無関係な選択肢からの独立性

経済学者は、計算上の都合や、問題が適切に定式化されていることを確認するために、しばしばIIA （消費者の合理性）を仮定せざるを得ないが、実験経済学者は、実際の人間の意思決定はしばしばIIAに反することを示している。例えば、デコイ効果は、3ドルのSサイズと5.10ドルのLサイズのソーダの間に5ドルのMサイズのソーダを挟むと、顧客はLサイズの方がお得だと認識する（「Mサイズよりたった10セント高いだけ」だから）ことを示している。行動経済学は、 IIAを含む消費者の合理性に関する多くの仮定を弱めたり、取り除いたりするモデルを導入している。これにより精度は向上するが、モデルがより複雑になり、反証が難しくなるという代償を伴う。

候補者が2人しかいない場合に多数決のように振る舞う決定論的な投票方法は、コンドルセサイクルを用いることでIIAに違反することが示される。

候補者が3人いるシナリオを考えてみましょう。${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle C}$有権者の選好は以下のとおりです。

有権者の25％が${\displaystyle A}$以上${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle B}$以上${\displaystyle C}$. (${\displaystyle A>B>C}$）

有権者の40％が${\displaystyle B}$以上${\displaystyle C}$、 そして${\displaystyle C}$以上${\displaystyle A}$. (${\displaystyle B>C>A}$）

有権者の35％が${\displaystyle C}$以上${\displaystyle A}$、 そして${\displaystyle A}$以上${\displaystyle B}$. (${\displaystyle C>A>B}$）

（これらは投票ではなく、あくまでも好みであり、投票方法とは無関係です。）

75%が好む${\displaystyle C}$以上${\displaystyle A}$65％が好む${\displaystyle B}$以上${\displaystyle C}$60％が${\displaystyle A}$以上${\displaystyle B}$この社会的な非推移性の存在こそが、投票のパラドックスである。投票方法や実際の投票結果に関わらず、考慮すべきケースは3つしかない。

• ケース1：${\displaystyle A}$選出される。IIAは、75%が支持しているため違反される。${\displaystyle C}$以上${\displaystyle A}$選出する${\displaystyle C}$もし${\displaystyle B}$候補者ではなかった。
• ケース2：${\displaystyle B}$選出される。IIAは、60％が支持しているため違反される。${\displaystyle A}$以上${\displaystyle B}$選出する${\displaystyle A}$もし${\displaystyle C}$候補者ではなかった。
• ケース3：${\displaystyle C}$選出される。IIAは、65％が支持しているため違反される。${\displaystyle B}$以上${\displaystyle C}$選出する${\displaystyle B}$もし${\displaystyle A}$候補者ではなかった。

特定の投票方法については、以下の結果が当てはまります。

• 即時決選投票、ケメニー・ヤング方式、ミニマックス・コンドルセ方式、順位ペア方式、上位2名による決選投票、小選挙区制、シュルツェ方式はすべて、${\displaystyle B}$上記のシナリオでは、したがってIIAに失敗する${\displaystyle C}$削除されました。
• ボルダの集計とバックリンの投票はどちらも${\displaystyle C}$上記のシナリオでは、したがってIIAに失敗する${\displaystyle A}$削除されました。
• コープランドの方法では3つが同点になるが、逆方向に進めばIIAに違反することが示される。${\displaystyle A}$候補者でなかった場合、${\displaystyle B}$完全に勝利するだろう。${\displaystyle A}$結果が3つ並びの同点に変わる。${\displaystyle A}$作る${\displaystyle C}$もはや敗者ではない。敗者とは、失敗者のことだ。

アローの不可能性定理の一般化によれば、有権者が立候補者に応じて評価尺度を変更する場合、基数投票の結果は当選しない候補者の存在によって影響を受ける可能性がある。^{[ 7 ]}承認投票、スコア投票、中央値投票は、有権者が選挙で利用可能な選択肢を知ることなく、独自の絶対尺度を使用して候補者を個別に評価すると仮定すれば、IIA基準を満たす可能性がある。有権者がこの仮定に従って行動しない場合、これらの方法もIIA基準を満たさない。

バリンスキーとララキは、評価投票規則がIIAを通過するために個人間の比較が必要であるという主張に異議を唱えた。彼らは、候補者の資質に関する質問に対して有権者が一貫した回答をすることができるように、口頭による評価を伴う共通言語が利用可能であればIIAに十分であると主張している。言い換えれば、他の候補者が選挙に参加したり撤退したりしたからといって、ほとんどの有権者が候補者が「良い」、「悪い」、「中立」であるかについての信念を変えることはないだろうと彼らは主張している。^{[ 8 ]}