\displaystyle \zeta (s,a)}$${\displaystyle \psi (z)}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle \zeta (-a)}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

これから、 を使用すると、別の形式が得られます。${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a)}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}=\int _{0}^{x}-a\zeta (1-a,u+1)du+C,{\text{ if }}a\neq -1}$

${\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}$

特に、

${\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}(x!)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(x!a^{x})+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}$

ここでq-ディガンマ関数です。${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

ここでq-ディガンマ関数です。${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sinc} x=\operatorname {sinc} (x-1)\left({\frac {1}{2}}+(x-1)\left(\ln(2)+{\frac {\psi ({\frac {x-1}{2}})+\psi ({\frac {1-x}{2}})}{2}}-{\frac {\psi (x-1)+\psi (1-x)}{2}}\right)\right)+C}$

ここで、正規化されたsinc関数です。${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}$

ここで は不完全ガンマ関数です。${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

${\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}$

ここで、 は下降階乗です。${\displaystyle (x)_{a}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}$

（超指数関数を参照）

• 不定積
• 時間スケール計算
• 代替計算における微分と積分の一覧

• 「差分方程式: 応用入門」、Walter G. Kelley、Allan C. Peterson、Academic Press、2001 年、ISBN 0-12-403330-X 
• マルクス・ミュラー。非整数項の加算方法と、異常な無限和の生成方法
• マルクス・ミュラー、ディーク・シュライヒャー。分数和とオイラーのような恒等式
• SP Polyakov. 有理関数の不定和と加算可能部分の最小化の追加。Programmirovanie、2008 年、第 34 巻、第 2 号。
• 「有限差分方程式とシミュレーション」、フランシス・B・ヒルデブランド、プレンクティス・ホール、1968年