数学的な偶然

数学的な偶然は、直接的な関係のない 2 つの式が、理論的には説明できないほぼ等しい結果を示すときに発生すると言われています。

たとえば、2 の累乗と 10 の累乗の間には、 端数1000 に近いほぼ等しい値があります。

${\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}.}$

工学においては、ある表現が別の表現の近似値として扱われる場合に、 いくつかの数学的な偶然の一致が使用されます。

数学的な偶然の一致には整数が関係することが多く、驚くべき特徴は、何らかの文脈で生じる実数が、何らかの基準によって、小さな整数または 10 の倍数または累乗、あるいはより一般的には、分母が小さい有理数に「近い」近似値であると見なされるという事実です。整数が複数の一見無関係な基準を同時に満たしたり、測定単位に関する偶然の一致など、他の種類の数学的な偶然の一致も考えられます。純粋に数学的な種類の偶然の一致の中には、非常に深い数学的事実から単純に生じるものもあれば、「突然」生じるように見えるものもあります。

有限個の記号を使用して数式を作成する方法は可算無限にあることを考えると、使用される記号の数と近似値の精度が数学的な偶然の一致を評価する最も明白な方法かもしれません。しかし、標準はなく、少数の強い法則は、正式な数学的な反対のガイダンスなしに頼らなければならない種類のものです。^{[要出典]これを超えて、}数学的な美学の感覚を呼び起こして数学的な偶然の価値を判断することもできますし、実際に真に数学的に重要な例外的なケースもあります（数年前に科学的なエイプリルフールのジョークとして印刷された以下のラマヌジャンの定数を参照^[1]）。しかし全体として、それらは一般に好奇心をそそる価値があるか、またはおそらく初等レベルで新しい数学の学習者を奨励するために考慮されるべきものです。

単純な有理近似値が、興味深い無理数値に非常に近い場合があります。これらは無理数値の連分数表現における大きな項によって説明できますが、なぜそのようなあり得ないほど大きな項が発生するのかについてのさらなる洞察は得られないことがよくあります。

異なる数の対数の比に対する有理近似値（連分数の収束値）も頻繁に使用され、それらの数の累乗を一致させます。^[2]

他の多くの偶然は、そのような有理近似が密接な関係を提供する形式に数値を組み込むことです。

• πの2番目の収束式、[3; 7] = 22/7 = 3.1428...はアルキメデス^[3]に知られており、約0.04%の精度で正確です。πの4番目の収束式、[3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.1415929...は祖崇志^[4]によって発見され、小数点以下6桁まで正確です。^[3]この高い精度は、 π の連分数表現で次の項が異常に大きいために生じます。π = [3; 7, 15, 1, 292, ...]。^[5]
• πと黄金比 φの一致は次のように表される。したがって、ケプラーの三角形の中ほどの辺にある正方形の周囲は、その外接円とほぼ同じである。これらの一致のいずれかがギザの大ピラミッドに見られると考える人もいるが、これが意図的なものであった可能性は非常に低い。^[6]${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3.1446\dots }$
• 円周率には、十進数表記の762桁目から始まる6つの9の列があり、これは一般にファインマン点として知られています。ランダムに選ばれた正規数の場合、特定の6桁の連続した数字（繰り返しだけでなく、あらゆるタイプ）がこれほど早く現れる確率は0.08%です。^[7]円周率は正規数であると推測されていますが、実際にそうであるかどうかはわかっていません。
• 最初のファイゲンバウム定数は とほぼ等しく、誤差は 0.0015% です。${\displaystyle {\tfrac {10}{\pi -1}}}$

• 一致率は2.4%で、有理近似値、つまり0.3%以内と一致する。この関係は工学分野で使用され、例えば電力の2倍を3dB  （実際は3.0103dB –半値点を参照）と近似したり、1キビバイトを1キロバイトに関連付けたりするのに用いられる。2進接頭辞を参照。^{[8] [9]}同じ数値の一致が、1オクターブの3分の1と10分の1がほぼ等しいことにも起因している。^[10]${\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3.3219\approx {\frac {10}{3}}}$${\displaystyle 2\approx 10^{3/10}}$
• 同じ一致は、（共通因数 を消去すると、2.4% に正確になる）と表現することもできます。これは、有理近似、または（これも 0.4% 以内）に対応します。これは、カメラのシャッター速度設定などの工学上の好ましい数値で、速度のシーケンス 125、250、500 などで 2 の累乗（128、256、512）への近似として呼び出されます^[2]。また、オリジナルのWho Wants to Be a Millionaire?ゲーム ショーでは、質問の値として...£16,000、£32,000、£64,000、£125,000、£250,000、...が使用されます。${\displaystyle 128=2^{7}\approx 5^{3}=125}$${\displaystyle 2^{3}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\log 5}{\log 2}}\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3}}}$${\displaystyle 2\approx 5^{3/7}}$

音楽では、音符間の距離（音程）は周波数の比率として測定され、有理数に近い比率は調和的に聞こえることが多いです。西洋の十二音平均律では、連続する音符の周波数の比率は です。 ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$

• からの一致は、平均律の7つの半音の音程と純正律の完全5度、 つまり約0.1%の精度で近い関係にあります。純正5度はピタゴラス音律の基礎であり、 12の純正5度と7オクターブの差はピタゴラスコンマです。^[2]${\displaystyle 2^{19}\approx 3^{12}}$${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}}$${\displaystyle 2^{7/12}\approx 3/2}$
• この偶然の一致により、中全音律が開発されました。中全音律では、完全五度 (比) と長三度( ) が「調律」され、四度は、つまり2 オクターブ上の長三度にほぼ等しくなります。これらの音程の積み重ねの差 ( ) がシントニック コンマです。^[要出典]${\displaystyle {(3/2)}^{4}=(81/16)\approx 5}$${\displaystyle 3/2}$${\displaystyle 5/4}$${\displaystyle 3/2}$${\displaystyle 5/1}$${\displaystyle 5/4}$${\displaystyle 81/80}$
• この偶然の一致は、ヨハン・キルンベルガーが指摘したように、12-TETの有理バージョンにつながる。^[要出典]${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1.33333319\ldots \approx {\frac {4}{3}}}$
• この偶然の一致により、四分音符平均律の合理的なバージョンが生まれました。^[要出典]${\displaystyle {\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4.00000559\ldots \approx 4}$
• 上記の 2 の累乗の一致により、3 つの長 3 度が 1 オクターブに連結するという近似が導かれます。音楽におけるこの近似および同様の近似は、 diesesと呼ばれます。${\displaystyle {(5/4)}^{3}\approx {2/1}}$

• ${\displaystyle \pi^{2}\approx 10;}$約1.32％に修正されます。^{[11]これは}ゼータ関数 の式の観点から理解できます。^{[12]この偶然は、}計算尺の設計に使用されました。計算尺では、「折り畳まれた」目盛りがではなく に折り畳まれています。これは、より便利な数字であり、ほぼ同じ場所で目盛りを折り畳む効果があるためです。^[要出典]${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6.}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle {\sqrt {10}},}$
• ${\displaystyle \pi ^{2}+\pi \approx 13;}$約0.086%に修正されます。
• ${\displaystyle \pi ^{2}\approx 227/23,}$4ppmに修正します。^[11]
• ${\displaystyle \pi ^{3}\approx 31,}$0.02%に修正される。^[13]
• ${\displaystyle 2\pi ^{3}-\pi ^{2}-\pi \approx 7^{2},}$約 0.002% に修正され、上記の偶然の組み合わせとして見ることができます。
• ${\displaystyle \pi ^{4}\approx 2143/22;}$または小数点以下8桁の精度（ラマヌジャンによる：Quarterly Journal of Mathematics、XLV、1914、pp. 350–372）。^[14]ラマヌジャンは、この「奇妙な近似値」は「経験的に得られた」ものであり、論文の残りの部分で展開された理論とは関係がないと 述べています。${\displaystyle \pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4},}$${\displaystyle \pi }$
• 高い精度で保たれる類似性のいくつかは、実際には偶然ではありません。たとえば、

  ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}.}$

この式の両辺は小数点第42位以降でのみ異なりますが、これは偶然ではありません。^{[15] [16]}

• ${\displaystyle \pi \approx 1+e-\gamma }$4桁まで。ここでγはオイラー・マスケローニ定数です。
• ${\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6}}$、小数点以下約7桁まで。^[14]同様に、。${\displaystyle 4\cdot \ln(\pi )+\ln(\pi +1)\approx 6}$
• ${\displaystyle (e-1)\pi \approx {\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}}$小数点以下約4桁まで。
• ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}-\ln \left({\frac {3\pi }{2}}\right)\right)42\pi \approx e}$、小数点以下約9桁まで。^[17]
• ${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20}$約4桁の小数点以下で表されます。(Conway、Sloane、Plouffe、1988) これは に相当します。かつては数学的な偶然の教科書的な例と考えられていましたが、^{[18] [19]}が20に近いという事実自体は偶然ではありませんが、近似値は予想されるよりも1桁近く近いです。この近似値の説明は2023年までわかりませんでした。これは、ヤコビアンシータ関数の恒等式から生じる無限和の結果です。和の最初の項は圧倒的に大きく、近似値またはを与えます。推定値を使用すると、 ^[20]が得られます。${\displaystyle (\pi +20)^{i}=-0.9999999992\ldots -i\cdot 0.000039\ldots \approx -1.}$${\displaystyle e^{\pi }-\pi }$${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{\left(-\pi k^{2}\right)}=1,}$${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$${\displaystyle \pi \approx 22/7}$${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +(7\cdot {\frac {22}{7}}-2)=\pi +20.}$
• ${\displaystyle \pi ^{e}+e^{\pi }\approx 45{\frac {3}{5}}}$4ppm以内。
• ${\displaystyle \pi ^{9}/e^{8}\approx 10}$、小数点以下約5桁まで。^[14]つまり、0.0002%以内です。${\displaystyle \ln(\pi )\approx {\ln(10)+8 \over 9}}$
• ${\displaystyle 2\pi +e\approx 9}$0.02%以内です。
• ${\textstyle e^{-{\frac {\pi }{9}}}+e^{-4{\frac {\pi }{9}}}+e^{-9{\frac {\pi }{9}}}+e^{-16{\frac {\pi }{9}}}+e^{-25{\frac {\pi }{9}}}+e^{-36{\frac {\pi }{9}}}+e^{-49{\frac {\pi }{9}}}+e^{-64{\frac {\pi }{9}}}=1.00000000000105\ldots \approx 1}$実際、これはヤコビアンシータ関数恒等式によって説明できる近似恒等式に一般化される。^{[21] [22] [23]}${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n-1}{e^{-{\frac {k^{2}\pi }{n}}}}\approx {\frac {-1+{\sqrt {n}}}{2}},}$
• ラマヌジャン定数：の範囲内で、1859年にシャルル・エルミートによって発見されました。^[24] この非常に近い近似値は、数学的な説明が知られていないか、存在すると期待されていない（ほとんどの場合に当てはまる）典型的な偶然の数学的一致ではありません。これは、163がヒーグナー数であるという事実の結果です。${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768744=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744}$${\displaystyle 2.9\cdot 10^{-28}\%}$
• いくつかの整数( OEIS : A019297 )があり、ある整数nに対して、または同等に同じ整数 に対して、これらは厳密には偶然ではありません。なぜなら、これらは上記のラマヌジャン定数とヒーグナー数の両方に関連しているからです。たとえば、これらの整数k はほぼ正方形またはほぼ立方体であり、 n = 18、22、37に対して一貫した形式であることに注意してください。${\displaystyle k=2198,422151,614552,2508952,6635624,199148648,\dots }$${\displaystyle \pi \approx {\frac {\ln(k)}{\sqrt {n}}}}$${\displaystyle k\approx e^{\pi {\sqrt {n}}}}$${\displaystyle n=6,17,18,22,25,37,\dots }$${\displaystyle k=199148648=14112^{2}+104,}$

${\displaystyle \pi \approx {\frac {\ln(784^{2}-104)}{\sqrt {18}}}}$

${\displaystyle \pi \approx {\frac {\ln(1584^{2}-104)}{\sqrt {22}}}}$

${\displaystyle \pi \approx {\frac {\ln(14112^{2}+104)}{\sqrt {37}}}}$

最後の精度は小数点以下 14 桁または 15 桁です。

• ${\displaystyle (e^{e})^{e}\approx 1000\varphi }$
• ${\displaystyle {\frac {10(e^{\pi }-\ln 3)}{\ln 2}}=318.000000033\ldots }$は、小数点第8位までほぼ整数である。 ^[25]

• 誕生日問題に関する議論では、面白いことに4桁の数字 が登場する。^[26]${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}}$${\displaystyle \ln(2)}$
• ${\displaystyle 5\cdot 10^{5}-1=31\cdot 127\cdot 127}$3つのメルセンヌ素数の積である。^[27]
• ${\displaystyle {\sqrt[{6}]{6!}}}$最初の 6 つの自然数の幾何平均は約 2.99 です。つまり、 です。${\displaystyle 6!=720\approx 729=3^{6}}$
• 第6高調波数はおよそ(2.449489...)で、5.2 × 10 ⁻⁴以内です。$${\displaystyle H_{6}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}={\frac {49}{20}}=2.45}$$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{109}}\approx {\frac {23}{9}}}$、以内。^[28]同様に、、2.2 × 10 ⁻⁵以内。${\displaystyle 2\times 10^{-7}}$${\displaystyle 2.5555555^{5}\approx 109}$

• ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435}$となり、3435は10進数（0と1を除く）における唯一の非自明なミュンヒハウゼン数となる。しかし、という規則を採用すると、438579088も別のミュンヒハウゼン数となる。^[29]${\displaystyle 0^{0}=0}$
• ${\displaystyle \,1!+4!+5!=145}$これらは10を底とする唯一の非自明な因数である（1と2を除く）。^[30]${\displaystyle \,4!+0!+5!+8!+5!=40585}$
• ${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!\!\not 6}{\not 64}}={\frac {1}{4}}}$、、、    および  。これら4つの異常なキャンセル^[31]の最終結果を掛け合わせると、    その積はちょうど1/100に減少します。${\displaystyle {\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!\!\not 6}{\not 65}}={\frac {2}{5}}}$${\displaystyle {\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!\!\not 9}{\not 95}}={\frac {1}{5}}}$${\displaystyle {\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!\!\not 9}{\not 98}}={\frac {4}{8}}}$
• ${\displaystyle \,(4+9+1+3)^{3}=4913}$、、および。^[32]（同様に、。）^[33]${\displaystyle \,(5+8+3+2)^{3}=5832}$${\displaystyle \,(1+9+6+8+3)^{3}=19683}$${\displaystyle \,(3+4)^{3}=343}$
• ${\displaystyle \,-1+2^{7}=127}$となり、127は最小のナイスフリードマン数となる。同様の例としては、がある。^[34]${\displaystyle 2^{5}\cdot 9^{2}=2592}$
• ${\displaystyle \,1^{3}+5^{3}+3^{3}=153}$、、、およびはすべて自己陶酔的な数である。^[35]${\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+0^{3}=370}$${\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+1^{3}=371}$${\displaystyle \,4^{3}+0^{3}+7^{3}=407}$
• ${\displaystyle \,588^{2}+2353^{2}=5882353}$, ^[36]素数。分数1/17も8桁に丸めると0.05882353となる。
• ${\displaystyle \,2^{1}+6^{2}+4^{3}+6^{4}+7^{5}+9^{6}+8^{7}=2646798}$このパターンの最大の数は です。^[37]${\displaystyle \,12157692622039623539=1^{1}+2^{2}+1^{3}+\ldots +9^{20}}$
• ${\displaystyle 13532385396179=13\times 53^{2}\times 3853\times 96179}$2017年に発見されたこの数字は、合成数の数字がその素因数分解と同じになる可能性があるかどうかというジョン・コンウェイの疑問に答えるものである。 ^[38]

光の速度は（定義により）正確に299 792 458  m/s、非常に近い3.0 × 10 ⁸  m/s（300 000 000  m/s）。これはまったくの偶然で、メートルはもともと1 /これは、地球の極と赤道の間の海面に沿った距離の10 000 000^{倍であり、地球の円周はちょうど光秒の約2/15です。 [39]これは、} 1ナノ秒あたり1フィートにもほぼ相当します（実際の数値は0.9836フィート/ナノ秒です）。

地球から見ると、太陽の角直径は31′27″ から 32′32″ の間で変化しますが、月の角直径は 29′20″ から 34′6″ の間です。間隔が重なっている (前者の間隔が後者の間隔に含まれている) のは偶然であり、地球から観測できる 日食の種類に影響を与えます。

地球の重力によって地表に生じる加速度の数値は一定ではなく緯度と高度によって変化するが、9.74～9.87 m/s ²の間で、10にかなり近い。つまり、ニュートンの運動の第二法則によれば、地表上の1キログラムの質量は、物体に働く10ニュートンの力にほぼ相当する。 ^[40]

これは、円周率の2乗が10に近いという前述の偶然と関係している。メートルの初期の定義の1つは、半振動の周期が1秒である振り子の長さであった。振り子の完全な振動の周期は以下の式で近似されるため、代数的にこの定義が維持されれば、メートル毎秒で測定された重力加速度はπ ²と正確に等しくなることが分かる。^[41]

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

地球表面の重力の上限（9.87 m/s ^{2 ）は、有効数字4桁のπ 2} m/s ²に等しくなります。これは、標準重力（9.80665 m/s ² ）よりも約0.6%大きくなります。

リュードベリ定数は、光速を乗じて周波数として表すと、次の式に近くなります。^[39]${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}\ {\text{Hz}}}$

${\displaystyle {\underline {3.2898}}41960364(17)\times 10^{15}\ {\text{Hz}}=R_{\infty }c}$^[42]

${\displaystyle {\underline {3.2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}}$

これは、およそ 1 メートルあたりのフィートの数でもあります。

${\displaystyle 3.28084}$フィート メートル${\displaystyle \approx 1}$

ランドール・マンローが発見したように、1立方マイルは1立方キロメートルに近い（0.5%以内）。つまり、半径nキロメートルの球体は、辺の長さがnマイルの立方体とほぼ同じ体積を持つ。^{[43] [44]}${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }$

1 マイルと 1 キロメートルの比率は、ほぼ黄金比です。その結果、マイルのフィボナッチ数は、ほぼ次のフィボナッチ数キロメートルになります。

1 マイルと 1 キロメートルの比率も に非常に近い(0.006% 以内)。つまり、mはマイル数、kはキロメートル数、eはオイラー数です。 ${\displaystyle \ln(5)}$${\displaystyle 5^{m}\approx e^{k}}$

1 立方フィートあたり 1 オンスの密度は、1 立方メートルあたり 1 キログラムに非常に近い値です。1 oz/ft ³ = 1 oz × 0.028349523125 kg/oz / (1 ft × 0.3048 m/ft) ³ ≈ 1.0012 kg/m ³。

1トロイオンスと1グラムの比率はおよそ です。 ${\displaystyle 10\pi -{\frac {\pi }{10}}={\frac {99}{10}}\pi }$

微細構造定数 は に近く、かつては正確に等しいと推測されていた。${\displaystyle \alpha }$1/137⁠ . ^[45] CODATA の推奨値は

${\displaystyle \alpha }$= ⁠1/137.035 999 177 (21)⁠

${\displaystyle \alpha }$は無次元の物理定数なので、この一致は使用されている単位系によるものではありません。

グレゴリオ暦に基づく 1 年の秒数は、次のように計算できます。${\displaystyle 365.2425\left({\frac {\text{days}}{\text{year}}}\right)\times 24\left({\frac {\text{hours}}{\text{day}}}\right)\times 60\left({\frac {\text{minutes}}{\text{hour}}}\right)\times 60\left({\frac {\text{seconds}}{\text{minute}}}\right)=31,556,952\left({\frac {\text{seconds}}{\text{year}}}\right)}$

この値は、1 パーセント未満の誤差で 31,415,926.54と近似できます。${\displaystyle \pi \times 10^{7}}$${\displaystyle \left[1-\left({\frac {31,415,926.54}{31,556,952}}\right)\right]\times 100=0.4489\%}$

• ほぼ整数
• 人類原理
• 誕生日の問題
• 例外的な同型性
• ナルシスティックな数字
• 2年生の夢
• 少数の強い法則
• 実験数学
• 小出式

• （ロシア語で） В 。 Левøин。 – Магистр рассеянных наук. – Москва、Детская Литература 1970、256 с。
• デイビス、フィリップ J. - 数学に偶然の一致はあるか - アメリカ数学月刊誌、第 84 巻第 5 号、1981 年。
• ハーディ、GH –数学者の弁明。 – ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、1993年、（ISBN 0-521-42706-1） 
• ワイスタイン、エリック・W.「ほぼ整数」。マスワールド。
• futilitycloset.com の「科学と数学」セクションにおけるさまざまな数学的偶然
• プレス、WH、「一見驚くべき数学的偶然は簡単に生み出される」