畳み込み型の特異積分演算子

L ²関数の理論は円上では特に単純である。^{[ 1 ] [ 2 ]} f ∈ L ² ( T )であれば、フーリエ級数展開が成り立つ。 $${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta }.}$$

ハーディ空間H ² ( T ) は、負の係数がゼロとなる関数、すなわちn < 0 のときa _n = 0 となる関数から構成される。これらはまさに、開単位円盤における正則関数の境界値として現れる二乗可積分関数である。実際、fは関数の境界値である。

$${\displaystyle F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},}$$

関数が

$${\displaystyle f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),}$$

Fを同心円 | z | = rに制限することによって定義され、以下を満たす。

$${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0.}$$

L ² ( T )からH ² ( T ) への直交射影Pは、セゲー射影と呼ばれます。これは、作用素ノルム1 を持つL ² ( T )上の有界作用素です。コーシーの積分公式により、

$${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}$$

したがって

$${\displaystyle F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}$$

r = 1の場合、右辺の被積分関数は θ = 0 で特異点を持つ。切り捨てヒルベルト変換は次のように定義される。

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}$$

ここで δ = |1 – e ^iε | です。これは有界関数との畳み込みとして定義されているため、 L ² ( T )上の有界演算子です。

$${\displaystyle H_{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.}$$

fがzの多項式である場合、

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}$$

コーシーの定理によれば、 ε が0 に近づくにつれて右辺は一様に 0 に近づき、したがってδも 0 に近づく。

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow if}$$

多項式に対して一様に。一方、u ( z ) = zの場合、すぐに次のことがわかります。

$${\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}$$

したがって、f が定数項のないz ⁻¹の多項式である場合

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow -if}$均一に。

円上の ヒルベルト変換を次のように定義する。$${\displaystyle H=i(2P-I).}$$

したがって、fが三角多項式である場合

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$均一に。

f が任意のL ²関数である場合、

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$L2^ノルムにおいて。

これは、演算子H _εが演算子ノルムで一様に有界であることが確立されると、三角多項式の結果から直ちに導かれる帰結である。しかし、[– π , π ]上では

$${\displaystyle (1-e^{i\theta })^{-1}=[(1-e^{i\theta })^{-1}-i\theta ^{-1}]+i\theta ^{-1}.}$$

最初の項は [–π,π] 全体で有界であるため、畳み込み演算子S _{ε が}次のように定義されることを示せば十分である。

$${\displaystyle S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\theta )\theta ^{-1}\,d\theta }$$

は一様に有界である。直交基底e ^inθに関して、畳み込み演算子は対角であり、その演算子ノルムはフーリエ係数の絶対値の上限を取ることによって与えられる。直接計算すると、これらはすべて次の形式であることがわかる。

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|}$$

0 < a < bの場合。これらの積分は一様に有界であることがよく知られています。

また、円上の連続関数fに対して、 H _ε fはHfに一様に収束し、特に点ごとに収束することが導かれる。点ごとの極限はコーシー主値であり、次のように表される。

$${\displaystyle Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}$$

fがL ²に属する場合、H _ε fはほとんど至るところでHfに点ごとに収束します。実際、L ²関数上のポアソン作用素を次のように定義します。

$${\displaystyle T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{|n|}a_{n}e^{in\theta },}$$

r < 1の場合。これらの演算子は対角化されているため、 r が1 に増加すると、T r f が L 2 で f に収束することは容易にわかります。さらに、ルベーグが証明したように、T r _fはf^の各ルベーグ点_でも点ごとにf に収束します。一方、T _r Hf − H _{1 − r} f はfの各ルベーグ点でゼロに収束することも知られています。したがって、H _{1 – r} f はfとHfの共通ルベーグ点で点ごとにfに収束し、したがってほとんどすべての場所で収束します。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

点ごとの収束に関するこの種の結果は、ポアソン演算子とfのハーディ・リトルウッド最大関数を使用して、L ^p関数に対してより一般的に以下で証明されます。

ヒルベルト変換は、円の向きを保存する微分同相写像と自然な互換性がある。^{[ 6 ]}したがって、Hが円の微分同相写像で、

$${\displaystyle H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}$$

そしてオペレーター

$${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,}$$

は一様に有界であり、強作用素位相ではHに収束する。さらに、Vf ( z ) = f ( H ( z )) の場合、VHV ⁻¹ − H は滑らかな核を持つ作用素であり、ヒルベルト・シュミット作用素である。

実際、G が対応する関数g ( θ )を持つHの逆関数である場合、

$${\displaystyle (VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$$

右辺のカーネルはT × T上で滑らかであるため、右辺の演算子は一様に有界であり、したがって演算子H _ε ^hも同様に有界である。これらがHに強く収束することを示すには、三角多項式でこれを検証すれば十分である。この場合

$${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.}$$

最初の積分では、被積分関数は z と ζ に関する三角多項式であり^{、したがって積分は ζ に関する三角多項式です。L 2}では三角多項式に収束 します。$${\displaystyle {1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.}$$

第２項の積分は偏角原理によって計算できる。L 2^では定数関数 1 に収束するので、

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz,}$$

ここで極限はL ²にある。一方、右辺は微分同相写像に依存しない。恒等微分同相写像の場合、左辺はHfに等しいので、これもHfに等しい ( fが三角多項式の場合は直接確認できる)。最後に、ε → 0 とすると、

$${\displaystyle (VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$$

演算子H ^εの一様有界性を証明するためにフーリエ係数を直接評価する方法は、1 < p < ∞ のL ^p空間に直接一般化することはできません。代わりに、古典的には、 H ^ε fとヒルベルト変換のポアソン積分を直接比較してこれを証明します。fがフーリエ級数を持つ場合

$${\displaystyle f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta },}$$

そのポアソン積分は次のように定義される。

$${\displaystyle P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),}$$

ここで、ポアソン核K _rは次のように与えられる。 $${\displaystyle K_{r}(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^{2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

fが L ^p ( T ) に含まれる場合、演算子P _{r は}以下を満たす。 $${\displaystyle \|P_{r}f-f\|_{p}\rightarrow 0.}$$

実際、K _rは正なので $${\displaystyle \|K_{r}\|_{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.}$$

したがって、演算子P _{r の}演算子ノルムはL ^p上で 1 に制限されます。上記の収束に関する記述は、三角多項式の結果から連続性によって導かれ、これはK _rのフーリエ係数の公式から直接導かれる結果です。

H _εの作用素ノルムの一様有界性は、HP _r − H _{1− r}が関数ψ _rによる畳み込みとして与えられることから導かれる。ここで^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}}$$ 1 − r ≤ |θ|の場合≤ π、および |θ| の場合< 1 − r、 $${\displaystyle \psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

これらの推定値は、L ¹ノルム ∫ |ψ _r | が一様に有界であることを示しています。H は有界作用素であるため、作用素H _εはL ² ( T )上の作用素ノルムで一様に有界であることがわかります。ヒルベルト変換H がL ^p ( T )上の作用素ノルムで有界であることがわかれば、同じ議論を L p ( T )に^も適用できます。

円の場合と同様に、L ²関数の理論は特に簡単に展開できます。実際、ローゼンブラムとデヴィナッツが指摘したように、2 つのヒルベルト変換はケイリー変換を使用して関連付けることができます。^{[ 8 ]}

L ² ( R ) 上のヒルベルト変換 H R は次のように 定義される_。$${\displaystyle {\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _{[0,\infty )}-i\chi _{(-\infty ,0]}\right){\widehat {f}},}$$ ここでフーリエ変換は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx.}$$

ハーディ空間 H ² ( R )を、実軸の負の部分でフーリエ変換がゼロになる関数からなる L 2 ⁽ R )の閉部分空間と定義する。その直交補空間は、実軸の正の部分でフーリエ変換がゼロになる関数によって与えられる。これは H ² ( R ) の複素共役である。P _RがH ² ( R )への直交射影である場合、

$${\displaystyle H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).}$$

ケイリーの変貌 $${\displaystyle C(x)={x-i \over x+i}}$$ 拡張された実数直線を円上に移動させ、∞ の点を 1 に、上半平面を単位円盤上に移動させる。

L ² ( T )からL ² ( R ) へのユニタリ演算子を次のように定義する。$${\displaystyle Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).}$$

この演算子は、円 H ² ( T ) のハーディ空間を H ² ( R ) に写像します。実際、| w | < 1 の場合、関数の線形スパンは $${\displaystyle f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}}$$ H ² ( T ) は高密度である。さらに、 $${\displaystyle Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}}$$ どこ $${\displaystyle z=C^{-1}({\overline {w}}).}$$

一方、z ∈ Hの場合、関数の線形スパンは $${\displaystyle g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)}$$はL ² ((0,∞)) で稠密である。フーリエ逆変換の公式により、これらは のフーリエ変換である。 $${\displaystyle h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},}$$ したがって、これらの関数の線形スパンは H ² ( R ) において稠密である。U はf _wをh _zの倍数に写像するので、 U はH ² ( T ) を H ² ( R ) に写像することがわかる。したがって $${\displaystyle UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.}$$

Nikolski (1986)では、実数直線と上半平面上の L ²理論の一部が、円と単位円盤の結果を転用することによって展開されています。円盤内の同心円の自然な代替は、Hの実軸に平行な直線です。Cayley 変換の下では、これらは点 1 で単位円に接する円盤内の円に対応します。これらの円上の H ² ( T )の関数の挙動は、Carleson 測度の理論の一部です。しかし、特異積分の理論は、 R上で直接作業することによってより簡単に展開できます。

H ² ( R ) は、次の意味でH上の正則関数の境界値から生じるL ²関数fのみから構成されます。 ^{[ 9 ]} f が H ^{2に含まれるのは、} H上に正則関数F ( z )が存在し、 y > 0 の関数f _y ( x ) = f ( x + iy ) がL ²に含まれ、y → 0のときf _{y が}L ^2のfに収束する場合です。この場合、F は必ず一意であり、コーシーの積分公式で与えられます。

$${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds.}$$

実際、フーリエ変換によってH ^{2 を}L ² (0,∞)と同一視すると、 y > 0に対してL ² (0,∞)上でe ^{− yt}を乗じることで、 H ²上に縮小半群V _yが誘導される。したがって、f ∈ L ^{2の場合、}

$${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).}$$

fが H ²に属する場合、 L ²関数族g _{z が}zに正則に依存するため、 F ( z ) は Im z > 0 に対して正則です。さらに、フーリエ変換ではこれが成り立つため、f _y = V _y fはH ^2のfに収束します。逆に、そのようなFが存在する場合、コーシーの積分定理と上記の恒等式をf _{yに適用すると、}

$${\displaystyle f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}}$$

t > 0の場合。t を0に近づけると、Pf _y = f _yとなり、f _{y は}^{H 2}に含まれる。しかし、極限fも同様である。 $${\displaystyle V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},}$$F の一意性は以下から導かれる $${\displaystyle f_{t}=\lim _{y\to 0}f_{y+t}=\lim _{y\to 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.}$$

L ^2のfに対して、切り捨てヒルベルト変換は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y-x|\leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\varepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y|\geq \varepsilon }{f(x-y) \over y}\,dy.\end{aligned}}}$$

演算子H _ε、Rはコンパクト台を持つ有界関数による畳み込みであるため、それらの演算子ノルムはフーリエ変換の一様ノルムによって与えられます。これまでと同様に、絶対値は次の形式になります。

$${\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.}$$

0 < a < bなので、演算子H _ε、Rは演算子ノルムで一様に有界です。コンパクトな台を持つfの場合、 H _ε、R f はL ²でH _ε fに収束するため、任意のfに対して、演算子H _εも演算子ノルムで一様に有界です。

H _ε f がε がゼロに近づくにつれてHfに近づくことを証明するには、関数の稠密集合でこれを検証すれば十分である。一方、

$${\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),}$$

したがって、 H _ε f がH ² ( R )内の稠密な関数集合、例えば(0,∞) にコンパクトな台を持つ滑らかな関数gのフーリエ変換に対して収束することを証明すれば十分です。しかし、フーリエ変換fはC上の全体関数Fに拡張され、これは Im( z ) ≥ 0で有界です。gの導関数についても同様です。スカラーを除いて、これらはF ( z ) にzのべき乗を掛けることに対応します。したがって、F はIm( z ) ≥ 0 に対してPaley-Wiener の評価を満たします: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle |F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}}$$

任意のm、N ≥ 0 に対して。特に、H _ε f ( x ) を定義する積分は、 xを中心とする標準的な半円の輪郭を取ることによって計算できます。これは、半径Rの大きな半円と、実軸の 2 つの部分を挟んだ半径 ε の小さな円から構成されます。コーシーの定理により、輪郭に沿った積分はゼロになります。大きな輪郭に沿った積分は、ペイリー・ウィーナーの評価によりゼロに近づきます。実軸上の積分が求められる極限です。したがって、それは小さな半円の輪郭上の極限のマイナスとして与えられます。しかし、これは

$${\displaystyle {1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.}$$

ここでΓは反時計回りに配向された小さな半円形の輪郭である。通常の輪郭積分法では、この極限は( x )の場合に等しい。^{[ 11 ]}この場合、収束がL2で支配的であることは容易に確認できる^。

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy}$$

そのため、収束は $${\displaystyle G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x+ty)|\,dy}$$ これはペイリー＝ウィーナー推定によれば^L2に属する。

したがって、 L ² ( R ) 上のfについては、$${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.}$$

これは、フーリエ変換後、 H _εとH が一様有界関数による乗算演算子になることからも直接導き出せる。H _εの乗数はほとんど至るところでHの乗数に収束するため、上記の記述はフーリエ変換に適用された優収束定理から導かれる。

円上のヒルベルト変換に関しては、fが L ^{2関数であれば、} H _ε fはほとんど至るところでHfに収束します。実際、L ²関数上のポアソン作用素は次のように定義されます。

$${\displaystyle T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,}$$

ここで、ポアソンカーネルは次のように与えられる。

$${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.}$$

y > 0 の場合。そのフーリエ変換は $${\displaystyle {\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},}$$

これから、 y が0 に増加すると、L ²においてT _y fがfに近づくことが容易にわかります。さらに、ルベーグが証明したように、 T _y fはfの各ルベーグ点において点ごとにfに近づきます。一方、T _y Hf – H _y fはfの各ルベーグ点でゼロに近づくことも知られています。したがって、H _ε f はfとHfの共通ルベーグ点において点ごとに f に近づき、したがってほとんどすべての場所で f に近づきます。^{[ 12 ] [ 13 ]} 関数T _y f − fとT _y Hf – H _y fの絶対値は、 fの最大関数の倍数によって点ごとに制限できます。^{[ 14 ]}

円上のヒルベルト変換に関しては、Hが有界であることがわかっている場合、 H _εの演算子ノルムの一様有界性はT _εの一様有界性から導かれる。なぜなら、 HT _ε − H _εは関数による畳み込み演算子だからである。

$${\displaystyle g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}}$$

これらの関数のL1ノルム^は一様に有界である。

複素平面上の複素リース変換RとR * は、 L ² ( C )上のユニタリ演算子であり、 L ²関数fのフーリエ変換に対するz /| z | とその共役の乗算として定義されます。

$${\displaystyle {\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).}$$

C をR ²と同一視すると、RとR * は次のように与えられる。

$${\displaystyle R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},}$$

ここで、R ₁およびR _{2は、以下で定義される}R ²上のリース変換である。

L ² ( C )上では、演算子Rとその整数乗はユニタリです。また、特異積分演算子として表現することもできます。^{[ 15 ]}

$${\displaystyle {R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$$

どこ $${\displaystyle M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\,(k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}}.}$$

切り捨てられた高次のリース変換を次のように定義する。 $${\displaystyle {R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$$ これらの演算子は、演算子ノルムにおいて一様に有界であることが示せる。奇数乗の場合、これは後述するカルデロンとジグムントの回転法によって導出できる。^{[ 16 ]}演算子が演算子ノルムにおいて有界であることが分かっている場合は、ポアソン演算子を用いて導出することもできる。^{[ 17 ]}

R ²上のポアソン演算子T _{s は}、 s > 0に対して次のように定義される。

$${\displaystyle {T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|x-t|^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}}$$

これらは関数との畳み込みによって与えられる。

$${\displaystyle {P_{s}(x)={s \over 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}}$$

P _sは関数e ^{− s | x |}のフーリエ変換であるため、フーリエ変換の下ではこれらの関数による乗算に対応し、L ² ( R ² ) 上に縮小半群を形成します。P _{y は}正であり、積分 1 で積分可能なので、演算子T _sも 1 < p < ∞ の各 L ^p空間上に縮小半群を定義します。

ポアソン核の高次リース変換は以下のように計算できる。

$${\displaystyle {R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}}$$

k ≥ 1の場合は、複素共役は − kの場合です。実際、右辺は3 変数の調和関数F ( x , y , s ) であり、このような関数については^{[ 18 ]}

$${\displaystyle {T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}}$$

以前と同様に、オペレーターは

$${\displaystyle {T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}}$$

これらは可積分関数との畳み込みによって与えられ、作用素ノルムは一様に有界である。リース変換は L ² ( C ) 上でユニタリであるため、切り捨てられたリース変換の一様有界性は、それらが強作用素位相において対応するリース変換に収束することを意味する。

変換と切り捨て変換の差の一様有界性は、カルデロン・ジグムント回転法を用いて奇数kの場合にも確認できる。 ^{[ 19 ] [ 20 ]}群Tは、回転によってC上 の関数に作用する。$${\displaystyle {U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}}$$

^{これは L 2} ( C )上のユニタリ表現を定義し、ユニタリ演算子R _{θ は}フーリエ変換と可換です。AがL ² ( R )上の有界演算子である場合、A を最初の座標に作用させるだけで、 L ² ( C ) 上の有界演算子A ^{(1)が定義されます。L 2} ( R ² ) = L ² ( R ) ⊗ L ² ( R )という同一視により、A ⁽¹⁾ = A ⊗ Iとなります。φ が円上の連続関数である場合、新しい演算子を次のように定義できます。 $${\displaystyle {B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .}}$$

この定義は、 $${\displaystyle {(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }}$$

L ² ( C ) の任意のf、gに対して、次のことが成り立つ。 $${\displaystyle {\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\theta .}}$$

AをL ² ( R )上のヒルベルト変換Hまたはその切断H _εとすると、次のことが導かれる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\varepsilon }&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H_{\varepsilon }^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .\end{aligned}}}$$

随伴をとることで、 R*とその切断についても同様の公式が得られます。これにより、 R、R *、およびそれらの切断のノルムの推定値を検証する2つ目の方法が得られます。この方法は、 L ^p空間にも適用できるという利点があります。

ポアソン演算子を使用すると、関数の切り捨てられた高次リース変換が、関数とその変換の共通ルベーグ点において高次リース変換に収束することを示すこともできます。実際、fの各ルベーグ点において ( R ^k T _ε − R ^{( k )} _ε ) f → 0となり、R ^k fの各ルベーグ点において ( R ^k − R ^k T _ε ) f → 0 となります。^{[ 21 ]}

以来

$${\displaystyle {{\overline {z}} \over z}=\left({{\overline {z}} \over |z|}\right)^{2},}$$

L ²上のBeurling 変換Tは、 R ²に等しいユニタリ演算子です。この関係は、Vekua (1962)とAhlfors (1966)で、 L ^p空間上のTの連続性を確立するために古典的に使用されました。Riesz 変換とそのべき乗に関する結果は、Tが切断演算子の強演算子トポロジーの極限である ことを示しています。$${\displaystyle T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.}$$

したがって、Tfはコーシー主値積分として表すことができる。

$${\displaystyle Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }}P.V.\iint {\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dx\,dy.}$$

フーリエ変換におけるTとT *の説明から、 fがコンパクト台を持つ滑らかな関数である場合、

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\T(\partial _{\overline {z}}f)&=\partial _{\overline {z}}T(f).\end{aligned}}}$$

1 次元のヒルベルト変換と同様に、ビューリング変換は等角座標変換と互換性があります。Ω を滑らかな境界 ∂Ω を持つC内の有界領域とし、φ を単位円盤Dから Ω への単葉正則写像で、円から ∂Ω への滑らかな微分同相写像に拡張したものとします。χ _{Ωが Ω の}特性関数である場合、演算子χ _Ω Tχ _ΩはL ² (Ω) 上の演算子T (Ω)を定義します。等角写像φを介して、 L ² ( D ) 上の演算子 (これもT (Ω) と表記) を誘導し、これはT ( D )と比較できます。切断T _ε (Ω) およびT _ε ( D )についても同様です。

U _{ε を}^円盤| z − w | < ε とし、V ^{ε を}領域 |φ( z ) − φ( w )| < εとする。L 2 ( D ) 上では$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\varepsilon }(\Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}f(z)\right]dx\,dy,\\T_{\varepsilon }(D)f(w)&=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy,\end{aligned}}}$$

そして、これらの切り捨てられた演算子の演算子ノルムは一様に有界である。一方、

$${\displaystyle T_{\varepsilon }^{\prime }(D)f(w)=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{(z-w)^{2}}}dx\,dy,}$$

すると、この演算子とT _ε (Ω)の差は、滑らかなカーネルK ( w , z ) を持つ切り捨てられた演算子になります。

$${\displaystyle K(w,z)=-{1 \over \pi }\left[{\varphi '(w)\varphi '(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}\right].}$$

したがって、演算子T′ _ε ( D ) も一様に有界な演算子ノルムを持つ必要があります。強い演算子位相においてそれらの差が 0 に収束することを示すには、D内のコンパクト台を持つ滑らかなfについてこれをチェックすれば十分です。グリーンの定理^{[ 22 ]により、}

$${\displaystyle \left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-w}}d{\overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\varepsilon }}{f(z) \over z-w}\,d{\overline {z}}.}$$

右辺の4つの項はすべて0に収束する。したがって、差T (Ω) − T ( D )は核Kを持つヒルベルト・シュミット演算子である。

点ごとの収束については、 Mateu & Verdera (2006)による簡単な議論があり、切り捨てられた積分は、ほぼすべての場所で、正確にTfのルベーグ点に収束することが示されています。^{[ 23 ]}実際、T はf、g ∈ L ² ( C )に対して次の対称性を持っています。

$${\displaystyle \iint (Tf)g=-{1 \over \pi }\lim \int _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{(w-z)^{2}}}=\iint f(Tg).}$$

一方、χが中心z、半径εの円盤D ( z ,ε)の特性関数である場合、

$${\displaystyle T\chi (w)=-\varepsilon ^{2}{\frac {1-\chi (w)}{(w-z)^{2}}}.}$$

したがって $${\displaystyle T_{\varepsilon }(f)(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(T\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint (Tf)\chi =\mathbf {Av} _{D(z,\varepsilon )}\,Tf.}$$

ルベーグ微分定理により、右辺はTfのルベーグ点においてTfに収束する。

R ⁿのシュワルツ空間fに対して、j番目のリース変換は次のように定義される。

$${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(x-y){1 \over |y|^{n-1}}dy,}$$

どこ $${\displaystyle c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {n+1}{2}}}.}$$

フーリエ変換の下では：

$${\displaystyle {\widehat {R_{j}f}}(t)={it_{j} \over |t|}{\widehat {f}}(t).}$$

したがって、R _{j は}演算子 ∂ _j Δ ^−1/2に対応し、ここで Δ = −∂ ₁ ² − ⋯ −∂ _n ^2はR ⁿ上のラプラシアンを表します。定義により、R _jはL ²ノルムの有界かつ歪随伴演算子であり、

$${\displaystyle R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.}$$

対応する切り捨て演算子 $${\displaystyle R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy}$$ は作用素ノルムで一様に有界である。これは直接証明することも、群 SO( n )の回転に関するカルデロン-ジグムント法によって確立することもできる。 ^{[ 24 ]}これは、作用素R _jとその切断を、1 次元のヒルベルト変換とその切断で表す。実際、正規化されたハール測度を持つG = SO( n ) で、H ⁽¹⁾が第 1 座標のヒルベルト変換である場合、

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon }^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)}g^{-1}\,dg.\end{aligned}}}$$

ここで、φ ( g )はgの(1, j )行列係数である。

特に、 f ∈ L ²の場合、R _{j ,ε} f → R _j f はL ²で成り立ちます。さらに、R _{j ,ε} f はほとんど至るところでR _jに収束します。これは、 R ⁿをR ^{n +1}の半空間の境界とみなした場合、 L ² ( R ⁿ )上で定義されたポアソン作用素を使用することで、ヒルベルト変換の場合とまったく同じように証明できます。あるいは、 R _{j を}G上の積分として表現することで、R上のヒルベルト変換の結果から直接証明することもできます。^{[ 25 ] [ 26 ]}

R ⁿ上のポアソン演算子T _{y は}、 y > 0 に対して^{[ 27 ]}で定義されます。

$${\displaystyle T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {yf(x)}{\left(|x-t|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}dt.}$$

これらは関数との畳み込みによって与えられる。 $${\displaystyle P_{y}(x)=c_{n}{\frac {y}{\left(|x|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$$

P _yは関数e ^{− y | x |}のフーリエ変換であるため、フーリエ変換の下では、これらの関数による乗算に対応し、L ² ( R ^{n ) 上に縮小半群を形成します。P} _{y は}正であり、積分 1 で積分可能なので、演算子T _yも 1 < p < ∞ の各L ^p空間上に縮小半群を定義します。

ポアソン核のリース変換は計算できる。

$${\displaystyle R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{\frac {x_{j}}{\left(|x|^{2}+\varepsilon ^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$$

演算子R _j T _εはこの関数との畳み込みによって与えられます。演算子R _j T _ε − R _{j , ε}はL ¹ノルムで一様に有界な関数との畳み込みによって与えられることが直接確認できます。したがって、差の演算子ノルムは一様に有界です。fの各ルベーグ点において( R _j T _ε − R _{j , ε} ) f → 0 となります。一方、 R _j fの各ルベーグ点において( R _j − R _j T _ε ) f → 0 となります。したがって、fとR _j fの共通ルベーグ点においてR _{j , ε} f → R _j fとなります。

マルセル・リースの定理は、 L ²ノルムで連続な特異積分作用素は1 < p < ∞のL ^pノルムでも連続であり、作用素ノルムはpに対して連続的に変化すると主張している。

ヒルベルト変換とリース変換の点ごとの収束の証明は、ハーディ・リトルウッド最大関数を用いて証明できるルベーグ微分定理に基づいています。^{[ 31 ]} 最も単純でよく知られているケース、つまり円上のヒルベルト変換の手法は、他のすべての変換のプロトタイプです。このケースについては、ここで詳しく説明します。

p > 1 に対してf をL ^p ( T )に属するものとする。ルベーグ微分定理によれば、

$${\displaystyle {A(\varepsilon )={1 \over 2\varepsilon }\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }|f(t)-f(x)|\,dt\to 0}}$$