リンクされたフィールド

数学において、連結体とは、四元数代数に付随する二次形式が共通の性質を持つ 体である。

F を特性が2 でない体とする。A = ( a ₁ , a ₂ ) およびB = ( b ₁ , b ₂ ) をF上の四元数代数とする。代数AとBがF上の連結四元数代数であるとは、 Fにx が存在し、 Aが ( x , y ) に等しく、B が( x , z )に等しい場合である。^{[1] : 69}

A、Bのアルバート形式は

${\displaystyle q=\left\langle {-a_{1},-a_{2},a_{1}a_{2},b_{1},b_{2},-b_{1}b_{2}}\right\rangle \ .}$

これは、 AとBの虚数部分空間に付随する3元形式のウィット環の差とみなすことができます。^{[2]四元数代数は、アルバート形式が}等方性で ある場合に限りリンクされています。^{[1] : 70}

F 体Fが連結であるとは、 F体上の任意の 2 つの四元数代数が連結であることを意味します。 ^{[1] : 370} すべての大域体と局所体は連結されています。これは、そのような体上の 6 次二次形式がすべて等方的であるためです。

Fの以下の性質は同等である: ^{[1] : 342}

• Fはリンクされています。
• F上の任意の 2 つの四元数代数はリンクされています。
• すべてのアルバート形式（判別式−1の次元6形式）は等方性です。
• 四元数代数はFのBrauer 群のサブグループを形成します。
• F上のすべての次元 5 形式はPfister 近傍です。
• F上のいかなる双四元数代数も除算代数ではない。

非実数連結体のu不変量は1、2、4、または8である。 ^{[1] : 406}

• ジェンティーレ、エンツォ R. (1989)。 「リンクされたフィールドについて」(PDF)。アルゼンチン マテマティカ レビスタ デ ラ ユニオン。35：67～81。ISSN  0041-6932。Zbl  0823.11010。