離散級数表現

数学において、離散級数表現は、局所コンパクト位相群Gの既約ユニタリ表現であり、 L²( G )上のGの左正規表現の部分表現である。プランシュレル測度では、このような表現は正の測度を持つ。この名前は、これらが正規表現の分解で離散的に発生する表現とまったく同じであることに由来する。

Gがユニモジュラである場合、 Gの既約ユニタリ表現ρが離散級数に含まれるのは、1つの（したがってすべての）行列係数

${\displaystyle \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle \,}$

v、w が非ゼロベクトルであるとき、 はハール測度に関してG上で二乗積分可能である。

Gがユニモジュラである場合、離散級数表現は形式次元d を持ち、次のような性質を持つ。

${\displaystyle d\int \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle {\overline {\langle \rho (g)\cdot x,y\rangle }}dg=\langle v,x\rangle { \overline {\langle w,y\rangle }}}$

表現におけるv、w、x、yについて。Gがコンパクトな場合、これはGの Haar 測度が正規化されてG が測度 1 を持つときの次元と一致します。

Harish-Chandra  (1965, 1966) は連結半単純群 Gの離散級数表現を分類した。特に、そのような群が離散級数表現を持つのは、それが最大コンパクト部分群 Kと同じ階数を持つ場合のみである。言い換えると、Kの最大トーラス T はGのカルタン部分群でなければならない。(この結果では、Gの中心が有限であることが要求され、 SL(2, R )の単連結被覆などの群は除外される。) これは特に特殊線型群に適用され、これらのうちSL(2, R )のみが離散級数を持つ (これについては、 SL(2, R )の表現論を参照)。

半単純連結リー群の離散級数表現のハリシュ・チャンドラ分類は次のように与えられる。Lが 最大トーラスTの重み格子、つまりその部分格子（tはTのリー代数）である場合、

L + ρ、

ここで、ρ はGのワイルベクトルであり、 Gのどの根とも直交しない。すべての離散級数表現はこのようにして生じる。2つのそのようなベクトルv が同じ離散級数表現に対応するのは、それらが最大コンパクト部分群Kのワイル群W _Kのもとで共役である場合に限ります。 Kのワイル群の基本チャンバーを固定すると、離散級数表現は、このワイルチャンバー内のGのどの根とも直交しないL + ρ のベクトルと1:1で対応します。最高重み表現の無限小特性は、Gの無限小特性を次の点と 同一視するハリシュ・チャンドラ対応のもとで、 v ( Gのワイル群W _{G を}法とする)によって与えられます。

t ⊗ C / W _Gです。

したがって、各離散級数表現に対して、

| W _G |/| W _K |

同じ微小特性を持つ離散級数表現。

ハリシュ＝チャンドラは、ワイル指標公式のこれらの表現の類似性を証明した。Gがコンパクトでない場合、表現は無限次元を持ち、指標の概念は、特異点を持つシュワルツ分布（局所積分関数で表される）であるため、定義がより微妙になる。

最大トーラスT上の特性は次のように 表される。

${\displaystyle (-1)^{\frac {\dim(G)-\dim(K)}{2}}{\sum _{w\in W_{K}}\det(w)e^{w(v)} \over \prod _{(v,\alpha )>0}\left(e^{\frac {\alpha }{2}}-e^{-{\frac {\alpha }{2}}}\right)}}$

Gがコンパクトな場合、これはワイル特性式に簡約され、v  =  λ  +  ρとなり、 λは既約表現の最大の重みとなります（積はベクトルvと正の内積を持つ根 α 上にあります）。

ハリシュ・チャンドラの正則性定理は、離散級数表現の特性が群上の局所的に積分可能な関数であることを意味します。

Gの根に直交する剰余類L + ρ 内の点v は離散級数表現に対応しないが、Kの根に直交しない点は、離散級数表現の極限と呼ばれる特定の既約表現に関連している。 vがL + ρのベクトルで、 Gの何らかの根に直交するが、Cの壁に対応するKのどの根にも直交せず、Cがvを含むGのワイルチャンバーである場合、すべてのペア ( v 、 C ) に対してそのような表現が存在します。(離散級数表現の場合、 v を含むワイルチャンバーは 1 つしかないため、明示的に含める必要はありません。) 2 つのペア ( v、C ) は、 Kのワイル群の下で共役である場合に限り、同じ離散級数表現の極限を与えます。離散級数表現の場合と同様に、v は無限小特性を与えます。任意の無限小特性を持つ離散級数表現の極限は、最大で | W _G |/| W _K |です。

離散級数表現の極限は緩和表現であり、これは大まかに言って、離散級数表現ではなくなるだけであることを意味します。

ハリシュ・チャンドラによる離散級数の元々の構成はあまり明確ではありませんでした。その後、何人かの著者が離散級数のより明確な実現方法を発見しました。

• Narasimhan & Okamoto (1970) は、 Gの対称空間がエルミートである場合の離散級数表現のほとんどを構築しました。
• Parthasarathy (1972)は、任意のGに対する離散級数表現を数多く構築した。
• ラングランズ（1966）は、コンパクトな場合に使用されるコヒーレント層コホモロジーの代わりにL ²コホモロジーを使用して、離散級数に対するボレル-ボット-ヴェイユの定理の幾何学的類似を予想し、シュミット（1976）はそれを証明した。
• 指数定理を応用して、アティヤとシュミット (1977) は調和スピノルの空間におけるすべての離散級数表現を構築した。これまでの表現の構築のほとんどとは異なり、アティヤとシュミットの研究では、証明にハリシュ・チャンドラの存在結果を使用していなかった。
• 離散級数表現は、ザッカーマン関手を用いたコホモロジー放物線帰納法によっても構築できます。

• ブラットナーの予想
• 正則離散級数表現
• 四元離散級数表現

• アティヤ、マイケル、シュミッド、ウィルフリード (1977)、「半単純リー群の離散級数の幾何学的構成」、Inventiones Mathematicae、42 : 1–62、doi :10.1007/BF01389783、ISSN  0020-9910、MR  0463358、S2CID  55559836
• バーグマン、V (1947)、「ローレンツ群の既約ユニタリ表現」、数学年報、第 2 シリーズ、48 (3): 568–640、doi :10.2307/1969129、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969129、MR  0021942
• Harish-Chandra (1965)、「半単純リー群の離散級数。I. 不変固有分布の構築」、Acta Mathematica  、113 : 241–318、doi : 10.1007/BF02391779、ISSN0001-5962、0219665
• Harish-Chandra (1966)、「半単純リー群の離散級数。II. 特性の明示的決定」、Acta Mathematica、116 :1–111、doi : 10.1007/  BF02392813 、ISSN0001-5962  、MR0219666  、S2CID125806386
• ラングランズ、RP (1966)、「保型形式の空間の次元」、代数群と不連続部分群 (Proc. Sympos. Pure Math.、コロラド州ボルダー、1965)、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 253–257、MR  0212135
• Narasimhan, MS; Okamoto, Kiyosato (1970)、「非コンパクト型のエルミート対称対に対するボレル-ヴェイル-ボット定理の類似物」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、91 (3): 486–511、doi :10.2307/1970635、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970635、MR  0274657
• Parthasarathy, R. (1972)、「ディラック演算子と離散級数」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、96 (1): 1–30、doi :10.2307/1970892、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970892、MR  0318398
• シュミット、ウィルフリード (1976)、「L²-コホモロジーと離散級数」、数学年報、第 2 シリーズ、103 (2): 375–394、doi :10.2307/1970944、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970944、MR  0396856
• Schmid, Wilfried (1997)、「離散級数」、Bailey、TN; Knapp, Anthony W. (編)、表現理論と保型形式 (エディンバラ、1996)、Proc. Sympos. Pure Math.、vol. 61、プロビデンス、RI: American Mathematical Society、pp. 83–113、doi :10.1090/pspum/061/1476494、ISBN 978-0-8218-0609-8、MR  1476494
• AI Shtern (2001) [1994]、「離散級数（表現）」、数学百科事典、EMS Press

• ギャレット、ポール (2004)、離散級数 (正則、四元数) に関するいくつかの事実(PDF)