古典場の理論

古典場の理論は、量子化の影響を考慮せずに、場の方程式を通じて物理学における1 つ以上の場が物質とどのように相互作用するかを予測する物理理論です。量子力学を組み込んだ理論は量子場の理論と呼ばれます。ほとんどの文脈では、「古典場の理論」は特に、自然界の2 つの基本的な力である電磁気と重力を説明することを目的としています。

物理場は、空間と時間の各点における物理量の割り当てと考えることができます。たとえば、天気予報では、国全体の 1 日の風速は、空間の各点にベクトルを割り当てることによって記述されます。各ベクトルはその点における空気の動きの方向を表すため、特定の時点における領域内のすべての風ベクトルの集合はベクトル場を構成します。日が進むにつれて、風の方向が変化するのに応じて、ベクトルが指す方向も変化します。

最初の場の理論、ニュートンの重力と電磁場のマクスウェル方程式は、 1905 年に相対性理論が登場する以前に古典物理学で開発されたもので、相対性理論と整合するように改訂する必要があった。その結果、古典的な場の理論は通常、非相対論的と相対論的に分類される。現代の場の理論は通常、テンソル計算の数学を使用して表現される。より最近の代替的な数学的形式主義では、古典的な場をファイバー束と呼ばれる数学的オブジェクトのセクションとして記述する。

マイケル・ファラデーは、電気現象と磁気現象を説明するために「場」という用語と力線を作り出した。ケルビン卿は1851 年に物理学のさまざまな分野における場の概念を公式化した。

最も単純な物理場のいくつかはベクトル力場です。歴史的に、場が真剣に受け止められたのは、電場を説明するファラデーの 力線が初めてでした。重力場も同様に説明されました。

最初の重力場の理論は、2つの質量間の相互作用が反比例の法則に従うというニュートンの万有引力の理論でした。これは太陽の周りの惑星の運動を予測するのに非常に役立ちました。

質量のある物体Mには、他の質量のある物体への影響を表す重力場 gがある。空間内の点rにおけるMの重力場は、 rにある小さな試験質量mにMが及ぼす力F を決定し、それをmで割ることで求められる。^[1] mはMよりもはるかに小さいと 規定することで、 mの存在がMの挙動に及ぼす影響は無視できることが保証される。 $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$$

ニュートンの万有引力の法則によれば、F ( r ) は^[1] で与えられ 、ここで はMからmに向かう線に沿った単位ベクトルであり、Gはニュートンの万有引力定数である。したがって、 Mの重力場は^[1]である。$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

慣性質量と重力質量が前例のない精度で等しいという実験的観察は、重力場の強さが粒子が経験する加速度と同一であると特定することにつながります。これが等価原理の出発点であり、一般相対性理論につながります。

離散的な質量の集合M _iが点r _iに位置する場合、点rにおける質量による 重力場は$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,}$$

代わりに連続的な質量分布ρがある場合、その合計は積分に置き換えられ、 $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$$

場の方向は位置rから質量r _iの位置を指していることに注意してください。これはマイナス記号によって保証されます。簡単に言えば、これはすべての質量が引き合うことを意味します。

ガウスの重力の法則は積分形式では、 微分形式では $${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$$

したがって、重力場g は重力ポテンシャルφ ( r )の勾配で表すことができます。 これは、重力F が保存力であることの結果です。 $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$$

電荷qを持つ荷電粒子は、その電荷のみに基づく力F を受けます。同様に、ソース電荷Qによって生成される電場E は、 F = q Eと記述できます。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{q}}.}$$

これとクーロンの法則を用いると、単一の荷電粒子による電場は $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.}$$

電場は保存的であり、したがってスカラーポテンシャルの勾配V ( r )によって与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$$

ガウスの電気の法則は積分形式で は微分形式では $${\displaystyle \iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{0}}}\,.}$$

経路ℓに沿って流れる定常電流I は、上記の電場力とは定量的に異なる力を近くの荷電粒子に及ぼします。速度vの近くの電荷qにIが及ぼす力は、次の式で表されます。ここ で、B ( r ) は磁場であり、ビオ・サバールの法則によってIから決定されます。 $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$$

磁場は一般に保存的ではないため、通常はスカラーポテンシャルで記述することはできません。ただし、ベクトルポテンシャルA ( r ) で記述することはできます。$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$$

磁気に関する ガウスの法則は積分形式では、 微分形式では $${\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$$

物理的な解釈としては、磁気単極子は存在しないということである。

一般に、電荷密度ρ ( r , t ) と電流密度J ( r , t ) の両方が存在する場合、電場と磁場の両方が存在し、両方とも時間とともに変化します。これらは、EとBを電荷密度 (単位体積あたりの電荷) ρと電流密度(単位面積あたりの電流) Jに直接関連付ける微分方程式のセットであるマクスウェル方程式によって決定されます。^[2]

あるいは、システムをスカラーポテンシャルVとベクトルポテンシャルAで記述することもできます。遅延ポテンシャルと呼ばれる積分方程式のセットにより、 ρ とJからVとA を計算することができます。^{[注 1]}そこから、電場と磁場は関係式^{[3]によって決定されます。} $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

流体力学には、エネルギーと運動量の保存則によって結び付けられた圧力、密度、および流量のフィールドがあります。質量連続方程式は連続方程式であり、質量 の保存を表します。 ナビエ-ストークス方程式は、流体の 密度ρ、圧力p、偏差応力テンソルτ、および外部の体積力bがすべて与えられている場合、流体に適用されたニュートンの法則から求められる流体の運動量の保存を表します 。速度フィールドuは、解くべきベクトル フィールドです。 $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$$

1839年、ジェームズ・マックカラーは「結晶の反射と屈折の動的理論に向けた論文」の中で、反射と屈折を記述する場の方程式を提示した。 ^[4]

「ポテンシャル理論」という用語は、19世紀の物理学では、自然界の基本的な力はラプラス方程式を満たすスカラーポテンシャルから導かれると信じられていたという事実に由来しています。ポアソンは、ラグランジュによって摂動力から第一近似まで解決されていた惑星軌道の安定性の問題に取り組み、彼の名にちなんで名付けられたポアソン方程式を導きました。この方程式の一般的な形式は次のとおりです。

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\sigma }$$

ここで、σはソース関数 (密度、単位体積あたりの量) であり、ø は解くべきスカラーポテンシャルです。

ニュートンの重力では、質量が場の源となり、場の線は質量を持つ物体で終わる。同様に、電荷は静電場の源とシンクとなる。正電荷は電界線を発し、負電荷で電界線が終わる。これらの場の概念は、一般発散定理、特に重力と電気に関するガウスの法則でも説明されている。時間に依存しない重力と電磁気の場合、場は対応する電位の勾配である ため、これらをガウスの法則に代入すると、それぞれの場合について次の式が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi _{e}=4\pi k_{e}\rho _{e}=-{\rho _{e} \over \varepsilon _{0}}}$$

ここで、ρ _gは質量密度、ρ _{e は}電荷密度、G は万有引力定数、k _e = 1/4πε _{0 は}電気力定数です。

ちなみに、この類似性は、ニュートンの万有引力の法則とクーロンの法則の類似性から生じています。

ソース項がない場合（例えば真空や電荷対など）、これらのポテンシャルはラプラス方程式に従います。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0.}$$

質量（または電荷）の分布の場合、ポテンシャルは球面調和関数の級数で展開することができ、級数のn番目の項は 2 ⁿモーメントから生じるポテンシャルと見なすことができます（多重極展開を参照）。多くの目的の場合、計算には単極子、双極子、および四極子の項のみが必要です。

古典的な場の理論の現代的な定式化では、ローレンツ共変性が自然の基本的側面として認識されているため、一般的にこれが必要です。場の理論は、ラグランジアンを使用して数学的に表現される傾向があります。これは、作用原理に従うと、場の方程式と理論の保存則を生み出す関数です。作用はローレンツスカラーであり、これから場の方程式と対称性を簡単に導くことができます。

ここでは真空中の光速が1、つまりc = 1となるような単位を使用します^{。[注 2]}

場のテンソル が与えられると、ラグランジアン密度と呼ばれるスカラーがとその導関数から構築されます。この密度から、時空にわたって積分することで作用関数を構築できます。 ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$$

曲がった時空における体積形式はどこにありますか。${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$${\displaystyle (g\equiv \det(g_{\mu \nu }))}$

したがって、ラグランジアン自体は、全空間にわたるラグランジアン密度の積分に等しくなります。

次に作用原理を適用することで、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。

$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$$

ここでは、最もよく知られているローレンツ共変古典場の理論のうち 2 つについて説明します。

歴史的に、最初の（古典的な）場の理論は、電場と磁場を（別々に）記述するものでした。数多くの実験の後、これら 2 つの場は関連していること、または実際には同じ場の 2 つの側面である電磁場であることがわかりました。マクスウェルの電磁気学の理論は、荷電物質と電磁場の相互作用を記述します。この場の理論の最初の定式化では、電場と磁場を記述するためにベクトル場が使用されました。特殊相対性理論の出現により、テンソル場を使用したより完全な定式化が見つかりました。電場と磁場を記述する 2 つのベクトル場を使用する代わりに、これら 2 つの場を一緒に表すテンソル場が使用されます。

電磁4元ポテンシャルはA _a = (− φ , A )、電磁4元電流 j _a = (− ρ , j )と定義される。時空内の任意の点における電磁場は、反対称(0,2)階数電磁場テンソルによって記述される。 $${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$$

この場の力学を得るために、場からスカラーを構築してみる。真空中では、 $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.}$$

ゲージ場理論を使って相互作用項を求めると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.}$$

場の方程式を得るためには、ラグランジュ密度の電磁テンソルを4次元ポテンシャルAの定義に置き換える必要があり、このポテンシャルがオイラー・ラグランジュ方程式に入ります。電磁場FはEL方程式では変化しません。したがって、 $${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.}$$

ラグランジアン密度の場の成分に関する微分 と場の成分の微分 を評価すると、真空中の マクスウェル方程式 が得られます。ソース方程式（電気に関するガウスの法則とマクスウェル・アンペールの法則）は 、他の2つ（磁気に関するガウスの法則とファラデーの法則）は、FがAの4次元回転であるという事実、つまり、電磁場テンソルに対してビアンキ恒等式が成り立つという事実から得られます。 ^[5]$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,}$$$${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.}$$ $${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$$

ここで、コンマは偏微分を表します。

ニュートンの重力が特殊相対性理論と矛盾することが判明した後、アルバート・アインシュタインは一般相対性理論と呼ばれる新しい重力理論を定式化しました。これは、重力を質量によって引き起こされる幾何学的現象（「曲がった時空」）として扱い、重力場を計量テンソルと呼ばれるテンソル場で数学的に表します。アインシュタインの場の方程式は、この曲率がどのように生成されるかを記述します。ニュートンの重力は現在、アインシュタインの一般相対性理論に取って代わられており、この理論では、重力は質量によって引き起こされる曲がった時空によるものと考えられています。アインシュタインの場の方程式は、 この曲率が物質と放射線によってどのように生成されるかを記述します。ここで、G ab はアインシュタインテンソルで、リッチテンソル R ab とリッチスカラー R = R ab g ab で表されます。T ab は応力エネルギーテンソル、κ = ₈ πG / c 4 は定数_です。物質と放射線（_発生源^を含む_）がない場合、 '真空場の^方程式は、アインシュタイン-ヒルベルト作用 を計量 に関して 変化させることによって導くことができます。ここで、 gは計量テンソルg ^abの行列式です。真空場の方程式の解は真空解と呼ばれます。アーサー・エディントンによる別の解釈は、が基本であり、の単なる一側面であり、単位の選択によって強制されるという ものです。$${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$$$${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$$ $${\displaystyle G_{ab}=0}$$$${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \kappa }$

ローレンツ共変古典場理論のさらなる例としては、

• 実数または複素スカラー場に対するクライン・ゴルドン理論
• ディラックスピノル場に対するディラック理論
• 非可換ゲージ場に対するヤン＝ミルズ理論

古典物理学に基づいて統一場理論を構築する試みが古典統一場理論である。二度の世界大戦間の数年間、重力と電磁気学の統一という考え方は、アルバート・アインシュタイン、テオドール・カルツァ、^[6] ヘルマン・ワイル、^[7] アーサー・エディントン、^[8] グスタフ・ミー^{[9]エルンスト・ライヘンバッハー[10]}など多くの数学者や物理学者によって積極的に追求された。

そのような理論を作成する初期の試みは、一般相対性理論の幾何学に電磁場を組み込むことに基づいていました。1918年に、電磁場の最初の幾何学化の事例がヘルマン・ワイルによって提案されました。^[11] 1919年に、5次元アプローチのアイデアがテオドール・カルツァによって示唆されました。^{[11]そこから、}カルツァ-クラインの理論と呼ばれる理論が開発されました。これは、5次元時空で重力と電磁気を統一しようとするものです。統一場理論の表現フレームワークを拡張する方法はいくつかあり、アインシュタインや他の研究者によって検討されてきました。これらの拡張は一般に、2つのオプションに基づいています。^[11]最初のオプションは、元の定式化に課せられた条件を緩和することに基づいており、2番目は理論に他の数学的オブジェクトを導入することに基づいています。^[11]最初のオプションの例は、より高次元の表現を考慮することによって4次元時空への制限を緩和することです。^{[11]これは}カルツァ＝クライン理論で使用されています。2番目の例としては、主にトゥリオ・レヴィ＝チヴィタとヘルマン・ワイルの研究を通じて一般相対性理論に導入されたアフィン接続の概念が最も顕著です。^[11]

量子場の理論のさらなる発展により、統一場の理論の探求の焦点は古典的な記述から量子的な記述へと変化した。そのため、多くの理論物理学者は古典的な統一場の理論の探求をあきらめた。^{[11]量子場の理論には、}自然界の他の2つの基本的な力、すなわち原子核レベルで作用する強い核力と弱い核力の統一が含まれる。 ^{[12] [13]}

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• Binney, James J. 「古典体に関する講義ノート」(PDF) 。2007年4 月 30 日閲覧。
• Sardanashvily, G. (2008 年 11 月). 「高度な古典場の理論」.現代物理学における幾何学的手法の国際ジャーナル. 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331 . Bibcode :2008IJGMM..05.1163S. doi :10.1142/S0219887808003247. ISBN 978-981-283-895-7. S2CID  13884729。