正則関数の解析性

複素解析では、複素数値関数${\displaystyle f}$複素変数の${\displaystyle z}$:

• ある点において正則であると言われている${\displaystyle a}$中心が である開円盤内のあらゆる点で微分可能であれば${\displaystyle a}$、 そして
• 分析的であると言われている${\displaystyle a}$開いているディスクの中心が${\displaystyle a}$収束するべき級数として展開できる$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n}}$$（これは収束半径が正であることを意味する。）

複素解析の最も重要な定理の1つは、正則関数は解析的であり、その逆もまた真であるというものである。^{[ 1 ]}（ある点における正則関数はその点において解析的であり、その逆もまた真である。）この定理の系には、

• 無限集合のすべての点で一致する2つの正則関数は、${\displaystyle S}$それらの領域の交差部分内に集積点を持つ場合、集合を含むそれらの領域の連結した開部分集合のどこでも一致する。${\displaystyle S}$、 そして
• 冪級数は無限に微分可能であるため、正則関数も無限に微分可能である（これは実微分可能な関数の場合とは対照的である）、そして
• 収束半径は常に中心からの距離であるという事実${\displaystyle a}$最も近い除去不可能な特異点へ。特異点がない場合（つまり、${\displaystyle f}$が整関数である場合、収束半径は無限大となる。厳密に言えば、これは定理の系ではなく、証明の副産物である。
• 複素平面の空でないコンパクト部分集合で定義されるバンプ関数は、完全関数にはなり得ません。特に、複素平面の任意の連結開部分集合上では、その集合上で正則となるバンプ関数は定義されません。これは複素多様体の研究において重要な意味を持ち、単位分割の使用を排除します。対照的に、単位分割は任意の実多様体で使用できるツールです。

コーシーが最初に提示したこの議論は、コーシーの積分公式と式のべき級数展開に基づいている。

${\displaystyle {\frac {1}{wz}}.}$

させて${\displaystyle D}$を中心とする開いた円盤である${\displaystyle a}$そして、${\displaystyle f}$は、閉包を含む開近傍内のどこでも微分可能である。${\displaystyle D}$。 させて${\displaystyle C}$正の向き（つまり反時計回り）の円で、境界となるのは${\displaystyle D}$そして${\displaystyle z}$ポイントになる${\displaystyle D}$コーシーの積分公式から始めると、

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}$

積分と無限和の入れ替えは、以下の点を観察することで正当化される。${\displaystyle f(w)/(w-a)}$境界は${\displaystyle C}$ある正の数によって${\displaystyle M}$全ての人にとって${\displaystyle w}$で${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq q<1}$

ポジティブな面もある${\displaystyle q}$同様に。したがって、

${\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mq^{n},}$

の上${\displaystyle C}$ワイエルシュトラスのM検定が示すように、級数は一様に収束する。${\displaystyle C}$和と積分は入れ替えてもよい。

要因として${\displaystyle (z-a)^{n}}$積分変数に依存しない${\displaystyle w}$因数分解すると次の式が得られる。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,}$

これは、べき級数の望ましい形式を持つ。${\displaystyle z}$:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

係数付き

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.}$

• べき級数は項ごとに微分できるため、上記の議論を逆方向に適用すると、べき級数の式は次のようになります。$${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}}$$与える$${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.}$$これは導関数のコーシー積分公式です。したがって、上で得られたべき級数はテイラー級数です。${\displaystyle f}$。
• この議論は、${\displaystyle z}$中心に近い点${\displaystyle a}$特異点よりも${\displaystyle f}$したがって、テイラー級数の収束半径は、からの距離よりも小さくなることはない。${\displaystyle a}$最も近い特異点まで（冪級数は収束円の内部に特異点を持たないため、これより大きい値になることはない）。
• 前述の考察から、恒等定理の特殊な場合が導かれる。2つの正則関数が（おそらく非常に小さな）開近傍で一致する場合${\displaystyle U}$の${\displaystyle a}$すると、それらは開いたディスク上で一致する。${\displaystyle B_{d}(a)}$、 どこ${\displaystyle d}$からの距離は${\displaystyle a}$最も近い特異点へ。

• 「冪級数の存在」 . PlanetMath .