逆関数の積分

数学では、逆関数の積分は、連続かつ可逆な関数の逆関数の不定積分を と の不定積分で表す式によって計算できます。この式は、 1905 年にCharles-Ange Laisant によって発表されました。^[1]${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$

とを の2 つの区間とします。は連続かつ可逆な関数であると 仮定します。中間値定理から、は厳密に単調であることが分かります。したがって、は区間を区間に写像するため、 は開写像となり、同相写像となります。と逆関数は連続なので、微積分学の基本定理により、これらには原微分が存在します。 ${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:I_{1}\to I_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}:I_{2}\to I_{1}}$

Laisant は、が の原始微分である場合、の原始微分は次のようになることを証明しました。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle \int f^{-1}(y)\,dy=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C,}$

ここで、は任意の実数です。 が微分可能であるとは想定されていないことに注意してください。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{-1}}$

1905 年の論文で、レイサントは 3 つの証明を示しました。

まず、 が微分可能であるという追加の仮定の下で、上記の式を微分することができ、これにより証明が直ちに完了します。 ${\displaystyle f^{-1}}$

彼の2番目の証明は幾何学的なものでした。 および の場合、定理は次のように書けます。 ${\displaystyle f(a)=c}$${\displaystyle f(b)=d}$

${\displaystyle \int _{c}^{d}f^{-1}(y)\,dy+\int _{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.}$

右の図は、この公式を言葉なしで証明したものです。Laisant はこの証明を厳密にするために必要な仮定については議論していませんが、 が厳密に単調である（ただし、必ずしも連続である必要はなく、微分可能である必要もありません）と仮定すれば、これは証明できます。この場合、と は両方ともリーマン積分可能であり、の下限/上限ダルブー和と の上限/下限ダルブー和の間の一対一関係から恒等式が導かれます。^{[2] [3]}が連続であると仮定した 場合、定理の原始バージョンは微積分学の基本定理から導かれます。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$

レイサントの 3 番目の証明では、 が微分可能であるという追加の仮説が使用されています。 から始めて、を掛けて両辺を積分します。 右辺は、 の部分積分を使用して計算され、となり、式は次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$${\displaystyle f'(x)}$${\textstyle xf(x)-\int f(x)\,dx}$

が微分可能であるとき、次のように考えることもできます。は任意の で連続であるため、微分積分の基本定理によりは微分可能です。 は可逆であるため、その導関数は最大で可算な数の点で消えます。これらの点を でソートします。は各区間 上の微分可能関数の合成であるため、連鎖律を適用して がの原始微分であることがわかります。 はのそれぞれでも微分可能であり、 がコンパクトな場合、 は非有界にならないと主張します。このような場合、は連続かつ有界です。連続性と微分積分の基本定理（ は定数）により、はの微分可能な拡張です。しかし、は連続関数の合成であるため連続です。微分可能性により も同様です。したがって、です。これで、微分積分の基本定理を使用して を計算できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F:=\int _{0}^{x}f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle ...<t_{-1}<t_{0}<t_{1}<...}$${\displaystyle g(y):=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C}$${\displaystyle (t_{i},t_{i+1})}$${\displaystyle g'(y)=f^{-1}(y)+y/f'(y)-f\circ f^{-1}(y).1/f'(y)+0=f^{-1}(y)}$${\displaystyle \left.g\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$${\displaystyle \left.f\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle G(y):=C+\int _{0}^{y}f^{-1}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=g}$${\displaystyle \int _{I_{2}}f^{-1}}$

それにもかかわらず、またはが微分可能でなくてもこの定理が成り立つことが示せます。^{[3] [4]}たとえば、前の議論でスティルチェス積分を使用すれば十分です。一方、一般の単調関数はほとんどどこでも微分可能ですが、が絶対連続でない限り、一般式の証明は成り立ちません。^[4]${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f^{-1}}$

の任意の値に対して、関数の導関数が に等しい ことも確認できます。^[要出典]言い換えると、 ${\displaystyle y}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle \forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.}$

このためには、が単調であることを考慮して、との間に平均値定理を適用すれば十分です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+h}$${\displaystyle f}$

1. と仮定すると、となる。上記の式から、${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)}$$${\displaystyle \int \ln(y)\,dy=y\ln(y)-\exp(\ln(y))+C=y\ln(y)-y+C.}$$
2. 同様に、およびの場合、${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\arccos(y)}$ $${\displaystyle \int \arccos(y)\,dy=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C.}$$
3. およびを用いると、${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\arctan(y)}$ $${\displaystyle \int \arctan(y)\,dy=y\arctan(y)+\ln \left|\cos(\arctan(y))\right|+C.}$$

どうやら、この積分定理は1905年にシャルル＝アンジュ・レイザント^[1]によって初めて発見された。レイザントは「この定理が新しいとは到底信じられなかった」と語り、今後学生や教師の間でこの定理が広まることを期待した。この結果は1912年にイタリアのエンジニア、アルベルト・カプリリによって「積分の新しい形式」と題する小冊子で独立して発表された。^{[5]この定理は1955年にパーカー[6]}によって再発見され、その後多くの数学者によって発見された。^[7]しかし、彼らは皆、fまたはf ⁻¹が微分可能であると仮定している。この追加の仮定のない定理の一般版は、1965年にマイケル・スピヴァクによって微積分学の演習問題として提案され、^[2]同じ流れに沿ったかなり完全な証明が1994年にエリック・キーによって発表されました。^{[3]この証明は、}ダルブー積分 の定義そのものに依存しており、関数fの上ダルブー和がf ⁻¹の下ダルブー和と1対1に対応していることを示すことで構成されています。 2013年に、マイケル・ベンシムホーンは、一般定理がまだ十分に知られていないと見積もって、さらに2つの証明を与えました。^[4] 2番目の証明は、スティルチェス積分と、その部分積分と同相変数変換の公式に基づいており、より複雑な公式を確立するのに最も適しています。

上記の定理は、明らかな方法で正則関数に一般化されます。と をの2つの開かつ単連結な集合とし、が双正則写像であると仮定します。すると、と には原始微分があり、が の原始微分である場合、の一般的な原始微分は ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle G(z)=zf^{-1}(z)-F\circ f^{-1}(z)+C.}$

すべての正則関数は微分可能であるため、複素微分によってすぐに証明できます。

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