3項再帰関係

数学、特に数値解析において、同次線形3項再帰関係（TTRR 、修飾語「同次線形」は通常当然とされる）^[1]は、次の形式の 再帰関係である。

${\displaystyle y_{n+1}=a_{n}y_{n}+b_{n}y_{n-1}}$のために${\displaystyle n=1,2,...,}$

ここで、シーケンスおよび は、初期値とともに、シーケンス の進化を制御します。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$${\displaystyle y_{0},y_{1}}$${\displaystyle \{y_{n}\}}$

および が定数で、ステップ インデックスnに依存しない場合、TTRR は2 次定数係数の線形回帰です。この場合の最も単純で有名な例は、定数係数を持つフィボナッチ数列です。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle \{b_{n}\}}$${\displaystyle a_{n}=b_{n}=1}$

直交多項式 P _{n は}すべて次数nに関してTTRRを持ち、

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)}$

ここで、A _nは 0 ではありません。逆に、ファヴァールの定理は、TTRR を満たす多項式のシーケンスは直交多項式のシーケンスであると述べています。

また、他の多くの特殊関数にもTTRRがあります。たとえば、

${\displaystyle J_{n+1}={\frac {2n}{z}}J_{n}-J_{n-1}}$

はベッセル関数 によって与えられます。TTRR は特殊関数の数値計算に重要なツールです。 ${\displaystyle J_{n}=J_{n}(z)}$

TTRR は連続分数と密接に関連しています。

TTRRの解は、線型常微分方程式の解と同様に、2次元ベクトル空間を形成します。つまり、任意の解は、任意の2つの線型独立解の線型結合として表すことができます。一意の解は、初期値によって指定されます。^[2]${\displaystyle y_{0},y_{1}}$

• ミラーの再帰アルゴリズム

• Walter Gautschi . 3項再帰関係の計算的側面。SIAM Review、9:24–80 (1967)。
• Walter Gautschi. 3項再帰関係と直交多項式の極小解. 計算数学, 36:547–554 (1981).
• アンパロ・ヒル、ハビエル・セグラ、ニコ・M・テメ。特殊関数の数値的手法。サイアム (2007)
• J. ウィンプ著『再帰関係による計算』ロンドン: ピットマン (1984)