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数理論理学の一分野であるモデル理論において、完全な一階理論Tは、サイズ ≤ λ のTのすべてのモデルのストーン空間がサイズ ≤ λ を持つ場合、 λ (無限基数)に関して安定していると呼ばれます。T がκに関して安定になるような基数 κ の上限が存在しないとき、Tは安定理論と呼ばれます。Tの安定性スペクトルは、T がκ に関して安定になるようなすべての基数 κ のクラスです。
可算理論の場合、安定性スペクトルは 4 つしかありません。対応する境界線は、全超越性、超安定性、安定性です。この結果は、安定性と超安定性も定義したSaharon Shelahによるものです。
可算理論の安定性スペクトル定理
定理。 すべての可算な完全な一階理論T は、次のいずれかのクラスに分類されます。
- T はすべての無限基数 λ に対して λ で安定です。つまり、T は完全に超越的です。
- T は、λ ≥ 2 ω を満たすすべての基数 λ に対して λ 上で正確に安定です。つまり、T は超安定ですが、完全に超越的ではありません。
- T は、λ = λ ω を満たすすべての基数 λ に対して λ において安定です。つまり、Tは安定ですが、超安定ではありません。
- T は任意の無限基数 λ では安定しません。つまり、 Tは不安定です。
3番目のケースにおける λ の条件は、 λ = κ ωの形式の基数には当てはまりますが、共終性 ω の基数 λ には当てはまりません（ λ < λ cof λであるため）。
完全に超越的な理論
完全な一階理論T は、すべての式が有界モーリー階数を持つ場合、つまり、 Tのモデル内のパラメータを持つすべての式 φ( x ) に対して RM(φ) < ∞ である場合に完全超越的と呼ばれます。ここで、x は変数の組である可能性があります。 RM( x = x ) < ∞であることを確認すれば十分です。ここで、xは単一の変数です。
可算理論の場合、完全な超越性は ω における安定性と同等であるため、可算な完全超越理論は、簡潔にするためにω 安定と呼ばれることがよくあります。完全超越理論は、すべての λ ≥ | T |で安定しているため、可算な ω 安定理論はすべての無限基数で安定しています。
すべての非可算カテゴリカル可算理論は完全超越理論です。これには、ベクトル空間または代数的に閉じた体の完全な理論が含まれます。有限モーリーランクの群の理論は、完全超越理論のもう 1 つの重要な例です。
超安定理論
完全な一階理論T は、完全超越理論のモーリー階数と本質的に同じ特性を持つ完全な型上の階数関数が存在する場合、超安定です。すべての完全超越理論は超安定です。理論Tが超安定であるのは、すべての基数 λ ≥ 2 | T |で安定している場合のみです。
安定した理論
ある基数 λ ≥ | T |で安定している理論は、 λ = λ | T |を満たすすべての基数 λ で安定しています。したがって、理論が安定するのは、ある基数 λ ≥ | T |で安定している場合のみです。
不安定な理論
数学的に興味深い理論のほとんどはこのカテゴリに分類されます。これには、ZF 集合論の完全な拡張などの複雑な理論や、実閉体の理論などの比較的扱いやすい理論が含まれます。これは、安定性スペクトルが比較的鈍いツールであることを示しています。より正確な結果を得るには、最大で λ であるかどうかを尋ねるのではなく、サイズ ≤ λ のモデル上のストーン空間の正確な濃度を調べることができます。
数えられないケース
非可算言語における一般的な安定理論Tの場合、安定性スペクトルは κ と λ 0という 2 つの基数によって決定され、λ ≥ λ 0かつ すべての μ<κ に対してλ μ = λ であるとき、 T はλ において安定である。したがって、λ 0 はTが安定する最小の無限基数である。これらの不変量は不等式を満たす。
- κ ≤ | T | +
- κ ≤ λ 0
- λ 0 ≤ 2 | T |
- λ 0 > |の場合T | の場合、λ 0 ≥ 2 ω
| T | が可算な場合、その安定性スペクトルの 4 つの可能性は、これらの基数の次の値に対応します。
- κ と λ 0が定義されていない: T は不安定です。
- λ 0は 2 ω、 κ は ω 1 : Tは安定だが超安定ではない
- λ 0は 2 ω、κ は ω です。Tは超安定ですが、ω 安定ではありません。
- λ 0は ω、κ は ω: Tは完全に超越的 (または ω 安定)