同値類

数学では、ある集合の要素が${\displaystyle S}$同値性の概念（同値関係として形式化される）があれば、自然と集合を分割することができる。${\displaystyle S}$同値類に分割します。これらの同値類は、要素が${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$が同値である場合に限り、それらは同じ同値類 に属する。

形式的には、集合が与えられたとき${\displaystyle S}$そして同値関係${\displaystyle \sim }$の上${\displaystyle S,}$要素の同値類${\displaystyle a}$で${\displaystyle S}$と表記される${\displaystyle [a]}$または同等に、${\displaystyle [a]_{\sim }}$その等価関係を強調するために${\displaystyle \sim }$は、 のすべての要素の集合として定義されます。${\displaystyle S}$と${\displaystyle a}$は${\displaystyle \sim }$-関連。同値関係の定義は、同値類が分割を形成することを意味する。${\displaystyle S,}$ つまり、集合のすべての要素がちょうど 1 つの同値類に属するということです。同値類の集合は、商集合または商空間と呼ばれることもあります。${\displaystyle S}$による${\displaystyle \sim ,}$そして、で表されます。${\displaystyle S/{\sim }.}$

セットが${\displaystyle S}$何らかの構造（群演算や位相など）と同値関係を持つ${\displaystyle \sim }$この構造と互換性がある場合、商集合は親集合から同様の構造を継承することが多い。例としては、線形代数における商空間、位相幾何学における商空間、商群、同次空間、商環、商モノイド、商圏などが挙げられる。

集合上の同値関係${\displaystyle X}$二項関係${\displaystyle \sim }$の上${\displaystyle X}$以下の３つの特性を満たす：^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle a\sim a}$すべての人々のために${\displaystyle a\in X}$（再帰性）
• ${\displaystyle a\sim b}$暗示する${\displaystyle b\sim a}$すべての人々のために${\displaystyle a,b\in X}$（対称性）
• もし${\displaystyle a\sim b}$そして${\displaystyle b\sim c}$それから${\displaystyle a\sim c}$すべての人々のために${\displaystyle a,b,c\in X}$（推移性）

要素の同値類${\displaystyle a}$^{[ 2 ]}と定義される

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

「同値類」という用語における「類」は、一般的に「集合」の同義語とみなされることが多いが、同値類の中には集合ではなく真の類であるものもある。例えば、「同型である」は群上の同値関係であり、同型類と呼ばれる同値類は集合ではない。

すべての同値類の集合${\displaystyle X}$同値関係に関して${\displaystyle R}$と表記される${\displaystyle X/R,}$そしてそれは${\displaystyle X}$モジュロ${\displaystyle R}$（または商集合${\displaystyle X}$による${\displaystyle R}$[ ^{3 ]}射影写像^​${\displaystyle x\mapsto [x]}$から${\displaystyle X}$に${\displaystyle X/R,}$各要素をその同値類にマッピングするものは、正準全射、または正準射影。

同値類の各要素はクラスを特徴づけ、クラスを表すために使用できます。そのような要素が選択されると、それはクラスの代表要素と呼ばれます。各クラスにおける代表要素の選択は、からへの単射を定義します。${\displaystyle X/R}$Xへ。正準全射との合成は、${\displaystyle X/R,}$圏論の用語を用いる場合、このような挿入は「セクション」と呼ばれる。

時には、他の部分よりも「自然」な部分が存在することがあります。この場合、代表元は正準代表元と呼ばれます。たとえば、モジュラー算術では、 1より大きい任意の整数mに対して、mを法とする合同は整数の同値関係であり、2つの整数aとbは、 mがaを割り切る場合に同値（この場合、合同である）となります。${\displaystyle ab;}$これは次のように表されます${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$各クラスには、以下の値より小さい一意の非負整数が含まれています。${\displaystyle m,}$そしてこれらの整数は正準代表値である。

クラスを表現するために代表者を使用することで、クラスを明示的に集合として考えることを避けることができます。この場合、要素をそのクラスにマッピングする標準的な全射は、要素をそのクラスの代表者にマッピングする関数に置き換えられます。上記の例では、この関数は次のように表されます。${\displaystyle a{\bmod {m}},}$そして、 aをmで割ったユークリッド分割の余りを生成します。

セットの場合${\displaystyle X}$同値関係を持つ${\displaystyle \sim }$すべての要素${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$同値類のメンバーである${\displaystyle [x]}$反射性によって（${\displaystyle a\sim a}$すべての人々のために${\displaystyle a\in X}$）。2つの同値類ごとに${\displaystyle [x]}$そして${\displaystyle [y]}$等しい場合${\displaystyle x\sim y}$、またはそれ以外の場合は互いに素である。したがって、すべての同値類の集合は${\displaystyle X}$パーティションを形成する${\displaystyle X}$: すべての要素${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$1つの同値類にのみ属する。^{[ 4 ]}

逆に、集合の場合${\displaystyle X}$このように、すべての分割は同値関係から生じ、異なる関係は異なる分割を与える。したがって${\displaystyle x\sim y}$かつその場合に限り${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$パーティションの同じセットに属する。^{[ 5 ]}

前の節の性質から、もし${\displaystyle \,\sim \,}$は集合上の同値関係である${\displaystyle X,}$そして${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は 2 つの要素です${\displaystyle X,}$以下の記述は同等である。

• ${\displaystyle x\sim y}$、
• ${\displaystyle [x]=[y]}$、 そして
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

• させて${\displaystyle X}$平面上のすべての長方形の集合とし、${\displaystyle \,\sim \,}$同値関係「同じ面積を持つ」ならば、各正の実数に対して${\displaystyle A,}$面積が等しいすべての長方形の同値類が存在する${\displaystyle A.}$^{[ 6 ]}
  • 例えば、辺の長さが2×4の長方形と1×8の長方形は、どちらも面積が8です。形は異なりますが、「面積が同じ」という関係においては同等であるため、同じ同値類に属します。
• 整数の集合上の法2 の同値関係を考えます。${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$そのため${\displaystyle x\sim y}$それらの差が${\displaystyle xy}$は偶数です。この関係はちょうど 2 つの同値類を生み出します。1 つの同値類はすべての偶数で構成され、もう 1 つの同値類はすべての奇数で構成されます。この関係の下で同値類を表すために、同値類の 1 つの要素を角括弧で囲みます。${\displaystyle [7],[9],}$そして${\displaystyle [1]}$すべて同じ要素を表しています${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$^{[ 2 ]}
  • このことを示すために、整数の集合における法3の合同関係を調べることができる。この同値関係の下では、

[0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}

[1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}

[2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}

各値${\displaystyle \mathbb {Z} }$要素0、1、2がそれぞれのクラスの標準代表であるようなクラスのうち、いずれか1つにのみ属する。

• させて${\displaystyle X}$整数の順序対の集合とする${\displaystyle (a,b)}$ゼロ以外の${\displaystyle b,}$そして同値関係を定義する${\displaystyle \,\sim \,}$の上${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$かつその場合に限り${\displaystyle ad=bc,}$すると、ペアの同値類は${\displaystyle (a,b)}$有理数と同一視できる${\displaystyle a/b,}$そしてこの同値関係とその同値類は、有理数の集合の形式的な定義を与えるために使用できます。^{[ 7 ]}同じ構成は、任意の整数領域の分数の体にも一般化できます。
  • 順序対${\displaystyle (1,2),(2,4)}$そして${\displaystyle (3,6)}$これらはその例として挙げられます。これらのペアはそれぞれと同じ同値類に属します。${\displaystyle (a,b)}$ペアリングは有理数1/2を表します。
• もし${\displaystyle X}$ユークリッド平面上のすべての直線から構成され、${\displaystyle L\sim M}$つまり${\displaystyle L}$そして${\displaystyle M}$平行線であるならば、互いに平行な線の集合は、線がそれ自身に平行であるとみなされる限り、同値類を形成する。この場合、各同値類は無限遠点を決定する。
  • デカルト座標系では、線${\displaystyle y=2x-3}$そして${\displaystyle y=2x+1}$それらは同じ傾きを持ち、平行であるため、同じ同値類に属する。
• 任意の集合に対して${\displaystyle X}$関係${\displaystyle x\sim y\iff x=y}$同値関係とは、すべての同値類が単一の要素からなる集合であるような関係のことである。
  • もし${\displaystyle X}$=${\displaystyle \{1,2,3\}}$すると、同値類は次のようになる。${\displaystyle [1],[2],}$そして${\displaystyle [3]}$等号関係においては、2つの異なる要素は同等とはみなされないためである。

無向グラフは、集合上の任意の対称関係に関連付けられる可能性がある。${\displaystyle X,}$ここで頂点は、${\displaystyle X,}$そして2つの頂点${\displaystyle s}$そして${\displaystyle t}$結合されるのは、${\displaystyle s\sim t.}$これらのグラフの中には、同値関係のグラフがあります。これらのグラフはクラスターグラフと呼ばれ、連結成分がクリークであるようなグラフとして特徴付けられます。^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle \,\sim \,}$は同値関係である${\displaystyle X,}$そして${\displaystyle P(x)}$は要素の特性です${\displaystyle X}$いつでも${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$の場合に真となる${\displaystyle P(y)}$が真であれば、その性質は${\displaystyle P}$は不変量であると言われている${\displaystyle \,\sim \,,}$または、関係の下で明確に定義されています${\displaystyle \,\sim .}$

よくある特定のケースは次のような場合です${\displaystyle f}$は関数です${\displaystyle X}$別のセットへ${\displaystyle Y}$; もし ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$いつでも${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$それから${\displaystyle f}$はクラス不変であると言われている${\displaystyle \,\sim \,,}$または単に不変${\displaystyle \,\sim .}$これは、例えば有限群の指標理論において見られる現象である。一部の著者は「互換性がある」という表現を用いている。${\displaystyle \,\sim \,}$「または単に「尊重する」」${\displaystyle \,\sim \,}$「不変」の代わりに${\displaystyle \,\sim \,}$「。

任意の機能${\displaystyle f:X\to Y}$クラス不変です${\displaystyle \,\sim \,,}$それによると${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$かつその場合に限り${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$同値類${\displaystyle x}$は、すべての要素の集合です。${\displaystyle X}$マッピングされるもの${\displaystyle f(x),}$つまり、クラス${\displaystyle [x]}$は、の逆像です。${\displaystyle f(x).}$この同値関係は、${\displaystyle f.}$

より一般的には、関数は同等の引数をマッピングすることができます（同値関係の下で）。${\displaystyle \sim _{X}}$の上${\displaystyle X}$）同等の値に（同値関係の下で）${\displaystyle \sim _{Y}}$の上${\displaystyle Y}$このような関数は、同値関係を備えた集合の射である。

位相幾何学において、商空間とは、位相空間上の同値関係の同値類の集合上に形成される位相空間であり、元の空間の位相を用いて同値類の集合上に位相を構築するものである。

抽象代数学では、代数の基礎となる集合上の合同関係によって、その関係の同値類上に代数を誘導することができ、これを商代数と呼びます。線形代数学では、商空間は商群をとることによって形成されるベクトル空間であり、商準同型は線形写像です。さらに、抽象代数学では、商空間という用語は、商加群、商環、商群、または任意の商代数にも使用できます。ただし、より一般的な場合におけるこの用語の使用は、群作用の軌道との類推による場合もよくあります。

集合に対する群作用の軌道は、特に群作用の軌道が群の部分群の右剰余類であり、それが群に対する部分群の左平行移動による作用から生じる場合、あるいはそれぞれ右平行移動による軌道としての左剰余類である場合、集合に対する作用の商空間と呼ばれることがある。

位相群の正規部分群は、並進作用によって群に作用する場合、位相、抽象代数、および群作用のいずれの意味においても商空間となる。

この用語は、任意の同値関係の同値類の集合に対して、場合によってはさらに構造化して使用できますが、この用語を使用する意図は一般的に、集合上のそのタイプの同値関係を比較することです。${\displaystyle X,}$同種の構造から同値類の集合に何らかの構造を誘導する同値関係へ${\displaystyle X,}$あるいは群作用の軌道。同値関係によって保存される構造の意味と、群作用の下での不変量の研究は、いずれも上述の同値関係の不変量の定義につながる。

• 同値分割とは、考えられる入力に対するプログラムの網羅率に基づいてソフトウェアテストセットを作成する手法である。
• 同次空間、リー群の商空間
• 部分等価関係– オブジェクトを比較するための数学的概念 
• 同値関係による商– 同値類のスキーム理論への一般化 
• セットイド– 同値関係を持つ集合の数学的構成 
• 横断的（組み合わせ論）– 集合族のすべての集合と交差する集合 

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