1922年、ナヒンによれば、ジョン・レンショー・カーソンは 信号の瞬時周波数を「信号の位相角の時間微分」と定義した。 周波数変調 では、瞬時周波数は搬送周波数の上下で変化する周波数、すなわち音声周波数を表す。[ 1 ]
瞬時位相と瞬時周波数は、 時間変動関数の表現と解析の文脈で発生する信号処理 における重要な概念です。 [ 2 ] 複素数値 関数s ( t ) の瞬時位相（ 局所位相 または単に位相 とも呼ばれる）は、実数値関数 です。
φ （ t ） = 引数 { s （ t ） } 、 {\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},} ここで、argは 複素引数関数 です。瞬時周波数は 、瞬時位相の時間的変化率 です。
実数値 関数s ( t )については、関数の解析的表現 s a ( t )から決定されます。[ 3 ]
φ （ t ） = 引数 { s 1 （ t ） } = 引数 { s （ t ） + j s ^ （ t ） } 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}} どこs ^ （ t ） \displaystyle {\hat {s}}(t)} はs ( t )のヒルベルト変換を 表します。
φ ( t )がその主値 、すなわち区間(−π , π ] または [ 0 , 2π ) にラップ位相 アンラップ位相 s a ( t )がtの 連続関数 であると仮定すると、引数t の連続関数となります。特に明記されていない限り、連続形式が推測されるものとします。
瞬時位相と時間の関係。この関数には、時刻21と59に180°の真の不連続点が2つあり、これは振幅のゼロ交差を示しています。時刻19、37、91における360°の「不連続点」は、位相の折り返しによるアーティファクトです。 周波数変調波形の瞬時位相：MSK（最小シフトキーイング）。360°の「ラップ」されたプロットを垂直方向にさらに2回複製することで、ラップされていないプロットの錯覚を作り出しますが、垂直軸の3×360°のみを使用します。
例
例１ s （ t ） = A コス （ ω t + θ ） 、 {\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),} ただし、ω > 0 とする。
s 1 （ t ） = A e j （ ω t + θ ） 、 φ （ t ） = ω t + θ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}} この単純な正弦波の例では、定数θは 位相 または位相オフセット とも呼ばれます。φ ( t ) は時間の関数ですが、θ はそうではありません。次の例では、基準 (sin または cos) が指定されていない限り、実数値の 正弦波の位相オフセットは曖昧であることがわかります。φ ( t ) は明確に定義されます。
例２ s （ t ） = A 罪 （ ω t ） = A コス （ ω t − π 2 ） 、 {\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),} ただし、ω > 0 とする。
s 1 （ t ） = A e j （ ω t − π 2 ） 、 φ （ t ） = ω t − π 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}} どちらの例でも、 s ( t )の局所最大値は、 N が整数値の場合、φ ( t ) = 2 π Nに対応します。これは コンピュータビジョン の分野で応用されています。
瞬時角周波数 は次のように定義されます。
ω （ t ） = d φ （ t ） d t 、 {\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},} 瞬時（通常）周波数は 次のように定義されます。
f （ t ） = 1 2 π ω （ t ） = 1 2 π d φ （ t ） d t {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}} ここで、 φ ( t )はアンラップされた位相 でなければなりません。そうでない場合、φ ( t )がラップされている場合、φ ( t )の不連続性は f ( t )にディラックデルタ インパルスをもたらします。
逆演算（常に位相をアンラップする）は次のとおりです。
φ （ t ） = ∫ − ∞ t ω （ τ ） d τ = 2 π ∫ − ∞ t f （ τ ） d τ = ∫ − ∞ 0 ω （ τ ） d τ + ∫ 0 t ω （ τ ） d τ = φ （ 0 ） + ∫ 0 t ω （ τ ） d τ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}} この瞬時周波数ω ( t )は、位相アンラッピングを気にすることなく、 複素arg の代わりにs a ( t )の実部と虚部 から直接導出できます。
φ （ t ） = 引数 { s 1 （ t ） } = アタン2 （ 私 m [ s 1 （ t ） ] 、 R e [ s 1 （ t ） ] ） + 2 m 1 π = アークタン （ 私 m [ s 1 （ t ） ] R e [ s 1 （ t ） ] ） + m 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}} 2 m 1 π とm 2 π は、位相を展開するために必要なπ の整数倍です。整数m 2 に変化がない時間tの値では、 φ ( t )の導関数は次のようになります。
ω （ t ） = d φ （ t ） d t = d d t アークタン （ 私 m [ s 1 （ t ） ] R e [ s 1 （ t ） ] ） = 1 1 + （ 私 m [ s 1 （ t ） ] R e [ s 1 （ t ） ] ） 2 d d t （ 私 m [ s 1 （ t ） ] R e [ s 1 （ t ） ] ） = R e [ s 1 （ t ） ] d 私 m [ s 1 （ t ） ] d t − 私 m [ s 1 （ t ） ] d R e [ s 1 （ t ） ] d t （ R e [ s 1 （ t ） ] ） 2 + （ 私 m [ s 1 （ t ） ] ） 2 = 1 | s 1 （ t ） | 2 （ R e [ s 1 （ t ） ] d 私 m [ s 1 （ t ） ] d t − 私 m [ s 1 （ t ） ] d R e [ s 1 （ t ） ] d t ） = 1 （ s （ t ） ） 2 + （ s ^ （ t ） ） 2 （ s （ t ） d s ^ （ t ） d t − s ^ （ t ） d s （ t ） d t ） {\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}} 離散時間関数の場合、これは再帰として記述できます。
φ [ n ] = φ [ n − 1 ] + ω [ n ] = φ [ n − 1 ] + 引数 { s 1 [ n ] } − 引数 { s 1 [ n − 1 ] } ⏟ Δ φ [ n ] = φ [ n − 1 ] + 引数 { s 1 [ n ] s 1 [ n − 1 ] } {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}} 不連続性は、 Δφ [ n ] ≤ −πの 場合には2π を加え、Δφ [ n ] > π の場合には2π を引くことで除去できます。これにより、φ [ n ] は無制限に蓄積され、アンラップされた瞬時位相が生成されます。2π を法とする演算を 複素数乗算 に置き換えた同等の定式化は次のとおりです。
φ [ n ] = φ [ n − 1 ] + 引数 { s 1 [ n ] s 1 * [ n − 1 ] } 、 {\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},} ここで、アスタリスクは複素共役 を表します。離散時間瞬時周波数（サンプルあたりのラジアン単位）は、そのサンプルの位相の進みに相当します。
ω [ n ] = 引数 { s 1 [ n ] s 1 * [ n − 1 ] } 。 {\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}
複素数表現 位相の値を複数の時点で平均化するなどの一部のアプリケーションでは、各値を複素数またはベクトル表現に変換することが有用な場合があります。[ 4 ]
e 私 φ （ t ） = s 1 （ t ） | s 1 （ t ） | = コス （ φ （ t ） ） + 私 罪 （ φ （ t ） ） 。 {\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).} この表現は、位相における2π の倍数を区別しないという点でラップ位相表現に似ていますが、連続的であるという点でアンラップ位相表現にも似ています。ベクトル平均位相は、ラップアラウンドを気にすることなく、複素数の和のarg として得られます。
参考文献 ↑ ナヒン、ポール（2024）。『数学的ラジオ：AM、FM、シングルサイドバンドの魔法の内幕 』プリンストン：プリンストン大学出版局、210～ 213頁。ISBN 9780691235318 。 ↑ Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic , L. (2008年8月). "瞬時周波数推定器としてのスケーログラムの定量的性能分析". IEEE Transactions on Signal Processing . 56 (8): 3837–3845 . Bibcode : 2008ITSP...56.3837S . doi : 10.1109/TSP.2008.924856 . ISSN 1053-587X . S2CID 16396084 . ↑ Blackledge, Jonathan M. (2006). デジタル信号処理：数学的および計算的手法、ソフトウェア開発および応用 （ 第2 版）。Woodhead Publishing。p. 134。ISBN 1904275265 。↑ Wang, S. (2014). "An Improved Quality Guided Phase Unwrapping Method and Its Applications to MRI" . Progress in Electromagnetics Research . 145 : 273–286 . doi : 10.2528/PIER14021005 .
さらに読む コーエン、レオン（1995）。時間周波数分析 。プレンティスホール。 Granlund; Knutsson (1995). Signal Processing for Computer Vision . Kluwer Academic Publishers. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6cc5d63de82e6f1472f9fbf5e297ebd5f3971d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1671fff20760295511e8add79993d1a63d6140ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797a081afe54f44fc9fa554c38dac9a25a3e0c27)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cfab601a4b91ac04a4188d84b4f70cc1ee2d1b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6159d33436ccb7592da0ff96c5d70b576607fab5)
![{\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cc0af6d6ddb8c78b48d8c29782e1bfc96e1408)
![{\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b76d282efe50cf9d7948942f5b44b226ad0129)
