立方体を倍にする

立方体の2倍の問題は、デリアン問題としても知られ、古代の[a] [1] : 9の幾何学の問題です。立方体の辺が与え^{られている} 場合、問題では、最初の立方体の2倍の体積を持つ2番目の立方体の辺を構築する必要があります。円を2乗する問題や角度を3等分する問題と同様に、立方体の2倍の問題はコンパスと定規のみを使用して構築することは不可能であることが現在では知られていますが、古代でも他の方法を使用する解決方法が知られていました。

エウトキオスによれば、アルキタスは立方体を倍にする問題（いわゆるデリアン問題）を独創的な幾何学的構成で初めて解いた人物である。^{[2] [3] [4]}コンパスと定規による解法が存在しないことは、 1837年にピエール・ヴァンツェルによって最終的に証明された。

代数的に言えば、単位立方体を2 倍にするには、長さxの線分( x ³ = 2 )を作成する必要があります。つまり、x =、つまり2 の 3 乗根です。これは、辺の長さが 1 の立方体の体積が1 ³ = 1であり、その 2 倍の体積 ( の体積) の立方体の辺の長さが2 の 3乗根であるためです。したがって、立方体を 2 倍にすることができないということは、 は作成可能な数ではないというステートメントと同等です。これは、コンパスと定規によって作成された新しい点の座標が、以前の点の座標によって生成された体上の多項式の根であり、その次数が 2次式以下であるという事実の結果です。これは、作成可能な点によって生成された体の拡張の次数が 2 の累乗でなければならないことを意味します。ただし、 によって生成された体の拡張の次数は 3 です。${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

まず、平面上の点(0,0) と点 (1,0)で定義される単位線分から始めます。 距離 だけ離れた 2 点によって定義される線分を作成する必要があります。 コンパスと定規を使用した作図により、このような線分を自由に移動させて原点に接触させ、単位線分と平行にすることができることは簡単に示せます。したがって、(0,0) から ( , 0) までの線分を作成するというタスクは、点 ( , 0) を作成するというタスクと同等であると考えられます。 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

コンパスと定規のツールを使用すると、それぞれ、以前に定義された 1 つの点を中心として別の点を通過する円 を作成したり、以前に定義された 2 つの点を通過する線を作成したりできます。新しく定義された点は、 2 つの円の交差の結果として、円と線の交差として、または 2 本の線の交差として発生します。初等解析幾何学の演習では、3 つのケースすべてにおいて、新しく定義された点のx座標とy座標の両方が、以前に定義された点 (および有理数) の座標を含む加算、減算、乗算、および除算を係数とする、2次以下の多項式を満たすことが示されています。より抽象的な用語で言い換えると、新しいx座標とy座標には、以前の座標によって生成されたの部分体上の最大 2 次までの最小多項式があります。したがって、各新しい座標に対応するフィールド拡張の次数は2 または 1 です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

したがって、任意の構築された点の座標が与えられれば、点のx座標とy座標を定義された順序で逆方向に辿っていき、元の点のペア (0,0) と (1,0) に到達できます。すべての体拡張の次数は 2 または 1 であり、元の点のペアの座標の 上の体拡張の次数は明らかに 1 であるため、タワールールから、構築された点の任意の座標の上の体拡張の次数は2 の累乗であることがわかります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ここで、p ( x ) = x ³ − 2 = 0は上で既約であることが簡単にわかります。因数分解には、何らかのk ∈に対して線型因数( x − k )が含まれるため、k はp ( x )の根でなければなりません。しかし、k は2 を割り切る必要もあります (有理根定理より)。つまり、k = 1、2、−1、または−2であり、これらはいずれもp ( x )の根ではありません。ガウスの補題より、p ( x )は 上でも既約であり、したがってに対して上の極小多項式です。したがって、体拡大は3 次です。しかし、これは 2 の累乗ではないため、上記より次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$は作図可能な点の座標ではないので、
• の線分は定規とコンパスでは作図できず、${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$
• 定規とコンパスだけを使って立方体を2倍にすることはできません。

この問題は、アポロンが送った疫病を倒す方法を知るためにデルポイの神託を求めたデロス島の住民に関する物語にちなんで名付けられている。^{[5] [1] : 9}しかし、プルタルコスによると、^[6]デロス島の住民は、市民間の関係を激化させていた当時の内部政治問題の解決策を見つけるためにデルポイの神託を求めた。神託は、正立方体であるアポロンへの祭壇の大きさを2倍にしなければならないと答えた。この答えはデロス島の住民には奇妙に思われ、彼らはプラトンに相談した。プラトンは、神託を与えられた立方体の体積を2倍にする数学の問題として解釈し、神託を、デロス島の住民が情熱を静めるために幾何学と数学の研究に専念するようにというアポロンからの助言であると説明した。^[7]

プルタルコスによると、プラトンはエウドクソスとアルキタスとメナエクモスに問題を与え、彼らは機械的な手段で問題を解き、純粋な幾何学で問題を解かなかったとしてプラトンから叱責されたという。^{[8]これが、紀元前350年代に疑似プラトン的な}『シーシュポス』 （388e）の著者が、この問題が未解決であると述べている理由かもしれない。^{[9]しかし、この物語の別のバージョン（}アスカロンのエウトキオスがエラトステネスに帰属）では、3人とも解決策を見つけたが、それらは実用的な価値を持つには抽象的すぎたとされている。^[10]

この問題の解決法を見つける上で重要な進歩は、キオスのヒポクラテスが、線分とその2倍の長さの線分の間の幾何平均比例関係を見つけることと同等であることを発見したことでした。 ^{[11]現代の表記法では、これは、長さ}aと2aの線分が与えられた場合、立方体の複製は、長さrとsの線分を見つけることと同等であり、

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

つまり、

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

しかし、ピエール・ワンツェルは1837年に2の3乗根は作図不可能であることを証明した。つまり、定規とコンパスでは作図できないということである。^[12]

メナエクモスの元々の解法は、2つの円錐曲線の交点を利用するものであった。立方体を倍にするその他のより複雑な方法としては、ネウシス、ディオクレスのシソイド、ニコメデスのコンコイド、フィロンの直線などがある。古代ギリシャの女性数学者と思われるパンドロシオンは、3次元の平面を使用して数値的に正確な近似解を発見したが、アレクサンドリアのパップスから適切な数学的証明を提供していないとして厳しく批判された。^[13] アルキタスは紀元前4世紀に、3次元の幾何学的作図を使用して、ある点を3つの回転面の交点として決定し、この問題を解決した。

デカルトの方程式の幾何学的解法の理論では、放物線を使用して 3 次方程式を導入します。この方法では、解が 2 の 3 乗根である方程式を設定できます。放物線自体は、3 次元の方法以外では作成できないことに注意してください。

コンパスと定規を使って立方体を 2 倍にできるという誤った主張は、数学のクレイジーな文献 (疑似数学) に溢れています。

折り紙は、紙を折って 2 の立方根を作るのにも使えます。

ある長さの2倍の立方根の長さを表す目盛り付きの定規を使った、簡単なニューシス作図法がある。 ^[14]

1. 指定された長さの定規に印を付けます。これが最終的に GH になります。
2. 指定された長さを辺とする正三角形 ABC を作成します。
3. AB を D まで再度同じ量延長します。
4. BC線を延長してCE線を形成します。
5. 線DCを延長して線CFを形成します。
6. マークされた定規を A を通るように置き、マークされた長さの一方の端 G が光線 CF 上にかかり、マークされた長さのもう一方の端 H が光線 CE 上にかかります。したがって、GH が指定された長さです。

すると、AG は指定された長さの倍になります。 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

音楽理論では、倍音の自然な類似物はオクターブ（音の周波数を倍にすることで生じる音程）であり、立方体の自然な類似物はオクターブをそれぞれ同じ音程の3つの部分に分割することです。この意味で、立方体の倍音の問題は平均律の長3度で解決されます。これはオクターブのちょうど3分の1の音程です。これは音の周波数にデリアン立方体の辺の長さ を掛け合わせたものです。^[15]${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$

ウィキメディア・コモンズには、立方体の倍数に関連するメディアがあります。

• フレデリック・ベアトリクス、ピーター・カッツリンガー：デリアン問題に対するかなり正確な解。ニューサウスウェールズ大学数学統計学部発行のオンラインマガジン「パラボラ」第59巻（2023年）第1号（ISSN 1446-9723）
• 立方体を倍にして、アニメーションとして近接構築する（辺 = 1.259921049894873）—ウィキメディア コモンズ
• 「立方体の複製」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 立方体の倍数。MacTutor 数学史アーカイブの JJ O'Connor と EF Robertson。
• 立方体を2倍にする - アルキタスの解決法。トーマス・ヒース卿著『ギリシャ数学の歴史』からの抜粋。
• デリアン問題は解決しました。それとも本当に解決したのでしょうか? cut-the-knotにて。
• Mathologer ビデオ: 「2000 年間未解決: 立方体を 2 倍にしたり円を 2 乗したりすることがなぜ不可能なのか?」