現在（数学）

数学、特に関数解析、微分位相幾何学、幾何学的測度論において、ジョルジュ・ド・ラームの意味でのkカレントは、滑らかな多様体M上のコンパクト台を持つ微分k形式の空間上の汎関数である。形式的には、カレントは微分形式の空間上のシュワルツ分布のように振る舞うが、幾何学的設定では、部分多様体上の積分を表し、ディラックのデルタ関数を一般化したり、より一般的には、Mの部分集合に沿って広がったデルタ関数の方向微分(多重極) を表すこともできる。

させて${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$は、滑らかな多様体上のコンパクトな台を持つ滑らかなm形式の空間を表す。${\displaystyle M.}$ 電流は線形汎関数である${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$これは分布の意味で連続である。したがって線形関数 $${\displaystyle T:\Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R} }$$次の意味で連続である場合、それはm次元電流 である：$\displaystyle \omega _{k}}$滑らかな形式の集合はすべて同じコンパクト集合内にあり、すべての係数のすべての導関数が、次のときに一様に 0 に収束する。${\displaystyle k}$無限大に近づくと、${\displaystyle T(\omega _{k})}$0に近づく。

スペース${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$m次元電流の${\displaystyle M}$は、演算が定義される 実ベクトル空間である。$${\displaystyle (T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad (\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).}$$

分布理論の多くは、最小限の調整で電流にも適用できる。例えば、電流のサポートを定義することができる。${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)}$最大のオープンセットの補集合として${\displaystyle U\subset M}$そのため $${\displaystyle T(\omega )=0}$$いつでも${\displaystyle \omega \in \Omega _{c}^{m}(U)}$

線形部分空間${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$上記の意味でのサポートを持つ電流から成り、コンパクトな部分集合である${\displaystyle M}$と表記される${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}(M).}$

次元mのコンパクトな整流可能な向き付け可能な部分多様体M (境界付き)上の積分は、 m電流を定義し、それは次のように表される。${\displaystyle [[M]]}$: $${\displaystyle [[M]](\omega )=\int _{M}\omega .}$$

境界∂Mが整流可能である場合、積分によって電流も定義され、ストークスの定理により次の式が成り立つ。 $${\displaystyle [[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega ).}$$

これは、外微分dとMのホモロジー上の境界演算子∂を関連付けます。

この式を考慮すると、任意の電流に対する 境界演算子を定義できる。$${\displaystyle \partial$$ :{\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}} 外微分との双対性により $${\displaystyle (\partial T)(\omega ):=T(d\omega )}$$コンパクトにサポートされたすべてのm形式 について${\displaystyle \omega .}$

特定のサブクラスの電流は、${\displaystyle \partial }$すべてのカレントの代わりにホモロジー理論を構築するために使用でき、特定の場合にはアイレンベルク・スティーンロッド公理を満たすことができる。古典的な例としては、リプシッツ近傍レトラクト上の積分カレントのサブクラスが挙げられる。

電流の空間は自然に弱*トポロジーを備えており、これは以降、単に弱収束と呼ばれる。${\displaystyle T_{k}}$電流の、電流に収束する${\displaystyle T}$もし $${\displaystyle T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .}$$

すべての電流の空間の部分空間には、いくつかのノルムを定義することが可能です。そのようなノルムの1つが質量ノルムです。${\displaystyle \omega }$がm形式である場合、そのコンマスを次の ように定義します。$${\displaystyle \|\omega \|:=\sup\{\left|\langle \omega ,\xi \rangle \right|:\xi {\mbox{ is a unit, simple, }}m{\mbox{-vector}}\}.}$$

だからもし${\displaystyle \omega }$が単純なm形式である場合、その質量ノルムは係数の通常の L ^∞ノルムになります。電流の質量${\displaystyle T}$は次のように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega ):\sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\}.}$$

電流の質量は、一般化された曲面の加重面積を表します。M ( T ) < ∞となる電流は、リース表現定理の一種によって、正則ボレル測度の積分によって表現できます。これがホモロジー積分の出発点です。  

中間ノルムは、次のように定義される ホイットニーのフラットノルムである。$${\displaystyle \mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A):A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.}$$

2つの電流は、質量ノルムにおいて、小さな部分から離れたところで一致する場合に近接していると言える。一方、平面ノルムにおいては、わずかな変形を除いて一致する場合に近接していると言える。

思い出してください $${\displaystyle \Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$$ したがって、以下はゼロ電流を定義する。 $${\displaystyle T(f)=f(0).}$$

特に、すべての署名付き正規措置${\displaystyle \mu }$0電流です。 $${\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).}$$

( x , y , z ) を座標とする${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$次に、2電流（多数存在するうちの1つ）を以下のように定義します。 $${\displaystyle T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz):=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}$$

• ジョルジュ・ド・ラム
• ハーバート・フェデラー
• 微分幾何学
• 多様

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