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数理論理学において、マイケル・D・モーリー（1965）によって導入されたモーリーランクは、代数幾何学における次元の概念を一般化した、理論のモデルの サブセット のサイズを測定する手段です。
意味
理論T をモデルMで固定します。Mの定義可能な（パラメータ付き）部分集合Sを定義する式φのモーリーランクは、順序数または −1 または ∞ であり、最初に、ある順序数 α に対して式がモーリーランクα以上であることを意味することを再帰的に定義することによって定義されます。
- Sが空でない場合、モーリーランクは少なくとも 0 になります。
- α が後続順序数である場合、Mのある基本拡張 Nにおいて、集合S が、それぞれが少なくとも α − 1 のランクを持つ、可算無限個の互いに素な定義可能な部分集合S i を持つとき、モーリーランクは少なくともαである 。
- αが非ゼロの極限順序数である場合、 α未満のすべてのβに対してモーリーランクが少なくともβであれば、モーリーランクは少なくともαです。
モーリーランクは、 α以上だがα + 1以上でない場合はαと定義され、すべての順序数 α に対してα以上 の場合は ∞ と定義され、Sが空の場合は -1 と定義されます。
モデルMの定義可能な部分集合(式φで定義) の場合、モーリー ランクはMの任意の ℵ 0飽和基本拡張におけるφのモーリー ランクとして定義されます。特に ℵ 0飽和モデルの場合、部分集合のモーリー ランクは、部分集合を定義する任意の式のモーリー ランクです。
Sを定義するφ が階数αを持ち、S が階数αのn < ω以下の部分集合に分割される場合、φ はモーリー次数nを持つと言われます。有限集合を定義する式のモーリー階数は 0 です。モーリー階数が 1 でモーリー次数が 1 である式は、強極小と呼ばれます。強極小構造とは、自明な式x = xが強極小となる構造です。モーリー階数と強極小構造は、モーリーの圏定理の証明や、モデル理論的安定性理論のより広い分野で重要なツールです。
例
- 空集合はモーリーランクが −1 であり、逆にモーリーランクが −1 であるものはすべて空です。
- 部分集合が有限かつ空でない場合にのみ、その部分集合のモーリー階数は 0 になります。
- V が代数的に閉体KのK n内の代数集合である場合、Vのモーリー階数は通常のクルル次元と同じになります。 Vのモーリー次数は、最大次元の既約成分の数です。これは、最大次元の成分が線型空間である場合を除いて、代数幾何学の次数と同じではありません。
- 有理数は、順序付き集合として考えた場合、それ自身と同型な定義可能な部分集合の可算かつ互いに素な和集合を含むため、モーリー階数∞を持ちます。
参照
参考文献
- Alexandre Borovik、 Ali Nesin、「有限モーリーランクのグループ」、Oxford Univ. Press (1994)
- B. Hart 安定性理論とその変種 (2000) pp. 131–148、D. Haskell 他編『モデル理論、代数、幾何学』、Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39、Cambridge Univ. Press、New York、2000 年。Morley ランクの正式な定義が含まれています。
- David Marker「微分体のモデル理論」(2000) pp. 53–63、D. Haskell 他編『モデル理論、代数、幾何学』、Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39、Cambridge Univ. Press、New York、2000 年。
- モーリー、MD (1965)、「カテゴリー性における力」、アメリカ数学会誌、114 (2)、アメリカ数学会: 514–538、doi : 10.2307/1994188、JSTOR 1994188
- ピレイ、アナンド(2001) [1994]、「有限モーリーランクの群」、数学百科事典、EMS プレス
- ピレイ、アナンド (2001) [1994]、「モーリーランク」、数学百科事典、EMS プレス