トーラス上の線形フロー

数学、特に力学系理論として知られる数学的解析の分野において、トーラス上の線形フローは 、標準角座標に関する次の微分方程式によって表されるn次元トーラス上の流れである。 $${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$$${\displaystyle \left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right):}$ $${\displaystyle {\frac {d\theta _{1}}{dt}}=\omega _{1},\quad {\frac {d\theta _{2}}{dt}}=\omega _{2},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\theta _{n}}{dt}}=\omega _{n}.}$$

これらの方程式の解は次のように明示的に表現できる。 $${\displaystyle \Phi _{\omega }^{t}(\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})=(\theta _{1}+\omega _{1}t,\theta _{2}+\omega _{2}t,\dots ,\theta _{n}+\omega _{n}t){\bmod {2}}\pi .}$$

トーラスを のように表すと、開始点が流れによって一定速度で方向に移動し、単位立方体の境界に到達すると、立方体の反対側の面にジャンプすることがわかります。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \omega =\left(\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\right)}$${\displaystyle n}$

トーラス上の線形フローの場合、すべての軌道が周期的であるか、すべての軌道が-トーラスのサブセットである-トーラス上で稠密であるかのどちらかです。の成分が有理的に独立している場合、すべての軌道は空間全体で稠密です。 これは 2 次元の場合に簡単に確認できます。 の 2 つの成分が有理的に独立している場合、単位正方形のエッジ上のフローのポアンカレ断面は円上の無理回転であり、したがってその軌道は円上で稠密であり、結果としてフローの軌道はトーラス上で稠密である必要があります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

位相幾何学において、トーラスの無理数巻きは、 2次元トーラスに直線を連続的に注入したもので、いくつかの反例を設定するために使用されます。^[1]関連する概念は、トーラスのクロネッカーの葉脈構造で、与えられた無理数巻きのすべての平行移動の集合によって形成される葉脈構造です。

トーラスを構築する方法の 1 つは、2 次元の実ベクトル空間を整数ベクトルの加法部分群で割った商空間として、対応する 射影 を持つ方法です。トーラス内の各点は、の正方格子の移動の 1 つを逆像として持ち、は、平面内の任意の点を、元の点の直交座標の小数部で与えられる単位正方形内の点に写像する因数分解します。ここで、式 で与えられるの直線を考えます。直線の傾きが有理数の場合、分数と の対応する格子点 で表すことができます。すると、この直線の射影はトーラス上の単純な閉曲線であることが示されます。しかし、が無理数の場合、 0 以外の格子点とは交わらないため、トーラスへの射影は閉曲線にならず、この直線上のの制限は単射 になります。さらに、トーラスの無理数巻きと呼ばれる部分空間としてのこの制限された射影の像は、トーラス内で 稠密であることが示されます。${\displaystyle \mathbb {T^{2}} =\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {T^{2}} .}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle [0,1)^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=kx.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \pi }$

トーラスの無理数巻きは、単射に関連する反例を設定するために使用できます。無理数巻きは、トーラスの浸漬部分多様体ですが、正則部分多様体ではありません。これは、別の多様体への連続注入による多様体の像が必ずしも（正則）部分多様体ではないことを示しています。^{[2]無理数巻きは、部分多様体の位相が部分多様体の}部分空間位相と一致する必要がないという事実の例でもあります。^[2]

第二に、トーラスはリー群 とみなすことができ、直線は とみなすことができます。すると、連続群準同型の像は無理数の正則部分多様体ではないことが簡単に示せます^{[2] [3]。}ただし、これははめ込み部分多様体であり、したがってリー部分群です。また、リー群の部分群が閉じていない場合、商は多様体である必要はなく^{[4] 、}ハウスドルフ空間にならない可能性さえあることも示せます。 ${\displaystyle U(1)\times U(1)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left(e^{ix},e^{ikx}\right)}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/H}$

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^  a:トーラスの位相的部分 空間としてに局所的に同相ではないため、多様体ではありません。${\displaystyle \mathbb {R} }$

• カトック、アナトール、ハッセルブラット、ボリス（1996）。『現代動的システム理論入門』ケンブリッジ。ISBN 0-521-57557-5。