複雑なダイナミクス

複素動力学、または正則動力学は、複素解析マッピングを反復することで得られる動的システムの研究です。この記事では、多項式または有理関数が反復される代数動力学のケースに焦点を当てます。幾何学的に言えば、これは代数多様体からそれ自身へのマッピングを反復することになります。関連する算術動力学の理論では、複素数ではなく有理数またはp 進数に対する反復を研究します。

複素力学における主要な問題のいくつかを示す簡単な例は、複素数Cからそれ自身への写像です。これを複素数に点を追加することによって複素射影直線からそれ自身への写像として見ると便利です。 ( はコンパクトであるという利点があります。) 基本的な質問は、内の点が与えられたとき、その軌道(または順方向軌道) は${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle z,\;f(z)=z^{2},\;f(f(z))=z^{4},f(f(f(z)))=z^{8} ,\;\ldots }$

は定性的にどのように振る舞うでしょうか? 答えは、絶対値| z | が 1 未満の場合、軌道は 0 に収束します。これは、実際には指数関数的以上の速さです。 | z | が 1 より大きい場合、軌道はの点に収束します。これも指数関数的以上の速さです。 (ここで 0 と はfの超吸引固定点であり、つまり、それらの点でfの導関数が 0 になります。吸引固定点とは、 fの導関数の絶対値が 1 未満の 点のことです。)${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \infty}$

一方、 と仮定すると、zはCの単位円上にあることになります。これらの点では、 fのダイナミクスはさまざまな意味でカオス的です。たとえば、測度論による円上のほとんどすべての点zについて、 zの順方向軌道は円内で稠密であり、実際、円上に一様に分布しています。また、円上には周期点が無数に存在します。周期点とは、ある正の整数rに対してとなる点のことです。(ここで、は、 f をzにr回適用した結果、を意味します。) 円上の周期点zでさえ、 fのダイナミクスはカオス的であると考えることができます。これは、 f を反復すると、 z の近くの点が z から指数関数的に速く発散するためです。 (単位円上の f の周期点は反発し合います。つまり、 の場合、 zでのの導関数の絶対値は 1 より大きくなります。) ${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle f^{r}(z)}$ ${\displaystyle f(f(\cdots (f(z))\cdots ))}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle f^{r}}$

ピエール・ファトゥとガストン・ジュリアは、1910 年代後半に、この話の大部分が、次数が 1 より大きい から自体への任意の複素代数写像に当てはまることを示した。(このような写像は、複素係数を持つ多項式、またはより一般的には有理関数によって与えられる。) つまり、 のコンパクトな部分集合であるジュリア集合が常に存在し、その上でfのダイナミクスはカオス的である。写像 の場合、ジュリア集合 は単位円である。他の多項式写像の場合、ジュリア集合は多くの場合非常に不規則であり、たとえばハウスドルフ次元が整数でないという意味でフラクタルである。これは、定数 の場合のように単純な写像の場合でも発生する。マンデルブロ集合は、のジュリア集合が に接続されているような複素数cの集合である。 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle c\in \mathbf {C} }$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

ジュリア集合の補集合であるファトゥ集合における有理関数の可能なダイナミクスのかなり完全な分類があり、そこではダイナミクスは「おとなしい」ものです。つまり、デニス・サリバンは、ファトゥ集合 の各連結成分U は前周期的であること、つまり となる自然数が存在することを示しました。したがって、成分U上のダイナミクスを解析するには、 f を反復で置き換えた後に と仮定することができます。すると、(1) Uにはfに対する吸引不動点が含まれる、(2) U は、 U内のすべての点がUの境界内の不動点に近づくという意味で放物線状である、(3) Uはジーゲル円板であり、つまりfのUへの作用は、開いた単位円板 の無理数回転と共役である、または (4) Uはヘルマン環であり、つまりfのUへの作用は、開いた環状空間の無理数回転と共役である、のいずれかになります。^{[1] （} U内の点zの「逆軌道」（ fの何らかの反復の下でzに写像される点の集合）は、 Uに含まれる必要はないことに注意。） ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{1}\to \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle a<b}$${\displaystyle f^{a}(U)=f^{b}(U)}$${\displaystyle f(U)=U}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

複素力学は、あらゆる次元で効果的に展開されています。このセクションでは、最も豊富な例である複素射影空間 からそれ自身への写像に焦点を当てます。 の主な結果は、任意の射影多様体からそれ自身への有理写像のクラスに拡張されています。 ^[2]ただし、多くの多様体には興味深い自己写像がないことに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

fを の自己準同型、つまり から自身への代数多様体の射（正の整数nに対して）とする。このような写像は同次座標で次のように 与えられる。${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]}$

同じ次数dで に共通の零点を持たないいくつかの斉次多項式に対して成り立ちます。( Chow の定理により、これは から自身への正則写像と同じものです。) d が1 より大きいと仮定すると、写像fの次数はとなり、これも 1 より大きくなります。 ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle d^{n}}$

すると、上の唯一の確率測度 、つまりfの平衡測度が存在し、これはfのダイナミクスの最もカオス的な部分を記述します。(これはグリーン測度または最大エントロピーの測度とも呼ばれています。) この測度は、1 変数の多項式については Hans Brolin (1965) によって定義され、についてはAlexandre Freire、 Artur Lopes、Ricardo Mañé、およびMikhail Lyubichによって(1983 年頃)、任意の次元についてはJohn Hubbard、Peter Papadopol、John Fornaess、およびNessim Sibonyによって(1994 年頃) 定義されました。^[3]小ジュリア集合はにおける平衡測度の台であり、これは のときのジュリア集合に過ぎません。 ${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n=1}$

• へのマッピングでは、平衡測度は単位円上のハール測度（全測度が 1 になるようにスケールされた標準測度）です。${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle |z|=1}$
• より一般的には、整数 に対して、を写像とする。${\displaystyle d>1}$${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].}$

すると、平衡測度はn次元トーラス上のハール測度になります。から 自体へのより一般的な正則写像の場合、平衡測度ははるかに複雑になる可能性があります。これは、ジュリア集合の図から複素次元 1 で既にわかるとおりです。${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}.}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

平衡測度の基本的な性質は、プッシュフォワード測度が に等しいという意味で、fに関して不変であるという点です。f は有限射なので、プルバック測度も定義され、という意味で完全に不変です。 ${\displaystyle f_{*}\mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f^{*}\mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f^{*}\mu _{f}=\deg(f)\mu _{f}}$

均衡測度の印象的な特徴の 1 つは、ジャン=イヴ・ブリアン、ジュリアン・デュバル、ティエン=クオン・ディン、シボニーによって、時間を遡って追跡した場合の のほぼすべての点の漸近挙動を記述できることです。つまり、の点zと正の整数rについて、となる点w上に均等に分布する確率測度を考えます。すると、 Eに含まれないすべての点zについて、 r が無限大に近づくにつれて、今定義した測度が均衡測度に弱収束するようなザリスキ閉部分集合が存在します。さらに詳しく言うと、 の閉複素部分空間のうち、 fに関して完全に不変なのは有限個だけであり( であることを意味します)、例外的な集合E をと等しくない唯一の最大の完全に不変な閉複素部分空間とすることができます。^[4]${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle (1/d^{rn})(f^{r})^{*}(\delta _{z})}$${\displaystyle d^{rn}}$${\displaystyle f^{r}(w)=z}$${\displaystyle E\subsetneq \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle f^{-1}(S)=S}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

平衡測度の別の特徴付け（ブリエンドとデュバルによる）は次の通りである。各正の整数rに対して、周期r（ であることを意味する）の周期点の数は、重複度をつけて数えられ、およそ である。周期rの点に均等に分布する確率測度について考えてみよう。すると、 r が無限大に近づくにつれて、これらの測度も平衡測度に収束する。さらに、ほとんどの周期点は反発し合って 内にあるため、 内の反発周期点のみを平均化することで、同じ極限測度が得られる。^{[5] の}外側にも反発周期点が存在する可能性がある。^[6]${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle (d^{r(n+1)}-1)/(d^{r}-1)}$${\displaystyle d^{rn}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$

平衡測度は、空間全体ではない の任意の閉じた複素部分空間にゼロ質量を与えます。^[7]内の周期点は内で稠密であるため、 fの周期点は内でザリスキ稠密であることがわかります。このザリスキ稠密性のより代数的な証明は、Najmuddin Fakhruddin によって与えられました。^[8]に等しくない閉じた複素部分空間にゼロ質量を与えることによるもう1つの結果は、各点の質量がゼロであることです。結果として、 のサポートには孤立点がないため、完全集合になります。 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$

平衡測度の台は、ハウスドルフ次元が常にゼロより大きいという意味で、小さすぎることはない。^[7]その意味で、次数が 1 より大きい複素射影空間の自己準同型は、少なくともその空間の一部では必ずカオス的に振舞う。（ がすべて である例もある。^{[9] ）} f がカオス的振舞いをすることを明確に示す別の方法は、fの位相エントロピーが常にゼロより大きく、実際は に等しいということである（ミハイル・グロモフ、ミハウ・ミシウレヴィチ、フェリクス・プジティツキによる）。 ^[10]${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n\log d}$

コンパクトな計量空間Xの任意の連続自己準同型写像fに対して、 fの位相エントロピーは、X上のすべてのf不変測度の測度論的エントロピー（または「計量エントロピー」）の最大値に等しい。 の正則自己準同型写像fに対して、平衡測度は、ブリエンドとデュバルによる最大エントロピーの唯一の不変測度である。 ^{[3]これは、} fの最もカオス的な動作が平衡測度の支持に集中していると言う別の言い方である。 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

最後に、平衡測度の台上のfのダイナミクスについてさらに述べることができる。FornaessとSibonyによれば、 fはエルゴード的であり、より強くその測度に関して混合的である。 ^[11]例えば、に関してほぼすべての点について、その前方軌道はに関して一様分布していることがわかる。 ${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

ラテス写像は、アーベル多様体の自己準同型写像を有限群で割ることによって得られるの自己準同型写像fである。この場合、fの平衡測度は上のルベーグ測度に関して絶対連続である。逆に、アンナ・ズドゥニク、フランソワ・ベルトルート、クリストフ・デュポンによれば、 の平衡測度がルベーグ測度に関して絶対連続である唯一の自己準同型写像はラテスの例である。^[12]つまり、すべての非ラテス自己準同型写像に対して、 はその全質量 1 をルベーグ測度 0 のボレル集合に割り当てます。 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

次元1では、均衡測度の「不規則性」についてより多くが知られています。つまり、確率測度のハウスドルフ次元を（より一般的には滑らかな多様体上で）次のように 定義します。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \dim(\mu )=\inf\{\dim _{H}(Y):\mu (Y)=1\},}$

ここで、はボレル集合Yのハウスドルフ次元を表す。次数が1 より大きい の自己準同型f について、の次元がその台 (ジュリア集合) のハウスドルフ次元に等しいことと、 f がラテス写像、チェビシェフ多項式(符号まで)、または の冪写像と共役である場合に限り、Zdunik は示した。^[14] (後者の場合、ジュリア集合はそれぞれ のすべて、閉区間、または円である。[ ^15] ) したがって、これらの特殊な場合を除いて、平衡測度は非常に不規則であり、ジュリア集合全体よりも小さいハウスドルフ次元を持つジュリア集合のいくつかの閉じた部分集合に正の質量が割り当てられる。 ${\displaystyle \dim _{H}(Y)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f(z)=z^{\pm d}}$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

より一般的には、複素ダイナミクスは反復処理における有理写像の挙動を記述しようとする。ある程度の成功を収めて研究されてきた事例の 1 つは、滑らかな複素射影多様体Xの自己同型、つまりXからそれ自身への同型写像fである。主な関心事例は、f が特異コホモロジーに対して非自明に作用する場合である。 ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {Z} )}$

グロモフとヨセフ・ヨムディンは、滑らかな複素射影多様体の自己準同型（例えば自己同型）の位相エントロピーは、コホモロジーへの作用によって決定されることを示した。^[16]明示的には、複素次元nのXとに対して、ホッジコホモロジー群への引き戻しによって作用するfのスペクトル半径を とする。このとき、 fの位相エントロピーは ${\displaystyle 0\leq p\leq n}$${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle h(f)=\max _{p}\log d_{p}.}$

（ fの位相エントロピーは、コホモロジー全体におけるfのスペクトル半径の対数でもある。）したがって、f は、その位相エントロピーがゼロより大きいという意味で、あるカオス的振る舞いをするため、それが絶対値が 1 より大きい固有値を持つあるコホモロジー群に作用する場合に限る。多くの射影多様体はそのような自己同型を持たないが、（例えば）多くの有理曲面やK3 曲面はそのような自己同型を持つ。^[17]${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$

X をコンパクトなケーラー多様体とし、これには滑らかな複素射影多様体の場合も含まれます。Xの自己同型f がコホモロジーに対して単純作用を持つとは、次の条件を満たす場合をいいます。が最大値を取る数p は1 つしか存在せず、 fのへの作用は絶対値 を持つ 1 つの固有値 しか持たず、これが単純固有値である場合です。たとえば、セルジュ・カンタットは、正の位相エントロピーを持つコンパクトなケーラー面のすべての自己同型はコホモロジーに対して単純作用を持つことを示しました。^{[18] （ここで「自己同型」は複素解析的ですが、} X上でケーラー計量を保存するとは想定されていません。実際、計量を保存するすべての自己同型は位相エントロピーが 0 です。） ${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle H^{p,p}(X)}$${\displaystyle d_{p}}$

コホモロジーへの単純作用を持つ自己同型fについては、複素力学の目標のいくつかが達成されている。ディン、シボニー、ヘンリー・ド・テリンは、fの最大エントロピーの唯一の不変確率測度が存在することを示した。これは平衡測度（またはグリーン測度、あるいは最大エントロピー測度）と呼ばれる。 ^[19]（特に、はfに関してエントロピーを持つ。） の台は小ジュリア集合と呼ばれる。非公式には、f は何らかのカオス的振る舞いを持ち、最もカオス的な振る舞いは小ジュリア集合に集中している。少なくともXが射影的であるとき、は正のハウスドルフ次元を持つ。（より正確には、は十分に小さいハウスドルフ次元のすべての集合にゼロ質量を割り当てる。）^[20]${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \log d_{p}}$${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$

いくつかのアーベル多様体は正のエントロピーの自己同型を持つ。例えば、E を複素楕円曲線、X をアーベル面とする。すると、可逆整数行列の群はXに作用する。トレースの絶対値が 2 より大きい任意の群元f（例えば）はスペクトル半径が 1 より大きいので、 Xの正のエントロピーの自己同型を与える。fの平衡測度は、 X上のハール測度（標準ルベーグ測度）である。^[21]${\displaystyle E\times E}$${\displaystyle GL(2,\mathbf {Z} )}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

クンマー自己同型は、自己同型性を持つアーベル曲面の有限群による商空間を取り、曲面を滑らかにするために拡大することで定義されます。結果として得られる曲面には、いくつかの特殊な K3 曲面と有理曲面が含まれます。クンマー自己同型の場合、平衡測度はXに等しい台を持ち、有限個の曲線の外側で滑らかです。逆に、カンタットとデュポンは、クンマーの例を除く、正のエントロピーを持つすべての曲面自己同型の場合、平衡測度はルベーグ測度に関して絶対連続ではないことを示しまし た。^[22]この意味で、自己同型の平衡測度が多少不規則であることは普通です。

fの周期点zがサドル周期点と呼ばれるのは、となる正の整数rに対して、 zにおける接空間上のの導関数の固有値の少なくとも 1 つが絶対値が 1 未満であり、少なくとも 1 つが絶対値が 1 を超えており、絶対値が 1 に等しいものがない場合です。(したがって、f はz の近傍で、ある方向では拡大し、他の方向では縮小しています。) コホモロジーへの単純作用を持つ自己同型fに対して、サドル周期点は平衡測度 のサポートにおいて稠密です。^[20]一方、測度は、Xに等しくない閉じた複素部分空間上では消えます。^{[20]したがって、} fの周期点(または のサポートに含まれるサドル周期点だけ) は、 Xにおいてザリスキ稠密です。 ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle f^{r}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

コホモロジーへの単純作用を持つ自己同型写像​​fに対して、 fとその逆写像はエルゴード的であり、より強く、平衡測度に関して混合的である。^[23]従って、 に関するほぼすべての点zに対して、zの前方軌道と後方軌道は両方とも に関して一様分布する。 ${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

の自己準同型の場合との顕著な違いは、コホモロジーへの単純作用を持つ自己同型fに対して、前方軌道も後方軌道も平衡測度のサポートに近づかないXの空でない開部分集合が存在する可能性があることです。たとえば、Eric Bedford、Kyounghee Kim、Curtis McMullen は、正の位相エントロピー (したがってコホモロジーへの単純作用) を持つ滑らかな射影有理曲面の自己同型fを構築しました。この場合、 f はシーゲル円板を持ち、その上でfの作用は無理数回転と共役です。^[24]その開集合内の点は、fまたはその逆 の作用によって近づくことはありません。${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$

少なくとも複素次元 2 では、fの平衡測度はfの孤立周期点の分布を記述します。( fまたは反復によって固定された複素曲線もあるかもしれませんが、ここでは無視します。) つまり、 f を正の位相エントロピー を持つコンパクトなケーラー面Xの自己同型とします。周期rの孤立周期点に均等に分布する確率測度( を意味する) を考えます。すると、この測度はrが無限大に近づくにつれてに弱収束します、と Eric Bedford、Lyubich、およびJohn Smillieは述べています。^[25]同じことが鞍型周期点のサブセットにも当てはまります。これは、両方の周期点セットが の割合で増加するためです。 ${\displaystyle h(f)=\log d_{1}}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle (d_{1})^{r}}$

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