Loading article…
数理論理学において、（誘導）部分構造または（誘導）部分代数とは、その定義域がより大きな構造の定義域の部分集合であり、その関数と関係が部分構造の定義域に限定される構造のことである。部分代数の例としては、部分群、部分モノイド、部分環、部分体、体上の代数の部分代数、誘導部分グラフなどが挙げられる。視点を変えれば、より大きな構造は、その部分構造の拡張または上位構造と呼ばれる。
モデル理論において、「サブモデル」という用語は、特に両方の構造がモデルである理論を示唆する文脈において、サブストラクチャの同義語としてよく用いられる。
関係が存在する場合（つまり、順序群やグラフなど、符号が関数的ではない構造の場合）、部分代数の条件を緩和して、弱い部分構造（または弱い部分代数）上の関係が、より大きな構造から誘導される関係のみとなるようにすることが理にかなっている場合があります。部分グラフは、この区別が重要な例であり、「部分グラフ」という用語は確かに弱い部分構造を指します。一方、順序群には、順序群であるすべての部分構造が誘導部分構造であるという特別な性質があります。
同じ符号σを持つ2つの構造AとBが与えられたとき、AはBの弱部分構造、またはBの弱部分代数であるとは、次の条件を満たす場合をいう。
AがBの部分構造、またはBの部分代数であるとは、AがBの弱部分代数であり、さらに、
AがBの部分構造である場合、BはAのスーパー構造、または特にAが誘導部分構造である場合はAの拡張と呼ばれます。
二項演算+ と×、二項関係<、定数 0 と 1からなる言語では、構造 ( Q , +, × , < , 0, 1) は ( R , +, × , <, 0, 1) の部分構造です。より一般的には、順序付き体(または単に体)の部分構造は、まさにその部分体です。同様に、群の言語 ( × , −1 , 1) では、群の部分構造はその部分群です。しかし、モノイドの言語 ( × , 1)では、群の部分構造はその部分モノイドです。それらは必ずしも群である必要はなく、群であっても部分群である必要はありません。
部分環は環の部分構造であり、部分代数は体上の代数の部分構造である。
グラフの場合（1つの二項関係からなるシグネチャの場合）、部分グラフ、およびその弱い部分構造は、まさにその部分グラフです。
任意のシグネチャ σ に対して、σ 構造の誘導部分構造は、σ 構造と強準同型写像の具体的な圏（およびσ 構造と σ埋め込みの具体的な圏）における部分対象です。σ 構造の弱部分構造は、σ 構造と通常の意味での準同型写像の具体的な圏における部分対象です。
モデル理論において、理論Tのモデルである構造Mが与えられたとき、より狭義のMの部分モデルとは、 Mの部分構造であり、かつTのモデルでもあるものを指します。例えば、T が符号 (+, 0) のアーベル群の理論である場合、整数群 ( Z , +, 0) の部分モデルは、アーベル群でもある部分構造です。したがって、自然数 ( N , +, 0) は ( Z , +, 0)の部分構造を形成しますが、これは部分モデルではありません。一方、偶数 (2 Z , +, 0) は部分モデルを形成します。
その他の例：
