収束問題

連分数の解析理論において、収束問題とは、無限連分数の収束を保証するのに 十分な、部分分子a _iと部分分母b _iの条件を決定することである。

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots }}}}}}}}.\,}$

この収束問題は、無限級数の対応する問題よりも本質的に困難です。

無限連分数の要素がすべて正の実数で構成されている場合、行列式の公式を適用して連分数が収束する時期を簡単に示すことができます。この単純なケースでは分母B _{n は}ゼロにはならないため、問題は、連続する分母B _n B _{n +1の積が部分分子}a ₁ a ₂ a ₃ ... a _{n +1}の積よりも速く増加することを示すことに要約されます。連分数の要素が複素数である場合、収束問題ははるかに困難になります。

無限周期連分数は、次の形式の連分数である。

${\displaystyle x={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad b_{k-1}+{\cfrac {a_{k}}{b_{k}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\ddots }}}}}}}}}}}}\,}$

ここで、k ≥ 1 の場合、部分分子のシーケンス { a ₁、a ₂、a ₃、...、ak } にはゼロに等しい値が含まれず、部分分子 { a ₁、a ₂、a ₃、...、ak } と部分分母 { b ₁、b ₂、b ₃、...、b _{k }は}無限に何度も繰り返され_ます。

線形分数変換の理論を応用することで

${\displaystyle s(w)={\frac {A_{k-1}w+A_{k}}{B_{k-1}w+B_{k}}}\,}$

ここで、A _{k -1}、B _{k -1}、A _k、およびB _kは、無限周期連分数xのk -1 番目とk番目の収束の分子と分母であり、 xが収束する場合には、 s ( w )の固定点の 1 つに収束することが示されます。具体的には、r ₁とr _{2 を}二次方程式の根と します。

${\displaystyle B_{k-1}w^{2}+(B_{k}-A_{k-1})w-A_{k}=0.\,}$

これらの根はs ( w )の不動点である。r ₁とr ₂が有限であれば、無限周期連分数xが収束するのは、

1. 2つの根が等しい、または
2. k -1 番目の収束点はr ₂よりもr ₁に近く、最初のk番目の収束点はいずれもr _{2 に}等しくありません。

分母B _{k -1}がゼロに等しい場合、分母B _{nk -1}の無限個も消滅し、連分数は有限値に収束しません。また、2 つの根r ₁とr _{2 が}k -1 番目の収束点から等距離にある場合、またはr _1がr ₂よりもk -1 番目の収束点に近いが、最初のk個の収束点の 1 つがr _{2 に}等しい場合、連分数x は振動により発散します。^{[1] [2] [3]}

連分数の周期が1の場合、つまり

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a}{b}},\,}$

b ≠ 0の場合、非常に強い結果が得られます。まず、同値変換を適用することで、x が収束するのは、

${\displaystyle y=1+{\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {z}{1}}\qquad \left(z={\frac {a}{b^{2}}}\right)\,}$

収束する。そして、上で得られたより一般的な結果を適用すると、

${\displaystyle y=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}\,}$

は、 zが負の実数でz < − ⁠ の場合を除き、すべての複素数zに対して収束します。1/4さらに、この連分数yは、

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {4z+1}}\right)\,}$

絶対値が大きい方（zが実数でz < − ⁠1/4⁠、この場合、y を生成するLFTの 2 つの固定点は等しい係数を持ち、y は振動によって発散します。

別の同値変換を適用することで、収束を保証する条件は

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}={\cfrac {1}{z+{\cfrac { 1}{z+{\cfrac {1}{z+\ddots }}}}}}\,}$

も決定できる。簡単な同値変換により、

${\displaystyle x={\cfrac {z^{-1}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+\ddots } }}}}}\,}$

z ≠ 0のときはいつでも、連分数yの前述の結果はxに対して言い換えることができる。無限周期連分数

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}}$

z ^{2が -4 <} z ² ≤ 0の区間にある実数でない場合にのみx は収束します。つまり、z ≠ 0かつzが虚部が -2 から 2 の間の純虚数でない場合にのみ x は収束します。(両端は含みません)

基本的な不等式を連分数に適用すると

${\displaystyle x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{1+{\cfrac {a_{4}}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

| a _i | ≤ ⁠の場合には、次の文が成り立つことが示される。1/4⁠部分分子a _iの場合、i = 2, 3, 4, ...

• 連分数xは有限値に収束し、部分分子a _iが複素変数であれば一様収束する。^[4]
• xの値とその収束点x _iの値は、点z = 4/3を中心とする半径2/3の円領域にあります。つまり、

${\displaystyle \Omega =\lbrace z:|z-4/3|\leq 2/3\rbrace .\,}$^[5]

• 半径⁠1/4⁠ はx が例外なく収束することが示される最大半径であり、領域 Ω は連分数xのすべての可能な値を含む最小の像空間である。^[5]

ヴォルピツキーの定理の証明では、オイラーの連分数公式を用いて連分数xと等価な無限級数を構築し、そのように構築された級数は絶対収束するため、ワイエルシュトラスのMテストはxの修正版に適用できる。

${\displaystyle f(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {c_{2}z}{1+{\cfrac {c_{3}z}{1+{\cfrac {c_{4 }z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

かつ正の実数Mが存在し、| c _i | ≤ M ( i = 2, 3, 4, ...) を満たすとき、収束列{ f _i ( z )}は次の場合に一様収束する。

${\displaystyle |z|<{\frac {1}{4M}}\,}$

そしてf ( z ) はその開円上で解析的である。

19世紀後半、シュレジンスキと後にプリングシャイムは、 aとbが複素数である連分数が、次の式が成り立つ場合に有限値に収束することを示した^。[6]${\displaystyle |b_{n}|\geq |a_{n}|+1}$${\displaystyle n\geq 1.}$

ジョーンズとスロンは、次の結果をヴァン・ヴレックに帰しています。すべてのa _iが 1 に等しく、すべてのb _{i が}次の引数を持つと仮定します。

${\displaystyle -\pi /2+\epsilon <\arg(b_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1,}$

ここで、イプシロンは 未満の任意の正の整数です。言い換えると、すべてのb _{i は}、頂点が原点にあり、開角が で、正の実軸の周りに対称なくさびの内側にあります。すると、連分数の i 番目に収束するf _iは有限であり、引数は次のようになります。 ${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \pi -2\epsilon }$

${\displaystyle -\pi /2+\epsilon <\arg(f_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1.}$

また、偶数収束の列は奇数収束の列と同様に収束する。連分数自体は、すべての| b _i |の合計が発散する場合にのみ収束する。^[7]

• ジョーンズ、ウィリアム B.、スロン、WJ (1980)、連分数: 解析理論と応用。数学とその応用の百科事典。第 11 巻、読書。マサチューセッツ州: Addison-Wesley Publishing Company、ISBN 0-201-13510-8
• Oskar Perron、Die Lehre von den Kettenbrüchen、Chelsea Publishing Company、ニューヨーク、ニューヨーク州、1950 年。
• HS ウォール、連分数の解析理論、D. ヴァン ノストランド カンパニー、1948 年ISBN 0-8284-0207-8