リギングされたヒルベルト空間

数学や物理学において、リギングされたヒルベルト空間（ゲルファント三重項、入れ子ヒルベルト空間、装備されたヒルベルト空間）とは、ヒルベルト空間には含まれていないが、ヒルベルト空間と並行して考えたい追加のオブジェクトを含む、より大きな空間にヒルベルト空間を拡張できる構成のことである。例えば、実数直線上の二乗可積分関数のヒルベルト空間を用いた非相対論的粒子の量子力学的記述では、位置演算子と運動量演算子の固有状態はヒルベルト空間には含まれず、適切に定義されたリギングされたヒルベルト空間に含まれる。非公式には、「リギングされた」という用語は、船の艤装になぞらえて、ヒルベルト空間が本来できること以上のことができるように装備されていることを意味する。^{[ 1 ]}

この構造は、関数解析における分布と二乗可積分性を結びつけるように設計されています。このような空間はスペクトル理論を研究するために導入されました。これらは「束縛状態」（固有ベクトル）と「連続スペクトル」を一つの場所にまとめます。

この概念を用いると、ヒルベルト空間上の非有界作用素に対するスペクトル定理のバージョンを定式化することができる。^{[ 2 ]} 「リグドヒルベルト空間は、量子力学のディラック定式化に適切な数学的意味を与える構造としてよく知られている。」^{[ 3 ]}

関数 $${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$は微分演算子の固有関数 である$${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$実数直線R 上では可積分であるが、R上の通常の (ルベーグ) 測度では二乗可積分ではない。この関数を固有関数として適切に考えるには、ヒルベルト空間理論の厳密な制約から抜け出す何らかの方法が必要となる。これは分布の装置によって提供され、1950 年以降に一般化された固有関数理論が開発された。 ^{[ 4 ]}

リグドヒルベルト空間とは、 ( H , Φ)のペアであり、 Hはヒルベルト空間、Φ は稠密部分空間で、Φには包含写像が与えられた位相ベクトル空間構造がある。$${\displaystyle i:\Phi \to H,}$$ は連続である。^{[ 5 ] [ 6 ]} H をその双対空間H ^*と同一視すると、 iの随伴は写像である。 $${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

ΦとΦ ^*の間の双対性ペアリングは、 H上の内積と互換性がある。すなわち、以下のようになる。 $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$ いつでも${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$そして$\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$複素ヒルベルト空間の場合、エルミート内積を使用します。これは、u（数学の慣例）またはv（物理学の慣例）に関して複素線形であり、もう一方の変数に関しては共役線形（複素反線形）になります。

トリプル${\displaystyle (\ファイ,\,\,H,\,\,\ファイ^{*})}$しばしばゲルファンド三重奏（イスラエル・ゲルファンドにちなんで）と呼ばれる。${\displaystyle H}$これはピボットスペースと呼ばれます。

ΦがΦ ^*と同型であるとしても(リース表現を介して)、Φがそれ自体ヒルベルト空間である場合、この同型性は包含iとその随伴i *の合成と同じではないことに注意してください。$${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

• フーリエ逆変換定理
• フーリエ変換 § 緩増加分布
• 自己共役作用素 § スペクトル定理