対策の収束

数学、より具体的には測度論では、測度の収束についてさまざまな概念がある。測度の収束が何を意味するのか直感的に一般的な意味を理解するために、共通の測定可能な集合を共有する空間上の測度の列μ _nについて考えてみよう。このような列は、直接得ることが難しい望ましい測度μへの「どんどん良い」近似値を構築する試みを表している可能性がある。「どんどん良い」の意味は、極限値を取る場合に通常適用されるすべての注意事項に従う。つまり、任意の誤差許容度ε > 0について、 μ _nとμの「差」がεより小さくなるように、 n ≥ NとなるようにN が十分に大きいことが必要である。収束に関するさまざまな概念は、その説明において「差」という言葉が何を意味するかを正確に指定する。これらの概念は互いに同等ではなく、強さも異なる。

収束に関する最も一般的な概念のうち 3 つを以下に説明します。

このセクションでは、微積分学のコースで開発された用語を使用して、収束の 3 つの概念を大まかに直感的に説明しようとします。このセクションは必然的に不正確で不正確なため、読者は後続のセクションでの正式な説明を参照する必要があります。特に、ここでの説明では、一部の集合の測度が無限になる可能性や、基礎となる空間が異常な動作を示す可能性については触れられておらず、一部のステートメントには追加の技術的な仮定が必要です。ただし、このセクションのステートメントは、μ _{n が}ポーランド空間上の確率測度のシーケンスである場合、すべて正しいです。

収束のさまざまな概念は、それぞれの「十分に良い」関数の「平均値」が収束するはずであるという主張を形式化します。 $${\displaystyle \int f\,d\mu _{n}\to \int f\,d\mu }$$

これを形式化するには、検討中の関数のセットと収束がどの程度均一であるべきかを慎重に指定する必要があります。

弱収束の概念は、すべての連続有界関数fに対してこの収束が起こることを要求します。この概念は、異なる関数fの収束を互いに独立して扱います。つまり、異なる関数fでは、 N ≤ nの異なる値を同様に近似する必要がある場合があります(したがって、収束はfで一様ではありません)。

集合収束の概念は、各測定可能な集合の測度が収束するという主張を形式化します。 $${\displaystyle \mu _{n}(A)\to \mu (A)}$$

繰り返しますが、集合A上の一様性は必要ありません。直感的に、「良い」関数の積分を考えると、この概念は弱収束よりも一様性を提供します。実際のところ、ポーランド空間上の一様有界変化を持つ測度の列を考えるとき、集合収束は任意の有界 測定可能関数fの収束を意味します^{[引用が必要] 。前と同様に、この収束は}fで非一様です。 ${\textstyle \int f\,d\mu _{n}\to \int f\,d\mu }$

全変分収束の概念は、すべての測定可能な集合の測度が一様に収束する、つまり、すべてのε > 0に対して、すべてのn > Nに対して、すべての測定可能な集合Aに対してとなるNが存在するという主張を形式化します。前と同様に、これは有界測定可能な関数に対する積分の収束を意味しますが、今回は、収束は任意の固定定数によって有界となるすべての関数に対して一様です。 ${\displaystyle |\mu _{n}(A)-\mu (A)|<\varepsilon }$

これはこのページで示されている収束の最も強い概念であり、次のように定義されます。 を測定可能な空間とします。2つの（正の）測度μとνの間の全変化距離は次のように与えられます。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \left\|\mu -\nu \right\|_{\text{TV}}=\sup _{f}\left\{\int _{X}f\,d\mu -\int _{X}f\,d\nu \right\}.}$

ここで、上限は、Xから[−1, 1]までのすべての測定可能な関数の集合にわたるfにわたって取られます。これは、たとえば、定義は同じ形式ですが、上限が、リプシッツ定数が最大で 1 である X から [−1, 1] までの測定可能な関数の集合にわたる f にわたって取られるワッサーシュタイン計量とは対照的です。また、上限が、 Xから[ −1 , 1 ] までの連続関数の集合にわたる f にわたって取られるラドン計量とも対照的です。Xがポーランド空間の場合、全変分計量はラドン計量と一致する。

μとνが両方とも確率測度である場合、総変動距離は次のように表される。

${\displaystyle \left\|\mu -\nu \right\|_{\text{TV}}=2\cdot \sup _{A\in {\mathcal {F}}}|\mu (A)-\nu (A)|.}$

これら 2 つの定義の同等性は、モンジュ-カントロビッチ双対性の特殊なケースとして考えることができます。上記の 2 つの定義から、確率測度間の総変動距離は常に 0 から 2 の間であることは明らかです。

総変動距離の意味を説明するために、次の思考実験を考えてみましょう。確率尺度μとν の2 つと、ランダム変数X が与えられているとします。Xにはμまたはν の法則があることはわかっていますが、どちらであるかはわかりません。これらの 2 つの尺度がXの真の法則である事前確率はそれぞれ 0.5 であるとします。次に、 Xの法則に従って分布する1つのサンプルが与えられ、2 つの分布のどちらがその法則を記述するかを推測するように求められているとします。量

${\displaystyle {2+\|\mu -\nu \|_{\text{TV}} \over 4}}$

すると、推測が正しいという事前確率の明確な上限が提供されます。

上記の全変動距離の定義によれば、同じ測度空間上で定義された測度のシーケンスμ _{n は}、すべてのε > 0に対して、すべてのn > Nに対して次の式が成り立つNが存在するとき、全変動距離において測度μに収束すると言われる^[1]。

${\displaystyle \|\mu _{n}-\mu \|_{\text{TV}}<\varepsilon .}$

測定可能な空間に対して、列μ _nが極限μに集合的に収束するとは、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A)=\mu (A)}$

すべてのセットについて。 ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

一般的な矢印表記はおよびです。 ${\displaystyle \mu _{n}\xrightarrow {sw} \mu }$${\displaystyle \mu _{n}\xrightarrow {s} \mu }$

例えば、リーマン-ルベーグの補題の結果として、 μ _n ( dx ) = (1 + sin( nx )) dxで与えられる区間[−1, 1]上の測度の列μ _{n は}、集合的にルベーグ測度に収束しますが、全変化では収束しません。

測度理論的または確率論的コンテキストでは、集合的収束はしばしば強い収束と呼ばれます (弱い収束とは対照的に)。関数解析では強い収束は通常、ノルムに関する収束を指すため、これは多少の曖昧さを生じさせる可能性があります。

数学と統計学において、弱収束は測度の収束に関連する多くの種類の収束の 1 つです。弱収束は基礎となる空間の位相に依存するため、純粋に測度理論的な概念ではありません。

測度の列の弱収束には複数の同等の定義があり、そのうちのいくつかは（明らかに）他のものよりも一般的なものである。これらの条件の同等性はポートマントー定理と呼ばれることもある。^[2]

定義。をボレル代数を持つ距離空間とします。上の正の確率測度の有界列は、次の同値な条件のいずれかが真である場合に、確率測度( と表記) に弱収束するといわれます(ここで はに関する期待値またはノルムを表し、 はに関する期待値またはノルムを表します)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P_{n}\,(n=1,2,\dots )}$${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}$${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}[f]\to \operatorname {E} [f]}$すべての有界連続 関数に対して;${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}[f]\to \operatorname {E} [f]}$すべての有界関数およびリプシッツ関数 に対して;${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \limsup \オペレーター名 {E} _{n}[f]\leq \オペレーター名 {E} [f]}$上から制限されたすべての上半連続関数に対して;${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \liminf \operatorname {E} _{n}[f]\geq \operatorname {E} [f]}$下から有界なすべての下半連続関数に対して;${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \limsup P_{n}(C)\leq P(C)}$空間のすべての閉集合 に対して;${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle \liminf P_{n}(U)\geq P(U)}$空間のすべての開集合 に対して;${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle \lim P_{n}(A)=P(A)}$測度のすべての連続集合 に対して。${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$

通常の位相の場合、および がそれぞれ測度およびの累積分布関数を表す場合、 が連続するのすべての点に対してがに弱収束する場合に限ります。 ${\displaystyle S\equiv \mathbf {R} }$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$${\displaystyle x\in \mathbf {R} }$${\displaystyle F}$

たとえば、に位置するディラック測度であるシーケンスは、 0 に位置するディラック測度に弱収束しますが (これらを通常の位相で の測度と見なす場合)、集合的には収束しません。これは直感的に明らかです。 が に「近い」ことは、の位相のためだけにわかります。 ${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

この弱収束の定義は、任意の距離化可能な位相空間に拡張できます。また、 上の弱位相、つまり 上で定義されたすべての確率測度の集合も定義します。弱位相は、次の開集合の基底によって生成されます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle (S,\Sigma )}$

${\displaystyle \left\{\ U_{\varphi ,x,\delta }\ \left|\quad \varphi :S\to \mathbf {R} {\text{ is bounded and continuous, }}x\in \mathbf {R} {\text{ and }}\delta >0\ \right.\right\},}$

どこ

${\displaystyle U_{\varphi ,x,\delta }:=\left\{\ \mu \in {\mathcal {P}}(S)\ \left|\quad \left|\int _{S}\varphi \,\mathrm {d} \mu -x\right|<\delta \ \right.\right\}.}$

も分離可能であれば、 は距離化可能かつ分離可能であり、たとえばレヴィ・プロホロフ計量によって分離可能です。もコンパクトまたはポーランドであれば、 も同様です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

が分離可能である場合、それは自然にディラック測度の（閉）集合としてに埋め込まれ、その凸包は稠密です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

この種の収束には多くの「矢印表記」がありますが、 最もよく使われるのは、、、です。${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}$${\displaystyle P_{n}\rightharpoonup P}$${\displaystyle P_{n}\xrightarrow {w} P}$${\displaystyle P_{n}\xrightarrow {\mathcal {D}} P}$

を確率空間、X を計量空間とします。 X n : Ω → X がランダム変数の列である場合、上_で定義したように、プッシュフォワード測度の列( X n ) ∗ ( P ) が X 上の測度の弱収束の意味で X ∗ ( P ) に弱収束するとき、X _nは_ランダム変数X : Ω → _Xにn → ∞_として弱収束(または分布収束または法則収束)するといわれます。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$

を距離空間とする（例えば、または）。以下の検定関数の空間は、確率測度の収束においてよく用いられる。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [0,1]}$

• ${\displaystyle C_{c}(X)}$コンパクト集合の外側でそれぞれが消滅する連続関数のクラス。${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle C_{0}(X)}$連続関数のクラス${\displaystyle f}$${\displaystyle \lim _{|x|\rightarrow \infty }f(x)=0}$
• ${\displaystyle C_{B}(X)}$連続有界関数のクラス

となる。さらに、は一様収束に関して閉包である。 ^[3]${\displaystyle C_{c}\subset C_{0}\subset C_{B}\subset C}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{c}}$

すべての に対して が成り立つ場合、測度 の列はの測度に漠然と収束します。 ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f\in C_{c}(X)}$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu _{n}\rightarrow \int _{X}f\,d\mu }$

すべての に対して が成り立つ場合、測度 の列は測度に弱収束します。 ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f\in C_{B}(X)}$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu _{n}\rightarrow \int _{X}f\,d\mu }$

一般に、これら 2 つの収束の概念は同等ではありません。

確率の設定では、確率測度のあいまい収束と弱収束は、厳密性を仮定すると同等です。つまり、確率測度の緊密なシーケンスが確率測度にあいまいに収束するのは、 がに弱収束する場合のみです。 ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mu }$

確率測度の列の弱極限は、存在するならば、確率測度である。一般に、緊密性が仮定されていない場合、確率測度の列（または部分確率測度）は、必ずしも真の確率測度に漠然と収束するのではなく、部分確率測度（となる測度）に収束する可能性がある。^[3]したがって、が確率測度であると指定されていない確率測度の列は、必ずしも弱収束を意味するわけではない。 ${\displaystyle \mu (X)\leq 1}$${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mu _{n}{\overset {v}{\to }}\mu }$${\displaystyle \mu }$

関数解析の文脈では弱収束と同じ名前が付けられているにもかかわらず、測度の弱収束は実際には弱*収束の例です。関数解析で使用される弱収束と弱*収束の定義は次のとおりです。

を位相ベクトル空間またはバナッハ空間と します。${\displaystyle V}$

1. のすべての についてが成り立つ場合、の列はに弱収束します。と書きます。${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi \left(x_{n}\right)\rightarrow \varphi (x)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {w}{\rightarrow }} x}$${\displaystyle n\to \infty }$
2. のシーケンスは、すべての に対して が成り立つという条件で、弱*位相で に収束します。つまり、収束は点ごとの意味で発生します。この場合、と書きます。${\displaystyle \varphi _{n}\in V^{*}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi _{n}(x)\rightarrow \varphi (x)}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \varphi _{n}\mathrel {\stackrel {w^{*}}{\rightarrow }} \varphi }$${\displaystyle n\to \infty }$

測度の弱収束が弱*収束の一例であることを示すために、あいまい収束の例を示します (上記を参照)。 を局所コンパクト ハウスドルフ空間とします。リース表現定理により、ラドン測度の空間は上の連続線型汎関数の空間の部分空間に同型です。したがって、各ラドン測度 に対して、すべての に対してとなる線型汎関数が存在します。線型汎関数による弱*収束の定義を適用すると、測度のあいまい収束の特徴付けが得られます。コンパクトな に対して、となるため、この場合、測度の弱収束は弱*収束の特殊なケースです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle \mu _{n}\in M(X)}$${\displaystyle \varphi _{n}\in C_{0}(X)^{*}}$${\displaystyle \varphi _{n}(f)=\int _{X}f\,d\mu _{n}}$${\displaystyle f\in C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{0}(X)=C_{B}(X)}$

• 確率変数の収束
• レヴィ・プロホロフ計量
• プロホロフの定理
• 対策の厳しさ

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005).計量空間と確率測度の空間における勾配フロー. バーゼル: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• ビリングスリー、パトリック（1995年）。確率と測定。ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-00710-2。
• ビリングスリー、パトリック（1999）。確率測定の収束。ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-19745-9。