シュワルツ・ブルハット関数

数学において、ローラン・シュワルツとフランソワ・ブリュハットにちなんで名付けられたシュワルツ・ブリュハット関数は、アデールなどの局所コンパクトアーベル群上の複素数値関数であり、実ベクトル空間上のシュワルツ関数を一般化したものである。緩増加分布は、シュワルツ・ブリュハット関数の空間上の連続線形汎関数として定義される。

• 実ベクトル空間において$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$シュワルツ・ブルハット関数は、通常のシュワルツ関数（すべての導関数が急速に減少する）であり、空間を形成する。${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$。
• トーラス上では、シュワルツ・ブルハット関数は滑らかな関数である。
• 整数のコピーの和に対して、シュワルツ・ブルハット関数は急速に減少する関数である。
• 基本群（すなわち、実数、整数、円群、および有限群のコピーの積であるアーベル局所コンパクト群）上では、シュワルツ・ブルハット関数は、その導関数がすべて急速に減少する滑らかな関数である。^{[ 1 ]}
• 一般的な局所コンパクトアーベル群において${\displaystyle G}$、 させて${\displaystyle A}$コンパクト生成部分群であり、${\displaystyle B}$コンパクトなサブグループ${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle A/B}$これは初歩的なことです。次に、シュワルツ・ブルハット関数の引き戻しは${\displaystyle A/B}$は、上のシュワルツ・ブルハット関数である。${\displaystyle G}$、およびすべてのシュワルツ・ブルハット関数${\displaystyle G}$適切な${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$（シュワルツ・ブルハット関数の空間は${\displaystyle G}$（帰納的極限トポロジーを備えている。）
• 非アルキメデス的な局所体において${\displaystyle K}$シュワルツ・ブルハット関数は、コンパクトな台を持つ局所的に定数な関数である。
• 特に、アデルの環において$\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$グローバルな分野にわたって${\displaystyle K}$シュワルツ・ブルハット関数${\displaystyle f}$は積の有限線形結合である${\displaystyle \prod _{v}f_{v}}$各場所の上${\displaystyle v}$の${\displaystyle K}$それぞれ${\displaystyle f_{v}}$は局所体上のシュワルツ・ブルハット関数である。${\displaystyle K_{v}}$そして${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{{\mathcal {O}}_{v}}}$は整数環上の特性関数である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$有限個を除くすべて${\displaystyle v}$（アルキメデスの場所については${\displaystyle K}$、${\displaystyle f_{v}}$これらは通常のシュワルツ関数です$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$非アルキメデス的場所では${\displaystyle f_{v}}$（これらは非アルキメデス型局所体のシュワルツ・ブルハット関数である。）
• アデール上のシュワルツ・ブルハット関数の空間$\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$は制限されたテンソル積として定義される^{[ 2 ]}${\displaystyle \bigotimes _{v}'{\mathcal {S}}(K_{v}):=\varinjlim _{E}\left(\bigotimes _{v\in E}{\mathcal {S}}(K_{v})\right)}$シュワルツ・ブルハット空間の${\displaystyle {\mathcal {S}}(K_{v})}$地元の畑では、${\displaystyle E}$は場所の有限集合です${\displaystyle K}$この空間の要素は次の形式です。${\displaystyle f=\otimes _{v}f_{v}}$、 どこ${\displaystyle f_{v}\in {\mathcal {S}}(K_{v})}$すべての人々のために${\displaystyle v}$そして${\displaystyle f_{v}=1_{{\mathcal {O}}_{v}}}$有限個を除くすべて${\displaystyle v}$.各${\displaystyle x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$私たちは書くことができます${\displaystyle f(x)=\prod _{v}f_{v}(x_{v})}$これは有限であり、したがって明確に定義されている。^{[ 3 ]}

• すべてのシュワルツ＝ブルハット関数${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$次のように書くことができます${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$それぞれ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} _{p}}$、${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$、 そして${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$^{[ 4 ]}これは、以下を観察することでわかる。$\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ローカルフィールドであるということは、${\displaystyle f}$定義上、コンパクトなサポートを持ちます。つまり、${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$有限部分被覆を持つ。$\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$は、次の形式の開球の非交和として表現できる。${\displaystyle a+p^{k}\mathbb {Z} _{p}}$（一部の人にとって） ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} _{p}}$そして${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$） 我々は持っています

${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\coprod _{i=1}^{n}(a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p})}$. 機能${\displaystyle f}$局所的に一定でなければならないので、${\displaystyle f|_{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}=c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$一部の人にとって${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$（${\displaystyle f}$ゼロで評価すると、${\displaystyle f(0)\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$（常に用語として含まれる。）

• 合理的なアデールについて${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$シュワルツ・ブルハット空間におけるすべての関数${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$は有限線形結合である${\displaystyle \prod _{p\leq \infty }f_{p}=f_{\infty }\times \prod _{p<\infty }f_{p}}$すべての有理素数に対して${\displaystyle p}$、 どこ${\displaystyle f_{\infty }\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$、${\displaystyle f_{p}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$、 そして${\displaystyle f_{p}=\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$有限個を除くすべて${\displaystyle p}$セット${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$そして${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$それぞれ、 p進数の体とp進整数の環である。

局所コンパクトアーベル群上のシュワルツ・ブルハット関数のフーリエ変換は、ポントリャーギン双対群上のシュワルツ・ブルハット関数である。したがって、フーリエ変換は、そのような群上の緩増加分布を双対群上の緩増加分布に変換する。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$シュワルツ＝ブルハット空間${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$空間が密集している${\displaystyle L^{2}(\mathbb {A} _{K},dx).}$

させて${\displaystyle G}$を局所的にコンパクトなアーベル群とし、${\displaystyle {\widehat {G}}}$そのポントリャーギン双対を表す。 上の互換性のあるハール測度を選択した後${\displaystyle G}$そして${\displaystyle {\widehat {G}}}$積分可能な関数のフーリエ変換${\displaystyle f}$の上${\displaystyle G}$定義される $${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\,dx,\qquad \chi \in {\widehat {G}}.}$$ シュワルツ・ブルハット空間の基本的な特性の1つは、フーリエ変換が${\displaystyle S(G)}$同型的に${\displaystyle S({\widehat {G}})}$[ ^{5 ]​}

有限次元ベクトル空間の場合${\displaystyle V}$地元の畑の上${\displaystyle F}$フーリエ変換は通常、非自明な加法特性に関して記述される。${\displaystyle \psi }$の${\displaystyle F}$。 もし${\displaystyle V^{*}}$は双対ベクトル空間である。 $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{V}f(x)\psi (\langle x,\xi \rangle )\,dx,\qquad \xi \in V^{*}.}$$ 変換マップ${\displaystyle S(V)}$に${\displaystyle S(V^{*})}$アルキメデス的な場合、これはフーリエ変換がシュワルツ空間を保存するという通常の事実を再現する。アルキメデス的でない場合、これは局所的に定数でコンパクトな台を持つ関数のフーリエ変換が再び局所的に定数でコンパクトな台を持つことを意味する。

アデルの指輪${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$グローバル分野の${\displaystyle K}$フーリエ変換は、局所フーリエ変換の積から得られる。加法性および自己双対ハール測度の標準的な選択により、アデール的シュワルツ・ブルハット空間が保存される。${\displaystyle S(\mathbf {A} _{K})}$この適合性は、アデリック・ポアソン総和公式およびテイトの論文で使用されている。^{[ 6 ]}

シュワルツ・ブルハット空間は、関数のベクトル空間であるだけでなく、局所凸な位相ベクトル空間でもある。実数の場合、これはシュワルツ空間上の通常のフレシェ位相であり、シュワルツ半ノルムによって定義される。非アルキメデス的な局所体の場合、この空間は、固定されたコンパクト開集合上に台を持ち、固定されたコンパクト開部分群による平行移動に対して不変な有限次元関数空間の帰納的極限である。緩増加分布の定義における連続性条件は、この局所凸位相に関係する。

この局所凸位相を持つシュワルツ・ブルハット空間は核空間である。特に、一般的な例としては核フレシェ空間が挙げられる。${\displaystyle S(\mathbf {R} ^{n})}$、${\displaystyle C^{\infty }(\mathbf {T} ^{n})}$、そして急速に減少する関数の空間${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}}$; 非アルキメデス型局所体の場合、${\displaystyle S(K)}$これは有限次元空間の帰納的極限である。

シュワルツ・ブルハット空間の連続双対空間は、対応する緩増加分布の空間である。したがって、局所コンパクトアーベル群上の緩増加分布は、${\displaystyle G}$は連続線形関数である${\displaystyle S(G)}$フーリエ変換は同型写像であるため${\displaystyle S(G)}$に${\displaystyle S({\widehat {G}})}$双対性により、それは緩められた分布間の同型写像に拡張される。${\displaystyle G}$および緩やかな分布${\displaystyle {\widehat {G}}}$。

非アルキメデス局所体の場合、シュワルツ・ブルハット空間は局所的に定数でコンパクトな台を持つ関数の空間である。この場合、超関数の通常のテスト関数とシュワルツ・ブルハットのテスト関数は一致するため、超関数と緩増加超関数の区別は、通常の超関数の場合よりも不明瞭になる。${\displaystyle \mathbf {R} }$。

代数的整数論では、アデール上のシュワルツ・ブルハット関数を用いて、解析学におけるポアソン和公式のアデール版を与えることができる。すなわち、すべての に対して、${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$1つは${\displaystyle \sum _{x\in K}f(ax)={\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in K}{\hat {f}}(a^{-1}x)}$、 どこ${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{K}^{\times }}$ジョン・テイトは、リーマンゼータ関数の関数方程式のより一般的なバージョンを証明するために、博士論文でこの公式を開発しました。これは、数体のゼータ関数に積分表示を与えることを含み、テスト関数として選択されたシュワルツ・ブルハット関数の積分をある指標でねじり、積分します。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$この群の乗法ハール測度に関して。これにより、これらのゼータ積分を通してゼータ関数を研究するための解析的手法を適用することができる。^{[ 7 ]}

• Osborne, M. Scott (1975). 「局所コンパクトアーベル群に対するシュワルツ・ブルハット空間とペイリー・ウィーナーの定理について」 . Journal of Functional Analysis . 19 : 40–49 . doi : 10.1016/0022-1236(75)90005-1 .
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• テイト、ジョン・T. (1950)、「数体におけるフーリエ解析とヘッケのゼータ関数」、代数的整数論（1965年ブライトン教育会議議事録） 、トンプソン、ワシントンDC、 305–347頁、ISBN  978-0-9502734-2-6MR 0217026​ {{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）