CMフィールド

数学において、CM 体とは、複素乗算の理論と密接な関係があることからそのように名付けられた特殊な種類の数体です。別名 J 体とも呼ばれます。

「CM」という略語は（Shimura & Taniyama 1961）によって導入されました。

数体Kが CM 体であるとは、それがK / F の二次拡大 であり、基底体Fが完全実数であるがKが完全虚数である場合です。つまり、Fのへのすべての埋め込みは内に完全に含まれますが、 Kのへの埋め込みは存在しません。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

言い換えると、KのサブフィールドFが存在し、K はF上でβ = などの単一の元平方根によって生成され、有理数体上の β の最小多項式のすべての根が非実複素数になります。このため、α は完全に負 に選択する必要があります。そのため、 の実数体への各埋め込み σ に対して、σ(α) < 0 となります。 ${\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle F}$

CM 体の特徴の 1 つは、上の複素共役により、 への埋め込みとは独立な自己同型が体上に誘導されることです。与えられた表記法では、β の符号を変更する必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

数体Kが CM 体となるのは、それが「単位欠陥」を持つ場合、つまり単位群がKと同じ -ランクを持つ適切な部分体Fを含む場合のみです(Remak 1954)。実際、F は上記のKの完全実部分体です。これは、ディリクレの単位定理に従います。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• CM 体の最も単純で、かつ動機となる例は虚数二次体であり、その完全な実数部分体はまさに有理数体です。
• CM体の最も重要な例の1つは、原始n乗根によって生成される円分体 である。これは、実数体の全虚数2次拡張である。後者は複素共役 の固定体であり、の平方根を付加することによって得られる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})。}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle \zeta _{n}^{2}+\zeta _{n}^{-2}-2=(\zeta _{n}-\zeta _{n}^{-1})^{ 2}.}$
• すべての CM 体の和集合Q ^{CM は}、無限次数であることを除いて CM 体に似ています。これは、すべての全実体Q ^Rの和集合の二次拡大です。絶対ガロア群Gal( Q / Q ^{R ) は、 Gal(} Q / Q )の位数 2 のすべての元によって (閉じた部分群として) 生成され、 Gal( Q / Q ^CM ) は指数 2 の部分群です。ガロア群 Gal( Q ^CM / Q ) の中心は位数 2 の元 (複素共役) によって生成され、その中心による商が群 Gal( Q ^R / Q ) です。
• V がn次元の複素アーベル多様体である場合、Vの自己準同型からなる任意のアーベル代数F はZ上の階数が最大で 2 nになります。階数が 2 nでV が単純である場合、F はCM 体の順序になります。逆に、任意の CM 体は、同型性を除いて一意である単純な複素アーベル多様体からこのように生じます。
• CM ではない全虚数体の一例として、多項式によって定義される数体があります。${\displaystyle x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1}$

• Remak, Robert (1954)、「Über algebraische Zahlkörper mit schwachem Einheitsdefekt」、Compositio Mathematica (ドイツ語)、12 : 35–80、Zbl  0055.26805
• 志村五郎（1971）「保型関数の数論的理論入門」、日本数学会刊行物、第11巻、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局
• 志村 五郎、谷山 豊 (1961)、「アーベル多様体の複素乗法とその数論への応用」、日本数学会誌、第6巻、東京：日本数学会、MR  0125113
• ワシントン、ローレンス C. (1996)。円分体入門（第 2 版）。ニューヨーク: Springer - Verlag。ISBN 0-387-94762-0.ZBL0966.11047  .​