平均振動の制限

• 特定の領域におけるBMO関数の集合を表すために広く採用されている表記法${\displaystyle \Omega }$は${\displaystyle \operatorname {BMO} (\Omega )}$： いつ$\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$、${\displaystyle \operatorname {BMO} (\mathbb {R} ^{n})}$略称は${\displaystyle \operatorname {BMO} }$。
• 与えられたBMO関数のBMOノルム${\displaystyle u}$は、${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BMO} }}$: 場合によっては、次のように表記されることもあります。${\displaystyle \|u\|_{*}}$。

${\displaystyle \operatorname {BMO} }$関数はローカルです$\displaystyle L^{p}}$もし${\displaystyle 0<p<\infty }$だが、局所的に有界である必要はない。実際、ジョン・ニレンバーグの不等式を用いると、次のことが証明できる。

${\displaystyle \|u\|_{\text{BMO}}\simeq \sup _{Q}\left({\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u-u_{Q}|^{p}dx\right)^{1/p}.}$

定数関数は平均振動がゼロであるため、定数に対して異なる関数${\displaystyle c>0}$同じものを共有できます${\displaystyle \operatorname {BMO} }$ほぼどこでもその差がゼロでなくても、ノルム値はゼロになります。したがって、関数は${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BMO} }}$は商空間上のノルムである${\displaystyle \operatorname {BMO} }$考慮する領域上の定数関数の空間を法とする関数。

名前が示すように、関数の平均または平均値は${\displaystyle \operatorname {BMO} }$位置とスケールが近い立方体で計算する場合、あまり振動しません。正確には、${\displaystyle Q}$そして${\displaystyle R}$境界が接し、辺の長さが であるような二進立方体である。${\displaystyle Q}$辺の長さの半分以上である${\displaystyle R}$（そしてその逆も）

${\displaystyle |f_{R}-f_{Q}|\leq C\|f\|_{\text{BMO}}}$

どこ${\displaystyle C>0}$は普遍定数である。この性質は実際には、${\displaystyle f}$にいる${\displaystyle \operatorname {BMO} }$つまり、${\displaystyle f}$は局所的に積分可能な関数であり、${\displaystyle |f_{R}-f_{Q}|\leq C}$すべての二進立方体について${\displaystyle Q}$そして${\displaystyle R}$上述の意味で隣接し、${\displaystyle f}$二項関係にある${\displaystyle \operatorname {BMO} }$（上限は二進立方体のみで取られる）${\displaystyle Q}$）、 それから${\displaystyle f}$は${\displaystyle \operatorname {BMO} }$[ ^{7 ]​}

フェファーマン（1971）は、${\displaystyle \operatorname {BMO} }$空間は${\displaystyle H^{1}}$ハーディスペース​${\displaystyle p=1}$[ ^{8 ]} ペア^リング${\displaystyle f\in H^{1}}$そして${\displaystyle g\in \operatorname {BMO} }$は

${\displaystyle (f,g)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

ただし、この積分を定義する際には注意が必要である。なぜなら、一般に絶対収束するとは限らないからである。

ジョン・ニレンバーグの不等式は、平均振動が制限された関数が、その平均値からどの程度まで逸脱できるかを規定する推定値である。

周囲空間の次元が 1 の場合、空間 BMO は単位円盤上の調和関数の線形部分空間と見なすことができ、ハーディ空間の理論において重要な役割を果たします。定義 2 を使用すると、単位円上の BMO( T ) 空間を、次の関数f : T → Rの空間として定義できます。 

${\displaystyle {\frac {1}{|I|}}\int _{I}|f(y)-f_{I}|\,\mathrm {d} y<C<+\infty }$

すなわち、単位円^{[ 10 ]}の各弧Iにおける平均振動が有界となるようにする。ここで、f _Iはこれまでと同様に、弧Iにおけるfの平均値である。

定義3.単位円盤上の解析関数は、それがBMO( T )関数のポアソン積分である場合に限り、調和BMO空間またはBMOH空間に属すると言われる。したがって、BMOHは次の形式を持つすべての関数uの空間である。

${\displaystyle u(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{\left|a-e^{i\theta }\right|^{2}}}f(e^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta }$

標準装備：

${\displaystyle \|u\|_{\text{BMOH}}=\sup _{|a|<1}\left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{|a-e^{i\theta }|^{2}}}\left|f(e^{i\theta })-u(a)\right|\mathrm {d} \theta \right\}}$

BMOH に属する解析関数の部分空間は、解析的 BMO 空間またはBMOA 空間と呼ばれます。

平均振動がゼロになる関数の空間VMOは、無限遠でゼロになる連続関数の BMO における閉包です。また、立方体Q上の「平均振動」が有界であるだけでなく、立方体Qの半径が 0 または ∞ に近づくにつれて一様にゼロに近づく関数の空間として定義することもできます。空間 VMO は、無限遠でゼロになる連続関数の空間のハーディ空間の類似物であり、特に実数値調和ハーディ空間H ¹は VMO の双対です。^{[ 13 ]}

R上の局所積分可能な関数fが BMO であるのは、次のように書ける場合に限る。

${\displaystyle f=f_{1}+Hf_{2}+\alpha }$

ここでf _i ∈ L ^∞、α は定数、Hはヒルベルト変換である。

BMOノルムは、次の最小値に等しい。${\displaystyle \|f_{1}\|_{\infty }+\|f_{2}\|_{\infty }}$そうしたあらゆる表現に対して。

同様に、fが VMO であるのは、 f _{i が}R上の有界一様連続関数である上記の形式で表現できる場合に限る。^{[ 14 ]}

Δ をR ⁿのダイアディック キューブの集合とする。ダイアディック BMO空間(BMO _dと表記) は、 BMO 関数と同じ不等式を満たす関数の空間であるが、上限はすべてのダイアディック キューブにわたる。この上限は、||•|| _{BMO d}と表記されることもある。

この空間は適切に BMO を含みます。特に、関数 log( x ) χ _[0,∞)は、二進 BMO には含まれますが、BMO には含まれない関数です。ただし、関数fが、あるC > 0 に対して、すべてのx ∈ R ⁿに対して|| f (•− x )|| _{BMO d} ≤ Cとなる場合、 1/3 トリックによりfも BMO に含まれます。R ⁿの代わりにT ⁿ上の BMO の場合、関数fが、適切に選択された n+1 個のxに対して|| f (•− x )|| _{BMO d} ≤ Cとなる場合、fも BMO に含まれます。これは、BMO( T ⁿ ) が二進 BMO の n+1 回の並進の交点であることを意味します。双対性により、H ¹ ( T ^{n ) は二進 H 1の}n +1 回の並進の和です。^{[ 15 ]}

二項BMOはBMOよりもはるかに狭いクラスですが、BMOで成り立つ多くの定理は二項BMOでははるかに簡単に証明でき、場合によっては、まず特別な二項の場合で証明することで元のBMO定理を復元できます。^{[ 16 ]}