逆ガロア問題

数学における未解決問題

ガロア理論において、逆ガロア問題とは、すべての有限群が有理数の何らかのガロア拡大のガロア群として現れるかどうかに関する問題である。 $\mathbb {Q}$ この問題は19世紀初頭に初めて提起されたもので、^{[ 1 ]}未解決である。

一般多項式が知られている置換群がいくつかあり、それらはすべての代数的拡張を定義します。 $\mathbb {Q}$ 特定の群をガロア群として持つ群。これらの群には、次数が $5$ 以下のすべての群が含まれます。また、位数 $8$ の巡回群のように、一般的な多項式を持たないことが知られている群もあります。

より一般的に、 $G$ を与えられた有限群、 $K$ を体とする。ガロア群が $G$ と同型であるガロア拡大体 $L / K$ が存在する場合、 $G は$ $K$ 上で実現可能であると言う。

部分的な結果

多くの事例が知られている。複素数体上の1変数関数体上では、すべての有限群が実現可能であることが知られている。 $\mathbb {C}$ さらに一般的には、標数ゼロの任意の代数的閉体上の1変数関数体についても同様である。イゴール・シャファレビッチは、すべての有限可解群は上で実現可能であることを示した。 $\mathbb {Q}$ ^{[ 2 ]}マチュー群 $M23$ $を$ 除くすべての単純散在群は、上で実現可能であることも知られている。 $\mathbb {Q}$ [ ³^]

デイヴィッド・ヒルベルトは、この問題が $G$ の合理性に関する問題と関連していることを示した。

K

が任意の拡張である場合

\mathbb {Q}

G

は自己同型群として作用し、不変体

K G

は有理体である。

\mathbb {Q}

すると、

G

は上で実現可能である。

\mathbb {Q}

。

ここで合理的とは、純粋に超越論的な拡張であることを意味する。 $\mathbb {Q}$ 代数的に独立な集合によって生成される。この基準は、例えば、すべての対称群が実現可能であることを示すために使用できる。

この問題については多くの詳細な研究が行われてきたが、一般的には解決されていない。その一部は、射影直線のガロア被覆として $Gを$ 幾何学的に構成することに基づいている。代数的に言えば、体の拡大から始める。 $\mathbb {Q} (t)$ 不定 $tにおける$ 有理関数の。その後、ガロア群を保存するように $t を$ 特殊化するためにヒルベルトの既約性定理を適用する。

次数23以下の推移的置換群4953個のうち、マチュー群 $M23 を$ 除いて4952個が実現可能であることが知られている。 $\mathbb {Q}$ [ ⁴^]^[⁵^]

次数が 25000 の異なる推移的置換群が存在する $n=24$ 2026年6月現在、そのうち実現可能とされているのはわずか286件である。 $\mathbb {Q}$ 。

PSL(2,25) (位数 7800) より小さい13 個の非可換単純群はすべて、上で実現可能であることが知られています。 $\mathbb {Q}$ [ ⁶^]

簡単な例：巡回群

古典的な結果を用いると、ガロア群が $\mathbb {Q}$ は任意の正の整数 $n$ に対して巡回群 $Z / n Z$ である。これを行うには、 $p$ $\equiv 1 (mod$ $n$ $)$ となる素数 $p を$ 選択する。これはディリクレの定理により可能である。Q $($ $μ$ $)$ をの円分拡大とする $。$ $\mathbb {Q}$ $μ$ によって生成される。ここで $μ$ $は原始的な$ $p$ 乗根である。Q $($ $μ)/ Q$ のガロア群は位数 $p - 1$ の巡回群である。

$n は$ $p$ $- 1$ を割り切るので、ガロア群は位数 $($ $p$ $- 1)/$ $n$ の巡回部分群 $H$ を持つ。ガロア理論の基本定理によれば、対応する固定体 $F$ $=$ $Q$ $($ $μ$ $)$ $H$ は、ガロア群 $Z$ $/$ $nZ$ を持つ $。$ $\mathbb {Q}$ $μ$ の共役の適切な和を取ることにより、ガウス周期の構成に従って、 $F$ の要素 $α$ を見つけることができ、それは $F を$ 生成し、 $\mathbb {Q}$ そして、その最小多項式を計算します。

この方法は、すべての有限アーベル群に拡張できます。なぜなら、そのような群はすべて、実際には、ある円分拡大のガロア群の商として現れるからです。 $\mathbb {Q}$ （ただし、この記述は、より深い意味を持つクロネッカー＝ウェーバーの定理と混同してはならない。）

具体例：位数3の巡回群

$n = 3$ の場合、 $p = 7$ とすることができます。すると $Gal(Q (μ)/ Q)$ は位数 6 の巡回群になります。この群の生成元 $ηは$ $μ を$ $μ 3$ に送るものとします。位数 2 の部分群 $H = {1, η 3$ }に興味があります。要素 $α = μ + η 3 (μ)$ を考えます。構成上、 $αは$ $H$ によって固定され、 α 上には 3 つの共役しかありません。 $\mathbb {Q}$ :

α = η 0 (α) = μ + μ 6

、

β = η 1 (α) = μ 3 + μ 4

、

γ = η 2 (α) = μ 2 + μ 5 です

。

IDを使用する:

1 + μ + μ 2 + \dots + μ 6 = 0

、

次のようなことがわかった

α + β + γ = -1

、

αβ + βγ + γα = -2

、

αβγ = 1

。

したがって、 $α$ は多項式の根である。

(x - α)(x - β)(x - γ) = x 3 + x 2 - 2 x - 1

、

その結果、ガロア群は $Z /3 Z$ となる。 $\mathbb {Q}$ 。

対称群と交代群

ヒルベルトは、すべての対称群と交代群は、有理係数を持つ多項式のガロア群として表されることを示した。

多項式 $x n + ax + b$ の判別式は

(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.

特別なケースを取り上げます

f (x, s) = x n - sx - s

。

$f$ $($ $x$ $,$ $s$ $)$ の $s$ に素数を代入すると、アイゼンシュタインの基準により既約である多項式（ $f$ $($ $x$ $,$ $s$ $)$ の特殊化と呼ばれる）が得られる。したがって、 $f$ $($ $x$ $,$ $s$ $)$ は上で既約でなければならない。 $\mathbb {Q} (s)$ さらに、 $f (x, s)$ は次のように書ける。

x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)

そして、 $f (x, 1/2)$ は次のように因数分解できます。

{\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)

その第２の因子は既約である（ただし、アイゼンシュタインの基準では既約ではない）。逆多項式のみがアイゼンシュタインの基準で既約である。これで、群 $Gal(f (x, s)/ Q (s))が$ 二重推移的であることを示した。

すると、このガロア群には転置が存在することがわかります。スケーリング $(1 - n) x = ny$ を使用すると、

y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-​​\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}

そして

t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},

我々は以下に到達する：

g (y, t) = y n - nty + (n - 1) t

配置できる

y n - y - (n - 1)(y - 1) + (t - 1)(- ny + n - 1)

。

すると、 $g (y, 1)は$ $1 を$ 二重零点として持ち、他の $n - 2 個の$ 零点は単純零点となり、 $Gal(f (x, s)/ Q (s))$ における転置が暗黙のうちに示唆される。転置を含む任意の有限二重推移的置換群は完全対称群である。

ヒルベルトの既約性定理によれば、無限個の有理数が、有理体上のガロア群が $S$ $n で$ $あるf (x, t)の特殊化を与えることになる。$ $\mathbb {Q}$ 実際、この有理数の集合は $\mathbb {Q}$ 。

$g (y, t)$ の判別式は

(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),

そしてこれは一般的に完全な平方数ではない。

交互のグループ

交代群の解法は、次数が奇数の場合と偶数の場合で異なる方法で処理する必要がある。

奇数度

させて

t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}

この置換の下では、 $g (y, t)$ の判別式は

{\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}

$n$ が奇数の場合、これは完全平方数となる。

偶数

させて：

t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}

この置換により、 $g (y, t)$ の判別式は次のようになる。

{\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}

$n$ が偶数の場合、これは完全平方数となる。

繰り返しになるが、ヒルベルトの既約性定理は、ガロア群が交代群となるような特殊化が無限に存在することを示唆している。

固定グループ

有限群 $Gの$ 共役類を $C 1, \dots, C n$ とし、 $G$ の $n$ 組 $($ $g$ $1$ $, \dots,$ $g$ $n$ $)$ の集合で、 $g$ $i$ $がC$ $i$ に含まれ、積 $g$ $1$ $\dots$ $g$ $n$ $が$ 自明であるとします。このとき、A が空でなく、 $G が$ 共役によって推移的に作用し、 $Aの各要素が$ $G$ を生成する場合、 $Aは$ 剛性であると呼ばれます。

トンプソン（1984）は、有限群 $Gが固定集合を持つ場合、多くの場合、有理数の円分拡大上のガロア群として実現できることを示した。（より正確には、$ $G$ の共役類 $C i$ 上の既約指標の値によって生成される有理数の円分拡大上のガロア群として実現できる。）

$これは、$ モンスター群を含む多くの有限単純群が、有理数の拡大のガロア群であることを示すために使用できます。モンスター群は、位数 $2、3、29$ の $3$ つの要素によって生成されます。このような3つの要素はすべて共役です。

剛性の原型は対称群 $S n$ $であり、これはnサイクルと、その積が$ $(n - 1)$ サイクルとなる転置によって生成される。前節の構成では、これらの生成子を用いて多項式のガロア群を確立した。

楕円型モジュラー関数を用いた構成

$n > 1 を$ 任意の整数とする。周期比 $τの$ 複素平面上の格子 $Λ$ は、周期比 $nτ$ の副格子 $Λ'を持つ。後者の格子は、$ $Λ$ の基底変換に基づくモジュラー群 $PSL(2,$ $Z$ $)$ によって置換される有限個の副格子のうちの 1 つである $。j を$ Felix Kleinの楕円モジュラー関数とする。共役副格子上の差 $($ $X$ $-$ $j$ $(Λ$ $i$ $))$ の積として多項式 $φ$ $n$ $を定義する。X$ の多項式として、 $φ$ $n$ の係数は、 $\mathbb {Q}$ $j (τ)$ において。

共役格子上では、モジュラー群は $PGL(2, Z / n Z)$ として作用する。したがって、 $φ n は$ 、 $PGL(2, Z / n Z)$ と同型のガロア群を持つ。 $\mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))$ 。

$ヒルベルトの既約性定理を用いると、 φ n を$ $ガロア群PGL(2, Z / n Z)$ を持つ多項式に特化させる無限（かつ稠密）な有理数集合が得られる。 $\mathbb {Q}$ 群 $PGL(2, Z / n Z)$ には無限に多くの非可解群が含まれる。

注記

↑ 「数理科学研究所出版物45」（PDF）。MSRI 。 2017年8月29日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。2016年4月17日に取得。
↑イゴール・R・シャファレビッチ、「分割拡張の埋め込み問題」、Dokl. Akad. Nauk SSSR 120 (1958)、1217-1219。
↑ p. Jensen et al.、2002 の 5
↑ 「ホーム」 . galoisdb.math.upb.de .
↑ 「17T7は有理数体上のガロア群である」。
↑マレとマツァット（1999）、403-424ページ

参考文献

_{MacBeath, AM (1969). "ガロア群 PGL(2,Z n} )による有理数の拡張". Bulletin of the London Mathematical Society . 1 (3): 332– 338. doi : 10.1112/BLMS/1.3.332 .
Thompson, John G. (1984), "いくつかの有限群が Gal L/K として現れるが、K ⊆ Q(μ _n ) である", Journal of Algebra , 89 (2): 437– 499, doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X , MR 0751155
ヘルムート・フェルクライン著『ガロア群としての群入門』ケンブリッジ大学出版局、1996年。ISBN 978-0521065030。
Serre, Jean-Pierre (1992).ガロア理論のトピックス. 数学研究ノート. 第 1巻. Jones and Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001 .
Gunter Malle、Heinrich Matzat、逆ガロア理論、Springer-Verlag、1999、ISBN 3-540-62890-8。
Gunter Malle、Heinrich Matzat、『逆ガロア理論』、第 2 版、Springer-Verlag、2018 年。
Alexander Schmidt、Kay Wingberg、ガロア群としての可解群に関する Safarevic の定理( Neukirch , Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000)、Cohomology of Number Fields、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323、Berlin: Springer-Verlag、ISBN も参照 978-3-540-66671-4MR 1737196、Zbl 0948.11001 ）
Christian U. Jensen、Arne Ledet、Noriko Yui (2002). Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81998-9。

外部リンク

「逆ガロア問題 PCMI 2021 大学院サマースクールプログラム - 計算に基づく数論 - 2021年7月26日～30日」。 2023年2月16日にオリジナルからアーカイブされました。

[1] 「数理科学研究所出版物45」（PDF）。MSRI 。 2017年8月29日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。2016年4月17日に取得。

[2] イゴール・R・シャファレビッチ、「分割拡張の埋め込み問題」、Dokl. Akad. Nauk SSSR 120 (1958)、1217-1219。

[3] . Jensen et al.、2002 の 5

[4] 「ホーム」 . galoisdb.math.upb.de .

[5] 「17T7は有理数体上のガロア群である」。

[6] マレとマツァット（1999）、403-424ページ

[ 1 ]

[ 2 ]

3

4

[

6