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数学において、双四元数代数は、体上の 四元数代数の複合体です。
ウィリアム・ローワン・ハミルトン(1844)の双四元数と関連する分割双四元数および双四元数は、この意味では双四元数代数を形成しません。
意味
Fを特性が2でない体とする。F上の双四元数代数は2つの四元数代数のテンソル積である。[1] [2]
双四元数代数は、基底体上の16次元4次の中心単純代数である。その指数（ Fのブラウアー群におけるブラウアー類の位数）[3]は1または2である。
アルバートの定理
A = ( a 1 , a 2 ) およびB = ( b 1 , b 2 ) をF上の四元数代数とする。
A、Bのアルバート形式は
これは、 AとBの虚数部分空間に付随する三元形式のウィット環の差とみなすことができます。[4] 四元数代数は、アルバート形式が等方性である場合にのみリンクされ、そうでない場合はリンクされません。[5]
アルバートの定理によれば、次のものは同値である。
連結代数の場合、テンソル積の他の可能な構造をアルバート形式によってさらに分類することができます。形式が双曲型の場合、双四元数代数はF上の 4×4 行列の代数 M 4 ( F ) に同型です。そうでない場合は、積M 2 ( F ) ⊗ Dに同型です。ここで、DはF上の四元数除算代数です。[2]双四元数代数のシュアー指数は 、アルバート形式のウィット指数が 0、1、3 であるのに応じて 4、2、1 になります。 [8] [9]
特徴づけ
アルバートの定理によれば、次数4、指数2の中心単純代数はいずれも双四元数代数である。[8] [10]
引用
- ^ ラム2005年、60頁。
- ^ Szymiczek 1997、452ページ。
- ^ コーン2003、208ページ。
- ^ Knus et al. 1998, p.192.
- ^ ラム2005年、70ページ。
- ^ アルバート1972、65-66頁。
- ^ ジェイコブソン1996、77ページ。
- ^ ab Lam 2005、437ページ。
- ^ Knus et al. 1998, p.236.
- ^ Knus et al. 1998, p.233.
参考文献
- アルバート、A.エイドリアン(1932)。「代数体上の 4 次正規除算代数」。Trans . Am. Math. Soc . 34 (2): 363– 372. doi : 10.2307/1989546 . JSTOR 1989546. Zbl 0004.10002。
- Albert, AA (1972). 「四元数代数のテンソル積」Proc. Am. Math. Soc . 35. doi : 10.1090/s0002-9939-1972-0297803-6 . Zbl 0263.16012.
- コーン、ポール M. (2003)。さらなる代数と応用。シュプリンガー出版。ISBN 1852336676。
- ジェイコブソン、ネイサン(1996)。体上の有限次元除算代数。ベルリン: Springer - Verlag。ISBN 3-540-57029-2.ZBL0874.16002 .
- Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions . Colloquium Publications. Vol. 44. J. Tits による序文付き。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0904-0.ZBL0955.16001 。
- ラム、ツィットユエン(2005)。体上の二次形式入門。数学大学院研究。第 67 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
- Szymiczek, Kazimierz (1997)。双線形代数。二次形式の代数理論入門。代数、論理、および応用。第 7 巻。Langhorne、PA: Gordon and Breach Science Publishers。ISBN 9056990764.ZBL0890.11011 。