完全実数体

数論において、数体 F は、 Fを複素数に埋め込むたびにその像が実数の内部にあるとき、完全実数と呼ばれます。同等の条件は、Fが整数多項式Pの1 つの根によってQ上に生成され、 Pの根がすべて実数であること、またはQ上の実体Fのテンソル積代数がRのテンソル冪に同型であることです。

たとえば、Q上の 2 次二次体 F は、 Qに正の数または負の数の平方根が付加されるかどうかによって、実数 (そして全実数) または複素数になります。3次体の場合、 Q上で既約な3 次整数多項式Pには、少なくとも 1 つの実根があります。実根が 1 つと複素根が 2 つある場合、実根を付加して定義されるQの対応する 3 次拡大は、実数体ではありますが、全実数にはなりません。

完全実数体は代数的整数論において重要な特別な役割を果たします。Qのアーベル拡大は完全実数であるか、または次数が 2 である 完全実部分体を含みます。

有理数体上のガロア数体は、完全に実数か完全に虚数のいずれかでなければなりません。

• 全虚数体
• CM場、実フィールドの虚数二次拡張

• 肥田春三(1993)、「L関数とアイゼンシュタイン級数の基礎理論」、ロンドン数学会学生テキスト第26巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-43569-7