コーシーの積分公式

数学において、オーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられたコーシーの積分公式は、複素解析の中心的な定式です。これは、円盤上で定義された正則関数は、円盤の境界上の値によって完全に決定されるという事実を表し、正則関数のすべての導関数に対する積分公式を提供します。コーシーの公式は、複素解析において「微分は積分と同等である」ことを示しています。つまり、複素微分は積分と同様に、一様な極限の下で良好な挙動を示します。これは実解析では成り立たない結果です。

させて${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$複素平面の開部分集合である${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠、そして閉じた円盤を仮定する${\displaystyle D}$定義される $${\displaystyle D={\bigl \{}z\in \mathbb {C}$$ :|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}} は完全 に に含まれています${\displaystyle U}$⁠。${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$を正則関数とし、${\displaystyle \gamma }$反時計回りに回転する円で、境界を形成する。${\displaystyle D}$⁠。そして、すべての${\displaystyle a}$内部で⁠​${\displaystyle D}$⁠、 $${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz.}$$

この主張の証明にはコーシー積分定理が用いられ、その定理と同様に、必要なのは${\displaystyle f}$複素微分可能であるため。${\textstyle {\frac {1}{za}}}$変数のべき級数として展開できる${\displaystyle a}$として $${\displaystyle {\frac {1}{za}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}},}$$ したがって、正則関数は解析的である、すなわち収束するべき級数として展開できる。特に${\displaystyle f}$実際には無限に微分可能であり、 $${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(za\right)^{n+1}}}\,dz.}$$

この公式は、コーシーの微分公式と呼ばれることもあります。

上記の定理は一般化できる。円${\displaystyle \gamma }$は、任意の閉じた整流可能な曲線に置き換えることができます。${\displaystyle U}$巻き数１は約⁠${\displaystyle a}$さらに、コーシー積分定理に関しては、以下の条件を課せば十分である。${\displaystyle f}$パスで囲まれた開領域では正則であり、その閉領域では連続である。

境界上のすべての連続関数が、境界内の与えられた境界関数に適合する関数を生成するために使用できるわけではないことに注意してください。たとえば、関数⁠を置くと${\displaystyle \textstyle f(z)={\frac {1}{z}}}$⁠、定義済み⁠${\displaystyle \vert z\vert =1}$⁠、コーシー積分公式に代入すると、円の内部のすべての点でゼロになります。実際、正則関数の境界上の実部を与えるだけで、虚定数を除いて関数を決定するのに十分です。境界上には、定数を加えることを除いて、与えられた実部に対応する虚部が1つだけ存在します。メビウス変換とスティルチェス反転公式を組み合わせて、境界上の実部から正則関数を構成することができます。たとえば、関数${\displaystyle f(z)=i-iz}$実際の部分があります${\displaystyle \Re (f(z))=\Im (z)}$単位円上では、これは次のように書ける。${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {i}{z}}-iz\right)}$メビウス変換とスティルチェスの公式を用いて、円の内側の関数を構築します。${\displaystyle \textstyle {\frac {i}{z}}}$この項は寄与せず、関数は ⁠ となります。${\displaystyle -iz}$⁠。これは境界上で正しい実部を持ち、対応する虚部も与えてくれますが、定数分だけずれています。つまり、${\displaystyle i}$⁠ .

コーシーの積分定理を用いると、上の積分が${\displaystyle C}$（または閉じた可測曲線）は、 の周りの任意の小さな円に沿って取られた同じ積分に等しい。${\displaystyle a}$⁠。以来${\displaystyle f(z)}$は連続しているので、十分に小さい円を選ぶことができます。${\displaystyle f(z)}$任意に近く${\displaystyle f(a)}$一方、積分は $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,}$$ 任意の円上で${\displaystyle C}$中心は⁠${\displaystyle a}$これは、パラメータ化（置換積分）によって直接計算できます。${\displaystyle z(t)=a+\varepsilon e^{it}}$どこ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$そして${\displaystyle \varepsilon }$は円の半径です。

賃貸${\displaystyle \varepsilon \to 0}$望ましい推定値が得られます $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}$$

させて $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$$ そして${\displaystyle C}$輪郭は次のように記述される${\displaystyle |z|=2}$（半径2の円）

の積分を求める${\displaystyle g(z)}$輪郭に沿って${\displaystyle C}$⁠、特異点を知る必要がある⁠${\displaystyle g(z)}$⁠。 書き換えることができることに注目してください。${\displaystyle g}$次のように： $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$$ どこ${\displaystyle z_{1}=-1+i}$そして​${\displaystyle z_{2}=-1-i}$⁠ .

したがって、${\displaystyle g}$ポールがあります${\displaystyle z_{1}}$そして​${\displaystyle z_{2}}$これらの点の絶対値は2未満であるため、積分経路の内側に位置します。この積分はコーシー・グールサの定理により2つの小さな積分に分割できます。つまり、積分経路に沿った積分を、積分経路に沿った積分の和として表すことができます。${\displaystyle z_{1}}$そして${\displaystyle z_{2}}$等高線は各極の周りの小さな円です。これらの等高線を${\displaystyle C_{1}}$その周り${\displaystyle z_{1}}$そして${\displaystyle C_{2}}$周辺​${\displaystyle z_{2}}$⁠ .

さて、これらの小さな積分はそれぞれコーシーの積分公式で評価できますが、まず定理を適用するために書き直す必要があります。 の周りの積分については、${\displaystyle C_{1}}$定義する${\displaystyle f_{1}}$として ​${\displaystyle f_{1}(z)=(z-z_{1})g(z)}$これは解析的です（輪郭に他の特異点が含まれていないため）。簡略化できます。${\displaystyle f_{1}}$である： $${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$$ そして今 $${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$$

コーシーの積分公式によれば、次のようになる。 $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$$ 積分は次のように評価できます。 $${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$$

もう一方の輪郭線についても同様に行う。 $${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$$ 私たちは評価します $${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$$

元の輪郭に沿った積分${\displaystyle C}$すると、次の2つの積分の和になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$$

部分分数分解を用いた基本的なテクニック： $${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$$

積分公式は幅広い応用範囲を持つ。まず、開集合において正則な関数は、実際にはその集合において無限回微分可能であることを意味する。さらに、それは解析関数であり、冪級数として表すことができる。この証明には、優収束定理と等比級数を 用いる。$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$$

この公式は、有理型関数に関する定理である留数定理、および関連する定理である偏角原理を証明するためにも使用されます。モレラの定理から、正則関数の一様極限は正則であることが知られています。これはコーシーの積分公式からも導き出すことができます。実際、この公式は極限においても成り立ち、被積分関数、したがって積分は冪級数として展開できます。さらに、高階導関数に関するコーシーの公式は、これらの導関数もすべて一様に収束することを示しています。

実解析におけるコーシー積分公式の類似物は、調和関数に対するポアソン積分公式です。正則関数に関する多くの結果は、この設定にも適用できます。しかし、このような結果は、より一般的な微分可能関数や実解析関数のクラスには適用できません。例えば、実関数の1階導関数が存在するからといって、高階導関数が存在するとは限らず、特に関数が解析的であるとは限りません。同様に、 (実)微分可能関数の列の一様極限は、微分可能でない場合や、微分可能であっても、その導関数が列の各要素の導関数の極限ではない場合もあります。

もう一つの結果は、${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}}$は正則である${\displaystyle |z|<R}$そして ${\displaystyle 0<r<R}$次に係数${\displaystyle a_{n}}$コーシーの評価を満たす^{[ 1 ]}$${\displaystyle |a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$$

コーシーの評価から、有界な整関数はすべて定数関数でなければならないことが容易に導き出せる（これはリウヴィルの定理である）。

この式はガウスの平均値の定理を導出するためにも使用でき、それは次のように述べている^{[ 2 ]。}$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

言い換えれば、平均値は${\displaystyle f}$を中心とする円の上に${\displaystyle z}$半径付き${\displaystyle r}$です​${\displaystyle f(z)}$これは円のパラメータ化によって直接計算できます。

• 「コーシー積分」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイススタイン、エリック・W. 「コーシー積分公式」 . MathWorld .