モデル理論

一次式は、次のような原子式から構成されます。${\displaystyle R(f(x,y),z)}$または${\displaystyle y=x+1}$ブール論理結合子を用いて${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$および数量詞の接頭辞${\displaystyle \forall v}$または${\displaystyle \exists v}$文とは、変数の各出現箇所が対応する量化子の範囲内にある式です。式の例は次のとおりです。${\displaystyle \varphi }$（または${\displaystyle \varphi (x)}$示す${\displaystyle x}$は、${\displaystyle \varphi }$） そして${\displaystyle \psi }$（または${\displaystyle \psi (x)}$）は次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}}$

（ここで等号には二重の意味があることに注意してください。）このような式を数学的な意味に変換する方法は直感的に明らかです。自然数の半環では$\displaystyle {\mathcal {N}}}$加算と乗算のための二進関数と自然数の 0 と 1 の定数を持つ構造として見なすと、例えば要素${\displaystyle n}$式を満たす${\displaystyle \varphi }$かつその場合に限り${\displaystyle n}$は素数です。${\displaystyle \psi }$同様に、還元不可能性も定義される。タルスキは、充足関係について厳密な定義を与え、それは「タルスキの真理の定義」と呼ばれることもある。${\displaystyle \models }$したがって、以下を容易に証明できる。

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$は素数です。

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$還元不可能である。

セット${\displaystyle T}$文の集合は（一階）理論と呼ばれ、その集合内の文を公理とする。理論は、モデルを持つ場合に充足可能である。${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$すなわち、セット内のすべての文を満たす構造（適切なシグネチャを持つ）${\displaystyle T}$完全理論とは、すべての文またはその否定を含む理論のことである。ある構造によって満たされるすべての文の完全理論は、その構造の理論とも呼ばれる。

ゲーデルの完全性定理（不完全性定理と混同しないように）によれば、理論がモデルを持つのは、その理論が矛盾を示さない、つまり無矛盾である場合に限られる。したがって、モデル理論家はしばしば「無矛盾」を「充足可能」の同義語として用いる。

シグネチャまたは言語とは、各シンボルが定数シンボル、または指定されたアリティを持つ関数シンボルもしくは関係シンボルのいずれかである非論理シンボルの集合です。なお、一部の文献では、定数シンボルはアリティがゼロの関数シンボルとみなされ、省略されています。構造とは集合です。${\displaystyle M}$署名の各記号を関係と関数として解釈したものと合わせて${\displaystyle M}$（ある構造を別の構造に「解釈する」という形式的な概念と混同しないように。）

例：順序付きリングの一般的な署名は${\displaystyle \sigma _{or}=(0,1,+,\times ,-,<)}$、 どこ${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1}$0 項関数記号 (定数記号とも呼ばれる) は、${\displaystyle +}$そして${\displaystyle \times }$はバイナリ（= 2 進）関数記号です。${\displaystyle -}$は単項（= 1項）関数記号であり、${\displaystyle <}$は二項関係記号です。次に、これらの記号が通常の意味に対応するように解釈されると、${\displaystyle \mathbb {Q} }$（例えば${\displaystyle +}$は関数です${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$に${\displaystyle \mathbb {Q} }$そして${\displaystyle <}$は、${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$) 構造が得られる${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\sigma _{or})}$。

構造${\displaystyle {\mathcal {N}}}$一階述語論理の文の集合をモデル化すると言われている${\displaystyle T}$与えられた言語で各文が${\displaystyle T}$は真実です${\displaystyle {\mathcal {N}}}$署名の解釈に関して、以前に指定された${\displaystyle {\mathcal {N}}}$（繰り返しますが、ある構造を別の構造に「解釈する」という形式的な概念と混同しないでください）${\displaystyle T}$これはモデル化する構造です${\displaystyle T}$。

下部構造${\displaystyle {\mathcal {A}}}$σ構造の${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、その定義域の部分集合であり、その定義域σに含まれるすべての関数に関して閉じている。σに含まれるすべての関数と関係をこの部分集合に制限することで、σ構造とみなされる。これは、代数学における類似の概念を一般化したものである。例えば、部分群は、乗法と逆元を持つ定義域の部分構造である。

部分構造は、任意の一次式に対して、${\displaystyle \varphi }$および、_​​​_​​${\displaystyle {\mathcal {A}}}$、

${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$かつその場合に限り${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$。

特に、${\displaystyle \varphi }$文であり${\displaystyle {\mathcal {A}}}$基本的な下部構造${\displaystyle {\mathcal {B}}}$、 それから${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }$かつその場合に限り${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi }$したがって、基本部分構造が理論のモデルとなるのは、まさに上部構造がモデルである場合に限る。

例：代数的数の体${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$複素数体の基本的な部分構造である${\displaystyle \mathbb {C} }$合理的な領域${\displaystyle \mathbb {Q} }$そうではなく、「2の平方根が存在する」を、次の条件を満たす一階述語論理式として表現できる。${\displaystyle \mathbb {C} }$しかし、${\displaystyle \mathbb {Q} }$。

σ構造の埋め込み${\displaystyle {\mathcal {A}}}$別のσ構造へ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、領域間の写像f : A → Bであり、同型写像として記述できます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$下部構造を持つ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$基本部分構造を持つ同型写像として表せる場合、それは基本埋め込みと呼ばれます。すべての埋め込みは単射準同型写像ですが、その逆は、群や体のように、シグネチャに関係記号が含まれていない場合にのみ成り立ちます。

体やベクトル空間は、その構造の一部を無視するだけで、（可換）群とみなすことができます。モデル理論におけるこれに対応する概念は、構造を元のシグネチャの部分集合に縮約することです。反対の関係は拡張と呼ばれます。例えば、シグネチャ {+,0} の構造とみなされる有理数の（加法）群は、シグネチャ { × ,+,1,0} を持つ体、またはシグネチャ {+,0,<} を持つ順序群に拡張できます。

同様に、σ' が別のシグネチャ σ を拡張するシグネチャである場合、完全な σ'-理論は、その文の集合と σ-式の集合を交差させることによって σ に制限することができます。逆に、完全な σ-理論は σ'-理論とみなすことができ、それを（複数の方法で）完全な σ'-理論に拡張することができます。この関係には、還元と拡張という用語が用いられることもあります。

コンパクト性定理は、文の集合 S が充足可能であるのは、S のすべての有限部分集合が充足可能である場合であると述べている。充足可能の代わりに一貫性を用いた同様の主張は自明である。なぜなら、すべての証明は証明で使用される前件を有限個しか持つことができないからである。完全性定理により、これを充足可能性に適用することができる。しかし、コンパクト性定理の直接的な（意味論的な）証明もいくつか存在する。系（すなわち、その対偶）として、コンパクト性定理は、充足不可能なすべての一階理論は有限個の充足不可能な部分集合を持つと述べている。この定理はモデル理論において中心的な重要性を持ち、「コンパクト性により」という言葉はよく使われる。^{[ 5 ]}

一階モデル理論のもう一つの礎石は、レーヴェンハイム・スコレムの定理である。この定理によれば、可算シグネチャ内のすべての無限構造は、可算基本部分構造を持つ。逆に、任意の無限基数κに対して、基数がκより小さい可算シグネチャ内のすべての無限構造は、基数がκの別の構造に基本的に埋め込むことができる（非可算シグネチャへの簡単な一般化がある）。特に、レーヴェンハイム・スコレムの定理は、無限モデルを持つ可算シグネチャ内の任意の理論は、可算モデルと任意に大きなモデルの両方を持つことを意味する。^{[ 6 ]}

リンドストロームの定理によって明確にされたある意味では、一階述語論理は、レーヴェンハイム・スコレムの定理とコンパクト性定理の両方が成り立つ最も表現力豊かな論理である。^{[ 7 ]}

モデル理論では、定義可能な集合は重要な研究対象である。例えば、${\displaystyle \mathbb {N} }$式

${\displaystyle \forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1}$

素数のサブセットを定義する一方、式は

${\displaystyle \exists y(2\times y=x)}$

は偶数の部分集合を定義します。同様に、n 個の自由変数を持つ式は、${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$例えば、あるフィールドでは、数式は次のようになります。

${\displaystyle y=x\times x}$

すべての曲線を定義する${\displaystyle (x,y)}$そのため${\displaystyle y=x^{2}}$。

ここで述べた定義はどちらもパラメータフリーであり、つまり定義式には固定されたドメイン要素は含まれていません。ただし、モデルからのパラメータを含む定義も考慮することができます。たとえば、${\displaystyle \mathbb {R} }$式

${\displaystyle y=x\times x+\pi }$

パラメータを使用する${\displaystyle \pi }$から${\displaystyle \mathbb {R} }$曲線を定義する。^{[ 8 ]}

一般的に、量化子のない定義可能な集合は簡単に記述できますが、入れ子になった量化子を含む定義可能な集合ははるかに複雑になる可能性があります。^{[ 9 ]}

これにより、量化子除去は定義可能な集合を分析するための重要なツールとなります。理論T は、そのシグネチャ上のすべての一階論理式φ ( x ₁ , ..., x _n )が、量化子のない一階論理式ψ ( x ₁ , ..., x _n )とTを法として同値である場合に、量化子除去を持ちます。${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$Tのすべてのモデルで成り立つ。^{[ 10 ]} 構造の理論が量化子除去を持つ場合、構造で定義可能なすべての集合は、元の定義と同じパラメータ上の量化子なしの式で定義できる。たとえば、シグネチャσ_環= (×,+,−,0,1)の代数的閉体の理論は量化子除去を持つ。^{[ 11 ]}これは、代数的閉体では、すべての式が多項式間の方程式のブール結合と同等であることを意味する。

理論に量化子消去がない場合、そのシグネチャに記号を追加することで量化子消去を実現できます。特定の理論、特に代数学における公理化可能性と量化子消去の結果は、モデル理論の初期の画期的な成果の一つでした。^{[ 12 ]}しかし、量化子消去の代わりに、より弱い性質で十分な場合もよくあります。

理論Tは、 Tのモデルであるモデルのすべての部分構造が基本部分構造である場合に、モデル完全であると呼ばれます。部分構造が基本部分構造であるかどうかをテストするための有用な基準があり、これは Tarski–Vaught テストと呼ばれています。^{[ 6 ]}この基準から、理論Tがモデル完全であるのは、そのシグネチャ上のすべての一階論理式φ ( x ₁ , ..., x _n )が、 Tを法として存在一階論理式、つまり次の形式の式と等価である場合に限ることがわかります。

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$、

ここで、ψ は量化子を含まない。モデル完全でない理論にはモデル補完が存在する可能性があり、これは関連するモデル完全理論であるが、一般には元の理論の拡張ではない。より一般的な概念はモデルコンパニオンである。^{[ 13 ]}

すべての構造、すべての有限部分集合${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$パラメータで定義できます。次の式を使用するだけです。

${\displaystyle x=a_{1}\vee \dots \vee x=a_{n}}$。

この式を否定できるので、すべての余有限部分集合（定義域の要素のうち有限個を除くすべてを含む集合）も常に定義可能である。

これは、最小限の構造という概念につながる。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$すべての部分集合が最小である場合、最小であると呼ばれます。${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$パラメータで定義可能${\displaystyle {\mathcal {M}}}$は有限または余有限のいずれかである。理論レベルでの対応する概念は強最小性と呼ばれる。理論Tは、 Tのすべてのモデルが最小である場合に強最小と呼ばれる。構造は、その構造の理論が強最小である場合に強最小と呼ばれる。同等に、構造は、すべての基本拡張が最小である場合に強最小である。代数的閉体の理論は量化子消去を持つため、代数的閉体のすべての定義可能な部分集合は、1 変数の量化子なし式で定義可能である。1 変数の量化子なし式は、1 変数の多項式方程式のブール結合を表し、1 変数の非自明な多項式方程式は有限個の解しか持たないため、代数的閉体の理論は強最小である。^{[ 14 ]}

一方、その分野では${\displaystyle \mathbb {R} }$実数の範囲は最小ではない。例えば、定義可能な集合を考えてみよう。

${\displaystyle \varphi (x)\;=\;\exists y(y\times y=x)}$。

これは、有限でも有限でもない非負の実数の部分集合を定義します。実際には、${\displaystyle \varphi }$実数直線上に任意の区間を定義する。これらの区間は、定義可能なすべての部分集合を表すのに十分であることが判明した。${\displaystyle \mathbb {R} }$[ ^{15 ]この最小性の一般化は、} 秩序構造のモデル理論において非常に有用であった。密に完全に秩序化された構造${\displaystyle {\mathcal {M}}}$順序関係の記号を含む署名において、すべての部分集合がo-最小であるならば、${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$パラメータで定義可能${\displaystyle {\mathcal {M}}}$は点と区間の有限和である。^{[ 16 ]}

特に重要なのは、定義可能な集合であり、かつ部分構造でもあるもの、つまりすべての定数を含み、関数適用に関して閉じているものです。例えば、ある群の定義可能な部分群を調べることができます。ただし、同じシグネチャの部分構造に限定する必要はありません。n 個の自由変数を持つ式は、部分集合を定義します。${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$n項関係も定義可能です。関数グラフが定義可能な関係であり、定数である場合、関数は定義可能です。${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$式が存在する場合、定義可能である${\displaystyle \varphi (x)}$aが唯一の要素である${\displaystyle {\mathcal {M}}}$そのため${\displaystyle \varphi (a)}$これは正しい。このようにして、例えば幾何学的安定性理論において重要であった、一般構造における定義可能な群や体を研究することができる。

さらに一歩進んで、直接的な部分構造を超えて考えてみましょう。数学的な構造が与えられた場合、多くの場合、同値関係を介して元の構造の一部を商として構築できる関連構造が存在します。重要な例として、群の商群が挙げられます。完全な構造を理解するには、これらの商を理解する必要があると言えるでしょう。同値関係が定義可能であれば、前述の文に正確な意味を与えることができます。これらの構造は解釈可能であると言えます。重要な事実は、解釈された構造の言語から元の構造の言語に文を翻訳できるということです。したがって、構造が${\displaystyle {\mathcal {M}}}$理論が決定不能な別のものを解釈すると、${\displaystyle {\mathcal {M}}}$それ自体は決定不能である。^{[ 17 ]}

要素のシーケンス${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$構造物の${\displaystyle {\mathcal {M}}}$そして、その部分集合Aは${\displaystyle {\mathcal {M}}}$1階述語論理式の集合を考えることができる。${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$Aに含まれるパラメータが満たされる${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$これは、完全な（n）型として実現される。${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$A 上。もし、${\displaystyle {\mathcal {M}}}$それはA上で一定であり、${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$に${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$それぞれ、そして${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$そして${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$A上で同じ完全な型を実現します。

実数直線${\displaystyle \mathbb {R} }$順序関係 {<} のみを持つ構造として見なされる要素は、このセクションでは実行例として使用されます。${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$空集合上で同じ 1-型を満たす。これは、任意の 2 つの実数aとb が、すべての数をbaだけシフトする順序自己同型によって結び付けられていることから明らかである。空集合上の完全な 2-型は、2 つの数によって実現される。${\displaystyle a_{1},a_{2}}$順序によります:${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$、${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$または${\displaystyle a_{2}<a_{1}}$部分集合について${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$整数の場合、非整数実数aの 1 型は、最も近い整数に切り捨てられた値に依存します。

より一般的には、${\displaystyle {\mathcal {M}}}$は構造であり、Aは の部分集合である${\displaystyle {\mathcal {M}}}$A 上の(部分) n 型とは、基本拡張で実現される、自由変数が最大n個の論理式の集合である。${\displaystyle {\mathcal {N}}}$の${\displaystyle {\mathcal {M}}}$p がそのような式またはその否定をすべて含む場合、 pは完全である。A上の完全なn型の集合は、しばしば次のように表記される。${\displaystyle S_{n}^{\mathcal {M}}(A)}$Aが空集合の場合、型空間は理論のみに依存する。${\displaystyle T}$の${\displaystyle {\mathcal {M}}}$表記法${\displaystyle S_{n}(T)}$は、空集合上の型セットに対して一般的に使用され、${\displaystyle T}$単一の公式がある場合${\displaystyle \varphi }$そのため、${\displaystyle {\mathcal {M}}}$暗示する${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$すべての数式について${\displaystyle \psi }$pにおいて、pは孤立していると呼ばれる。

実際の数字は${\displaystyle \mathbb {R} }$アルキメデス的であるため、すべての整数よりも大きい実数は存在しません。しかし、コンパクト性に関する議論により、実数直線の基本的な拡張があり、そこにはすべての整数よりも大きい要素が存在することが示されています。したがって、一連の式は${\displaystyle \{n<x|n\in \mathbb {Z} \}}$1型オーバー${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$それは実数直線では実現されない${\displaystyle \mathbb {R} }$。

サブセット${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$それはまさに以下の要素として表現できる${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$A上で特定の型を実現することを、A上で型定義可能と呼びます。代数的な例として、${\displaystyle M}$は代数的に閉じた体である。この理論は量化子消去法を持つ。これにより、型がそれに含まれる多項式方程式によって正確に決定されることを示すことができる。したがって、完全な集合は${\displaystyle n}$サブフィールド上の型${\displaystyle A}$多項式環の素イデアルの集合に対応する${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$、型定義可能な集合はまさにアフィン多様体である。^{[ 18 ]}

すべての型がすべての構造で実現されるわけではありませんが、すべての構造は、その構造に含まれる孤立型を実現します。空集合上の型のうち、構造内で実現されるのが孤立型のみである場合、その構造はアトミック構造と呼ばれます。

一方、すべてのパラメータセット上のすべての型を実現する構造はありません。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$パラメータセットとして、次にすべての 1-タイプ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$実現した${\displaystyle {\mathcal {M}}}$a = xの形式の式によって分離されます。${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$しかし、適切な初等拡張は${\displaystyle {\mathcal {M}}}$要素が含まれていますが、${\displaystyle {\mathcal {M}}}$したがって、構造が実現できると予想されるすべての型を実現するという考え方を捉える、より弱い概念が導入された。構造がパラメータ集合上のすべての型を実現する場合、その構造は飽和していると呼ばれる。${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$それは、より小さい濃度である${\displaystyle {\mathcal {M}}}$自体。

A上で定数である自己同型は常にA上の型を保存しますが、一般に任意の 2 つのシーケンスが${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$そして${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$A上で同じ型を満たす構造は、このような自己同型写像​​によって互いにマッピングできる。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$この逆は、より小さい濃度のAすべてに対して成り立つ。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$（非常に）均質であると呼ばれます。

実数直線は、順序のみを含む言語では原子である${\displaystyle <}$空集合上のすべてのn型は、${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$で${\displaystyle \mathbb {R} }$は、${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$しかし、可算集合上の1型を一切実現しないため、飽和状態ではない。${\displaystyle \mathbb {Z} }$これは、xが任意の整数よりも大きいことを意味する。有理数直線${\displaystyle \mathbb {Q} }$対照的に飽和しているのは、${\displaystyle \mathbb {Q} }$それ自体が可算であり、したがって有限部分集合上の型を実現するだけで飽和する。^{[ 19 ]}

定義可能な部分集合の集合${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$いくつかのパラメータに関して${\displaystyle A}$はブール代数である。ブール代数に関するストーンの表現定理によれば、完全な から構成される自然な双対位相空間が存在する。${\displaystyle n}$-型以上${\displaystyle A}$形式の集合によって生成されるトポロジー${\displaystyle \{p|\varphi \in p\}}$単一の数式の場合${\displaystyle \varphi }$これはA 上の n 型のストーン空間と呼ばれます。^{[ 20 ]} この位相は、モデル理論で使用される用語の一部を説明します。コンパクト性定理は、ストーン空間がコンパクトな位相空間であり、型pが孤立しているのは、 p がストーン位相における孤立点である場合のみであると述べています。

代数的に閉じた体における型は多項式環のスペクトルに対応するが、型空間上の位相は構成可能な位相である。型の集合が基本開集合であるのは、それが次の形式である場合に限る。${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$または次の形式${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$これはザリスキ位相よりも細かい。^{[ 21 ]}

特定の型を実現し、他の型を実現しないモデルを構築することは、モデル理論において重要な課題である。型を実現しないことは、その型を省略することと呼ばれ、一般的には（可算）省略型定理によって可能である。

させて${\displaystyle {\mathcal {T}}}$可算署名の理論とし、${\displaystyle \Phi }$空集合上の非孤立型の可算集合とする。

次にモデルがあります${\displaystyle {\mathcal {M}}}$の${\displaystyle {\mathcal {T}}}$すべてのタイプを省略します${\displaystyle \Phi }$[ ^{22 ]​}

これは、可算シグネチャの理論が空集合上に可算個だけの型しか持たない場合、その理論は原子モデルを持つことを意味する。

一方で、固定されたパラメータセット上の任意の型セットを実現する基本的な拡張は常に存在する。

させて${\displaystyle {\mathcal {M}}}$構造物にして${\displaystyle \Phi }$与えられたパラメータセット上の完全な型の集合である${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}.}$

次に、基本的な拡張があります。${\displaystyle {\mathcal {N}}}$の${\displaystyle {\mathcal {M}}}$あらゆるタイプの${\displaystyle \Phi }$[ ^{23 ]​}

しかし、パラメータセットは固定されており、ここではカーディナリティについては言及されていないため、${\displaystyle {\mathcal {N}}}$しかし、これはすべての理論が飽和モデルを持つことを意味するものではありません。実際、すべての理論が飽和モデルを持つかどうかは、ツェルメロ・フレンケル集合論の公理とは無関係であり、一般化連続体仮説が成り立つ場合に真となります。^{[ 24 ]}

超積は、特定の型を実現するモデルを構築するための一般的な手法として使用されます。超積は、インデックス集合I上の構造の集合の直積から、ほぼすべてのエントリで一致するタプルを識別することによって得られます。ここで、ほぼすべては、 I上の超フィルタUによって正確に定義されます。同じ構造のコピーの超積は、超冪と呼ばれます。モデル理論で超積を使用する鍵は、Łoś の定理です。

させて${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$σ構造の集合をインデックス集合Iでインデックス付けし、U をI上の超フィルターとする。このとき、任意のσ式${\displaystyle \varphi ([(a_{i})_{i\in :I}])}$超積では真である${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$による${\displaystyle U}$すべてのセット${\displaystyle i\in I}$そのために${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i})}$Uに位置する。^{[ 25 ]}

特に、ある理論のモデルの超積はそれ自体がその理論のモデルであり、したがって、2つのモデルが同型な超冪を持つ場合、それらは基本的に等価である。ケイスラー・シェラ定理は、その逆を示している。

MとNが初等的に同値であれば、集合IとI上の超フィルターUが存在し、 Mと: NのUによる超冪は同型である。^{[ 26 ]} 

したがって、超積は、一階理論に全く言及することなく、初等的同値性について議論する方法を提供する。コンパクト性定理などのモデル理論の基本定理には、超積を用いた別の証明があり、^{[ 27 ]}存在する場合は飽和初等的拡張を構築するために使用できる。^{[ 24 ]}

ω-圏論は、その型空間の特性によって特徴づけられる。

有限または可算なシグネチャを持つ 完全な一階理論Tの場合、以下の条件は同値である。

1. Tはωカテゴリカルである。
2. S _n ( T )のすべての型は孤立している。
3. すべての自然数nに対して、S _n ( T ) は有限である。
4. すべての自然数nに対して、 n 個の自由変数を含む式φ ( x ₁ , ..., x _n )の数は、 Tを法とする同値性を除いて有限である。

理論${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$これはまた、${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$はωカテゴリーであり、すべてのn型は${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$空集合上のは、ペアワイズ順序関係によって分離されます。${\displaystyle x_{i}}$これは、可算稠密線形順序はすべて有理数直線と順序同型であることを意味します。一方、ℚ、ℝ、ℂ を体として扱う理論は、${\displaystyle \omega }$-カテゴリー的。これは、それらのすべての領域において、無限に存在する自然数のいずれも、次の形式の式で定義できるという事実から導かれる。${\displaystyle x=1+\dots +1}$。

${\displaystyle \aleph _{0}}$-圏論的理論とその可算モデルは、オリゴモルフィック群とも強い関連性がある。

有限または可算シグネチャにおける完全な一階理論Tは、その自己同型群がオリゴモルフィックである場合に限り、ω-圏論的である。

この小節の同等の特徴付けは、それぞれ独立してエンゲラー、リル＝ナルジェフスキ、スヴェノニウスによってなされたもので、リル＝ナルジェフスキの定理と呼ばれることもある。

組み合わせシグネチャにおいて、 ω-圏論の一般的な源泉はフレッセ極限であり、これは有限関係構造のクラスのすべての可能な構成を統合した極限として得られる。

マイケル・モーリーは1963年に、可算言語の理論には不可算範疇性の概念が1つしかないことを示した。^{[ 28 ]}

モーリーのカテゴリー性定理

有限または可算シグネチャの一次理論T が、ある非可算基数κに対してκ - カテゴリーであるならば、Tはすべての非可算基数κに対してκ - カテゴリーである。

モーリーの証明は、非可算圏性とモデルの内部構造との間の深い関連性を明らかにし、それが分類理論と安定性理論の出発点となった。非可算圏論は、多くの観点から見て最も扱いやすい理論である。特に、完全強最小理論は非可算圏論である。これは、与えられた特性を持つ代数的に閉じた体の理論が非可算圏論であり、体の超越度によって同型タイプが決定されることを示している。

ω-範疇的かつ非可算範疇的である理論は、完全範疇的と呼ばれる。

安定性理論における基本的な結果の一つは、安定性スペクトル定理^{[ 30 ]}であり、これは可算シグネチャを持つすべての完全理論Tが以下のクラスのいずれかに属することを意味する。

1. カーディナルはいません${\displaystyle \lambda }$Tは​${\displaystyle \lambda }$-安定した。
2. Tは${\displaystyle \lambda }$-安定であるのは、${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}=\lambda }$（基数べき乗については、以下を参照）${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}}$)
3. Tは${\displaystyle \lambda }$-あらゆる状況で安定${\displaystyle \lambda \geq 2^{\aleph _{0}}}$（どこ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$は連続体の濃度である）。

第１のタイプの理論は不安定と呼ばれ、第２のタイプの理論は厳密に安定と呼ばれ、第３のタイプの理論は超安定と呼ばれます。さらに、理論が${\displaystyle \omega }$-安定であり、すべての無限基数で安定である^{[ 31 ]}ので${\displaystyle \omega }$安定性は超安定性よりも強い。

モデル理論における多くの構成は、安定理論に限定すると容易になります。例えば、安定理論のすべてのモデルは、一般化連続体仮説が真であるかどうかに関わらず、飽和した基本拡張を持ちます。^{[ 32 ]}

シェラが安定理論を研究した当初の動機は、可算理論が任意の非可算基数に対していくつのモデルを持つかを決定することであった。^{[ 33 ]} 理論が非可算カテゴリー的であれば、それは${\displaystyle \omega }$-安定。より一般的には、メインギャップ定理は、非可算基数が存在する場合、${\displaystyle \lambda }$理論Tは以下${\displaystyle 2^{\lambda }}$基数モデル${\displaystyle \lambda }$すると、Tは超安定状態となる。

安定性階層は、理論モデル内の定義可能な集合の幾何学を分析する上でも重要である。${\displaystyle \omega }$-安定理論において、モーリーランクはモデル内の定義可能な集合Sにとって重要な次元概念である。これは超限帰納法によって定義される。

• Sが空集合でない場合、モーリーランクは0以上となる。
• αを後継順序数とすると、 Mのある基本拡張Nにおいて、集合S が無限に多くの互いに素な定義可能な部分集合を持ち、それぞれのランクがα − 1 以上である場合、モーリーランクはα以上である。  
• α がゼロでない極限順序数である場合、Morley ランクは、 αより小さいすべてのβに対してβ以上であれば、少なくともαである。

すべての定義可能な集合が明確に定義されたモーリーランクを持つ理論Tは、完全超越的であると呼ばれます。T が可算である場合、 Tが完全超越的であるのは、Tが${\displaystyle \omega }$-安定。Morley ランクは、型の Morley ランクをその型の式の Morley ランクの最小値に設定することで、型に拡張できます。したがって、パラメータ集合A上の要素aの Morley ランクは、 A上のaの型の Morley ランクとして定義されます。また、理論が超安定 ( U-ランク) または単に安定 (Shelah の)である場合に限り適切に定義される Morley ランクの類似物もあります。${\displaystyle \infty }$-ランク）。これらの次元の概念は、独立性や一般的な拡張の概念を定義するために使用できます。

最近では、安定性は単純性と「独立性ではない性質」（NIP）に分解されるようになった。 単純理論とは、独立性の概念を適切に定義できる理論であり、NIP理論はo-最小構造を一般化したものである。理論が安定しているのは、それがNIPかつ単純である場合のみであり、^{[ 34 ]}安定性理論のさまざまな側面がこれらのクラスの理論に一般化されているので、これらは安定性と関連している。

有限モデル理論は有限構造に焦点を当てており、研究対象の問題と使用される手法の両方において、無限構造の研究とは大きく異なっている。^{[ 54 ]}特に、古典モデル理論の多くの中心的な結果は、有限構造に限定すると成り立たなくなる。これには、コンパクト性定理、ゲーデルの完全性定理、一階述語論理の超積法などが含まれる。有限モデル理論と無限モデル理論の境界には、アルゴリズム的または計算可能モデル理論と0-1法則の研究があり、そこでは、構造クラスの一般的な理論の無限モデルが、有限モデルの分布に関する情報を提供する。^{[ 55 ]} FMTの主な応用分野は、記述的複雑性理論、データベース理論、形式言語理論である。^{[ 56 ]}

（可算言語で表現された）集合論は、一貫性があれば可算モデルを持つ。これはスコレムのパラドックスとして知られており、集合論には非可算集合の存在を仮定する文があるにもかかわらず、これらの文は可算モデルでは真である。特に、連続体仮説の独立性の証明には、モデル内部から見ると非可算に見えるが、モデル外部から見ると可算であるようなモデル内の集合を考慮する必要がある。^{[ 57 ]}

モデル理論的な観点は集合論において有用であった。例えば、クルト・ゲーデルの構成可能宇宙に関する研究では、ポール・コーエンが開発した強制法と併せて、選択公理と連続体仮説が集合論の他の公理から独立していることを（哲学的にも興味深いことに）証明できることが示されている。^{[ 58 ]}

反対に、モデル理論自体がツェルメロ・フレンケル集合論の中で形式化されている。例えば、モデル理論の基礎（コンパクト性定理など）の展開は選択公理に依存しており、実際には選択公理のないツェルメロ・フレンケル集合論上でブール素イデアル定理と等価である。^{[ 59 ]}モデル理論におけるその他の結果は、標準的なZFCフレームワークを超えた集合論的公理に依存している。例えば、連続体仮説が成り立つ場合、すべての可算モデルは（自身の濃度で）飽和した超冪を持つ。同様に、一般化連続体仮説が成り立つ場合、すべてのモデルは飽和した基本拡張を持つ。これらの結果はいずれもZFCだけでは証明できない。最後に、モデル理論から生じるいくつかの問題（無限論理のコンパクト性など）は、大きな基数公理と等価であることが示されている。^{[ 60 ]}