張り詰めた葉状構造

数学において、緊張度は葉理構造の剛性特性である。緊張した葉理構造は、すべての葉が横断円と交わる特性を持つ、閉多様体の余次元1の葉理構造である。 ^{[1] : 155}横断円とは、葉理構造の葉に対して常に横断する閉じたループを意味する。

葉状多様体が空でない接線境界を持つ場合、すべての葉が接線境界上に端点を持つ横断円または横断弧と交わるとき、余次元 1 の葉状構造は緊張している。同様に、デニス サリバンの結果により、各葉を極小曲面にするリーマン計量が存在するとき、余次元 1 の葉状構造は緊張している。さらに、コンパクト多様体の場合、すべての葉 に対してと交わる横断円が存在することは、すべての葉 と交わる単一の横断円が存在することを意味する。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

張りつめた葉脈は、ウィリアム・サーストンとデイヴィッド・ガバイの研究によって注目されるようになりました。

緊張した葉状構造は、リーブレスの葉状構造の概念と密接に関連しています。緊張した葉状構造は、リーブ成分を持つことはできません。なぜなら、この成分は、横断曲線が決して逃れることができない「行き止まり」のように動作するからです。したがって、リーブ成分の境界トーラスには、それを貫通する横断円がありません。リーブレスの葉状構造は緊張していない可能性がありますが、貫通する横断円を持たない葉状構造の葉だけがコンパクトで、特にトーラスに同相である必要があります。

緊張した葉脈の存在は、閉じた 3 次元多様体に関するさまざまな有用な特性を意味します。たとえば、球面葉を持たない緊張した葉脈を許容する閉じた有向 3 次元多様体は、既約 で、で覆われ、負に曲がった基本群を持つ必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ハンスクラウス・ルムラーとデニス・サリバンの定理によれば、閉じた有向性滑らかな多様体Mの横方向に有向性のある余次元1の葉理構造に対して、以下の条件は同値である: ^{[2] [1] : 158}${\displaystyle \left(M,{\mathcal {F}}\right)}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$緊張している;
• M 上で何らかの体積形状を保存する横方向の流れが存在する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• M には、その葉が最小面積面となるようなリーマン計量が存在する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$