信念の修正

信念の修正（信念の変化とも呼ばれる）は、新しい情報を考慮して信念を変更するプロセスです。信念の修正の論理的形式化は、哲学、データベース、および合理的エージェントの設計のための人工知能の分野で研究されています。

信念の修正が簡単ではないのは、この操作を実行する方法が複数存在する可能性があるためです。たとえば、現在の知識に「は真」、「は真」、「と が真であればは真」という 3 つの事実が含まれている場合、「 は偽」という新しい情報の導入は、3 つの事実のうち少なくとも 1 つを削除することによってのみ一貫性を保ちながら実行できます。この場合、修正を実行する方法は少なくとも 3 つあります。一般に、知識を変更する方法は複数存在する可能性があります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

通常、2種類の変化が区別されます。^[1]

アップデート

新しい情報は現在の状況に関するものであり、古い信念は過去に関するものです。更新は、変化を考慮して古い信念を変更する操作です。

リビジョン

古い信念と新しい情報はどちらも同じ状況を指します。新しい情報と古い情報の間に矛盾がある場合は、古い情報の信頼性が新しい情報よりも低い可能性があるために説明されます。修正とは、矛盾を生じさせずに新しい情報を古い信念のセットに挿入するプロセスです。

信念の修正の主な前提は、変更が最小限であることです。つまり、変更前と変更後の知識は可能な限り類似している必要があります。更新の場合、この原則は慣性の仮定を形式化します。修正の場合、この原則は、変更によって可能な限り多くの情報が保持されるように強制します。

次の典型的な例は、更新と修正の 2 つの設定で実行する操作が同じではないことを示しています。この例は、信念のセットと新しい情報の2 つの異なる解釈に基づいています。 ${\displaystyle \{a\vee b\}}$${\displaystyle \neg a}$

アップデート

このシナリオでは、ユニット A とユニット B の 2 つの衛星が火星の周りを周回しています。衛星は、地球に状態を送信しながら着陸するようにプログラムされています。地球は、衛星の 1 つから、まだ軌道上にあるという通信を受信しました。ただし、干渉のため、どの衛星が信号を送信したかはわかりません。その後、地球はユニット A が着陸したという通信を受信します。このシナリオは、次のようにモデル化できます。2 つの命題変数と が、それぞれユニット A とユニット B がまだ軌道上にあることを示します。最初の確信セットは(2 つの衛星のいずれかがまだ軌道上にある) であり、新しい情報は(ユニット A は着陸したため、軌道上にない) です。更新の唯一の合理的な結果は です。2 つの衛星のうち 1 つがまだ着陸していないという最初の情報はユニット A から来ている可能性があるため、ユニット B の位置はわかりません。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \{a\vee b\}}$${\displaystyle \neg a}$${\displaystyle \neg a}$

リビジョン

演劇「作者を捜す六人の登場人物」は、2 つの地元の劇場のいずれかで上演されます。この情報は で表すことができます。ここで、およびは、演劇がそれぞれ最初の劇場または 2 番目の劇場で上演されることを示します。さらに、「ジーザス クライスト スーパースター」が最初の劇場で上演されるという情報は、 が成り立つことを示します。この場合、「作者を捜す六人の登場人物」は最初の劇場ではなく 2 番目の劇場で上演されるという明らかな結論が導かれ、これは論理的には で表されます。${\displaystyle \{a\vee b\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \neg a}$${\displaystyle \neg a\wedge b}$

この例では、新しい情報で信念を修正すると、設定が更新か修正かに応じて 2 つの異なる結果が生成されることが示されています。${\displaystyle a\vee b}$${\displaystyle \neg a}$${\displaystyle \neg a}$${\displaystyle \neg a\wedge b}$

すべての信念が同じ状況を参照する設定では、実行できるさまざまな操作が区別されます。

収縮

信念の除去;

拡大

一貫性を確認せずに信念を追加すること。

リビジョン

一貫性を維持しながら信念を追加すること。

抽出

一貫した一連の信念および/または認識論的定着順序を抽出すること。

統合

一連の信念の一貫性を回復する。

合併

一貫性を保ちながら 2 つ以上の信念セットを融合すること。

修正とマージの違いは、組み込む新しい信念が古い信念よりも信頼できると判断されたときに最初の操作が行われることです。したがって、古い信念の一部を削除することで一貫性が維持されます。マージは、信念セット間の優先順位が同じである場合もそうでない場合もあるという点で、より一般的な操作です。

修正は、まず新しい事実を取り入れ、次に統合によって一貫性を回復することによって実行できます。これは実際には修正というよりは統合の一種であり、新しい情報は必ずしも古い知識よりも信頼できるものとして扱われるわけではないからです。

AGM 公理 (提唱者の Alchourrón、Gärdenfors、Makinsonにちなんで命名) は、修正を実行する演算子が合理的であると見なされるために満たすべき特性です。考慮される設定は修正、つまり同じ状況を参照する異なる情報です。拡張 (一貫性チェックなしの信念の追加)、修正 (一貫性を維持しながらの信念の追加)、および縮小 (信念の削除) の 3 つの操作が考慮されます。

最初の 6 つの公理は「基本的な AGM 公理」と呼ばれます。Alchourrón、Gärdenfors、および Makinson が検討した設定では、現在の信念セットは信念セットと呼ばれる演繹的に閉じた論理式セットで表され、新しい情報は論理式 であり、修正は、現在の信念と新しい情報をオペランドとして受け取り、結果として修正の結果を表す信念セットを生成するバイナリ演算子によって実行されます。展開: で表される演算子は、の演繹的閉包です。修正の AGM 公理は次のとおりです。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$${\displaystyle K+P}$${\displaystyle K\cup \{P\}}$

1. 閉包:信念集合（つまり、演繹的に閉じた式の集合）です。${\displaystyle K*P}$
2. 成功：${\displaystyle P\in K*P}$
3. 含まれるもの:${\displaystyle K*P\subseteq K+P}$
4. 空虚さ:${\displaystyle {\text{もし}}(\neg P)\not \in Kなら、{\text{}}K*P=K+P}$
5. 一貫性:が矛盾している場合にのみ矛盾する${\displaystyle K*P}$${\displaystyle P}$
6. 拡張性: (論理的同値性を参照)${\displaystyle {\text{}}P{\text{ と }}Q{\text{ が論理的に同等である場合、}}K*P=K*Q}$
7. 超拡張:${\displaystyle K*(P\wedge Q)\subseteq (K*P)+Q}$
8. サブ拡張:${\displaystyle {\text{もし }}(\neg Q)\not \in K*P{\text{ ならば }}(K*P)+Q\subseteq K*(P\wedge Q)}$

8つの公理すべてを満たす修正演算子は、完全なミート修正であり、これは、矛盾がなければ の演繹的閉包に等しい。この修正演算子は、すべてのAGM公理を満たしているが、修正式が古い知識ベースと矛盾する場合、古い知識ベースからの情報が維持されないという点で、保守的すぎると考えられてきた。^[2]${\displaystyle K*P}$${\displaystyle K+P}$${\displaystyle P}$

AGM 公理は、修正演算子に関するいくつかの異なる条件と同等です。特に、修正演算子が選択関数、認識的塹壕、球体システム、および選好関係として知られる構造の観点から定義可能であることと同等です。後者は、モデルのセットに対する 反射的、推移的、および全体の関係です。

AGM 公理を満たす各修正演算子は、各可能な信念集合 ごとに 1 つずつ、選好関係 の集合に関連付けられており、 のモデルはに従ってすべてのモデルのまさに最小値になります。修正演算子とそれに関連付けられた順序付けの族は、が に従ってのすべての最小モデルを含むモデルの集合である式の集合であるという事実によって関連付けられています。この条件は、 のモデル集合が の順序付け に従っての最小モデルの集合とまったく同じであることと同等です。 ${\displaystyle *}$${\displaystyle \leq _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \leq _{K}}$${\displaystyle K*P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq _{K}}$${\displaystyle K*P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq _{K}}$

優先順位は、考えられるものの現時点では誤りであると考えられている状況も含め、すべての状況における不可能性順序を表します。このような順序付けによる最小モデルは、まさに知識ベースのモデルであり、現時点で最も可能性が高いと考えられているモデルです。他のすべてのモデルはこれらのモデルよりも大きく、実際にはより可能性が低いと考えられています。一般に、は、モデルによって表される状況が、によって表される状況よりも可能性が高いと考えられていることを示します。その結果、モデルとしておよびを持つ式によって修正する場合、修正された知識ベースのモデルとしてのみを選択する必要があります。これは、このモデルが によってサポートされているシナリオの中で最も可能性の高いシナリオを表しているためです。 ${\displaystyle \leq _{K}}$${\displaystyle I<_{K}J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle P}$

縮約は知識ベースから信念を削除する操作です。この操作の結果は で表されます。修正と縮約の演算子は、Levi 恒等式と Harper 恒等式によって関連付けられています。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle KP}$

${\displaystyle K*P=(K-\neg P)+P}$

${\displaystyle KP=K\cap (K*\neg P)}$

縮約には 8 つの公理が定義されています。修正演算子が修正の 8 つの公理を満たすときはいつでも、それに対応する縮約演算子は縮約の 8 つの公理を満たし、その逆も同様です。縮約演算子が縮約の最初の 6 つの公理を少なくとも満たす場合、それを修正演算子に変換し、上記の 2 つの恒等式を使用して縮約演算子に戻すと、元の縮約演算子になります。修正演算子から始めても同じことが言えます。

収縮に関する仮説の 1 つは、長い間議論されてきました。それは回復仮説です。

${\displaystyle K=(KP)+P}$

この公理によれば、ある信念を削除し、その後に同じ信念を信念セットに再導入すると、元の信念セットに戻るはずである。このような動作が常に合理的であるとは限らないことを示す例もいくつかある。特に、 などの一般的な条件による縮小は、などのより具体的な条件を信念セットから削除することにつながる。その場合、 の再導入がなぜより具体的な条件 の再導入にもつながるのかは不明である。たとえば、ジョージが以前はドイツ国籍を持っていると信じられていた場合、彼はヨーロッパ人でもあると信じられていた。この後者の信念を縮小することは、ジョージがヨーロッパ人であると信じることをやめることに等しい。したがって、ジョージがドイツ国籍を持っているという事実も信念セットから取り消される。ジョージが後にオーストリア国籍を持っていることが判明した場合、彼がヨーロッパ人であるという事実も再導入される。しかし、回復公理によれば、彼がドイツ国籍も持っているという信念も再導入されるはずである。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle a\vee b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\vee b}$${\displaystyle a}$

レヴィ恒等式とハーパー恒等式によって誘導される修正と縮約の対応は、回復公準を満たさない縮約が 8 つの公準すべてを満たす修正に変換され、8 つの公準すべてを満たす修正が回復を含む 8 つの公準すべてを満たす縮約に変換されるというものです。結果として、回復を考慮から除外すると、多数の縮約演算子が 1 つの修正演算子に変換され、その後、正確に 1 つの縮約演算子に戻すことができます。この演算子は、回復を満たす縮約演算子の初期グループの中で唯一の演算子です。このグループの中では、可能な限り多くの情報を保持する演算子です。

反事実条件 の評価は、ラムゼーテスト（フランク・P・ラムゼーにちなんで名付けられた）に従って、現在の信念の集合に を仮定的に追加し、続いて が真実であるかどうかをチェックすることで行うことができます。 が現在保持されている信念の集合である場合、ラムゼーテストは次の対応によって形式化されます。 ${\displaystyle a>b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle a>b\in K}$もし、もし、${\displaystyle b\in K*a}$

信念を表す式の検討対象言語が命題的である場合、ラムゼーテストは、信念修正演算子の観点から反事実条件文の一貫した定義を与えます。しかし、信念を表す式の言語自体に反事実条件接続子 が含まれる場合、ラムゼーテストは、ガーデンフォースの自明性の結果をもたらします。つまり、修正に関する AGM 公理とラムゼーテストの条件の両方を満たす非自明な修正演算子は存在しません。この結果は、 のような反事実式が信念セットと修正式に存在できるという仮定に当てはまります。この問題に対するいくつかの解決策が提案されています。 ${\displaystyle >}$${\displaystyle a>b}$

固定された知識ベースと修正演算子 が与えられている場合、 の場合にのみという定義を使用して非単調な推論関係を定義できます。言い換えると、最初の式を現在の知識ベースに追加すると が導出される場合は、式は別の式を伴います。この推論関係は非単調です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle *}$${\displaystyle P\vdash Q}$${\displaystyle K*P\models Q}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$

AGM 公理は、この推論関係の公理セットに変換できます。これらの公理のそれぞれは、非単調推論関係の以前に考慮された公理セットによって必然的に生じます。逆に、非単調推論関係について考慮された条件は、修正演算子の公理に変換できます。これらの公理はすべて、AGM 公理によって必然的に生じます。

AGM フレームワークでは、信念セットは演繹的に閉じた命題式の集合によって表現されます。このような集合は無限ですが、常に有限に表現できます。ただし、演​​繹的に閉じた式の集合を扱うと、同等の信念セットは修正時に等しいとみなされるという暗黙の仮定が導かれます。これは、構文の無関係性の原理と呼ばれます。

この原則はこれまで議論され、現在も議論されています。と は2 つの同等の集合ですが、 で修正すると異なる結果が生成されるはずです。 最初のケースでは、と は2 つの別々の信念です。したがって、 で修正してもには影響がなく、修正の結果はになります。 2 番目のケースでは、は単一の信念として扱われます。 が偽であるという事実はこの信念と矛盾するため、信念集合から削除する必要があります。 したがって、この場合の修正の結果は になります。 ${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle \{a\wedge b\}}$${\displaystyle \neg a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \neg a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \{\neg a,b\}}$${\displaystyle a\wedge b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{\neg a\}}$

演繹的に閉じた知識ベースを使用する問題は、それ自体で知られている知識と、それらの単なる結果である知識とが区別されないことです。この区別は、哲学における基礎主義に関連する、信念修正に対する基礎的アプローチによって行われます。このアプローチによると、導出されていない知識を撤回すると、他の非導出知識によってサポートされていないすべての結果が撤回されるはずです。このアプローチは、演繹的に閉じられていない知識ベースを使用し、知識ベース内のすべての式が自立した信念を表している、つまり導出された信念ではないと仮定することで実現できます。信念修正に対する基礎的アプローチを演繹的に閉じた知識ベースに基づくアプローチと区別するために、後者はコヒーレンティストアプローチと呼ばれます。この名前が選ばれたのは、コヒーレンティストアプローチが、自立した信念と導出された信念の両方を含むすべての信念の間の一貫性 (一貫性) を回復することを目的としているためです。このアプローチは、哲学におけるコヒーレンティズムに関連しています。

非演繹的に閉じた信念集合に作用する基礎主義修正演算子は、通常、 と一致するのサブセットをいくつか選択し、それらを何らかの方法で組み合わせてから、 と結合します。以下は、非演繹的に閉じた 2 つの基本修正演算子です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ウィディオ

(疑わしい場合は捨ててください)と一致するの最大部分集合が交差され、 が結果の集合に追加されます。言い換えると、修正の結果は、と一致するのすべての最大部分集合に含まれるのすべての式とによって構成されます。${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

ウィリアムズ

AGM修正と縮約操作を実行できる有限基底の新しい表現を開発することで未解決の問題を解決しました。^[3]この表現は計算モデルに変換され、いつでも信念修正できるアルゴリズムが開発されました。^[4]

ギンズバーグ – フェイギン – ウルマン – ヴァルディ

矛盾がなく、含むの最大部分集合は選言によって結合される。${\displaystyle K\cup \{P\}}$${\displaystyle P}$

ネーベル

上記と似ていますが、数式間に優先順位を付けることができるため、優先順位の高い数式は優先順位の低い数式よりも取り消される可能性が低くなります。

信念修正への基礎的アプローチの別の実現は、信念間の依存関係を明示的に宣言することに基づいています。真理維持システムでは、信念間の依存関係を指定できます。言い換えると、特定の事実が 1 つ以上の他の事実のために信じられていることを明示的に宣言できます。このような依存関係は正当化と呼ばれます。正当化を持たない信念は、非演繹的に閉じた知識ベース アプローチでは非導出信念の役割を果たします。

関連する式のモデル セットに基づく改訂および更新の提案が、AGM フレームワークとは独立して多数開発されました。このアプローチの背後にある原則は、知識ベースが可能な世界のセット、つまりその知識ベースに従って可能と見なされるシナリオのセットと同等であるということです。したがって、改訂は、対応する知識ベースではなく、可能な世界のセットに対して実行できます。

モデルに基づく修正演算子と更新演算子は、通常、Winslett、Forbus、Satoh、Dalal 、Hegner、Weber などの著者名で識別されます。これらの提案の最初の 4 つによると、式を別の式で修正/更新した結果は、のモデルに最も近い のモデルの集合によって特徴付けられます。近さの概念を異なるように定義できるため、これらの提案間の違いが生じます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$

ペッパスとウィリアムズ

改訂と更新の間に形式的な関係を与えた。彼らは、ノートルダム形式論理学ジャーナルでウィンスレット恒等式を導入した。^[1]

ダラル

のモデルとのハミング距離が最小である のモデルが、変更の結果として得られるモデルとして選択される。${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$

佐藤

Dalal に似ていますが、2 つのモデル間の距離は、それらによって異なる値が与えられるリテラルの集合として定義されます。モデル間の類似性は、これらの違いの集合の包含として定義されます。

ウィンスレット

の各モデルについて、 の最も近いモデルが選択され、差異の集合包含を使用して比較が行われます。${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

ボルギダ

とが矛盾する場合は Winslett の と等しい。それ以外の場合は、修正の結果は である。${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K\wedge P}$

フォルバス

Winslett に似ていますが、ハミング距離が使用されます。

ヘグナーによって定義された修正演算子は、が で言及されている変数の値に影響を与えないようにします。この操作の結果はと一致する式であり、したがって と結合できます。ウェーバーによる修正演算子は似ていますが、 から削除されるリテラルはのすべてのリテラルではなく、との最も近いモデルのペアによってSatoh の近似度尺度に従って 異なる評価を受けるリテラルだけです。${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

AGM 公理は、すべての知識ベース に関連付けられる優先順位付け (モデルに対する順序付け) と同等です。ただし、2 つの非同等の知識ベースに対応する順序付けは関係ありません。特に、知識ベースとその改訂版に関連付けられた順序付けは完全に異なる場合があります。 に関連付けられた順序付けはを計算するために必要であるため、2 回目の改訂を実行する場合はこれが問題になります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K*P}$${\displaystyle K*P}$${\displaystyle K*P*Q}$

しかし、とに関連付けられた順序付けとの関係を確立することは、この問題に対する適切な解決策ではないことが認識されています。実際、選好関係は、結果として得られる知識ベースのみではなく、以前の改訂履歴に依存する必要があります。より一般的には、選好関係は、単純な知識ベースよりもエージェントの心の状態についてより多くの情報を提供します。実際、2 つの心の状態は同じ知識を表している一方で、新しい知識が組み込まれる方法が異なる場合があります。たとえば、2 人の人々が休暇の行き先について同じ考えを持っているかもしれませんが、100 万ドルの宝くじに当たった場合にこの考えをどのように変更するかについては異なります。選好順序付けの基本条件は、彼らの最小モデルが関連する知識ベースのモデルとまったく同じであることであるため、知識ベースは暗黙的に選好順序付けによって表されると考えることができます (逆は当てはまりません)。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K*P}$${\displaystyle K}$

優先順位付けにより、関連する知識ベースを導出できるだけでなく、1 ステップの修正も実行できるため、反復修正に関する研究は、優先順位付けを修正に応じてどのように変更するかに集中してきました。1 ステップの修正は、知識ベースを新しい知識ベースにどのように変更するかに関するものですが、反復修正は、優先順位付け (現在の知識と、偽であると考えられる状況がどの程度可能であるかの両方を表す) を、学習時に新しい優先順位関係にどのように変換するかに関するものです。反復修正の 1 ステップで、さらなる修正を可能にする新しい順序付けが生成されます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K*P}$${\displaystyle P}$

通常、数値と非数値の 2 種類の優先順位が考慮されています。前者の場合、モデルの妥当性のレベルは負でない整数で表されます。ランクが低いほど、モデルに対応する状況の妥当性が高くなります。非数値の優先順位は、AGM フレームワークで使用される優先順位関係に対応します。つまり、モデル全体の順序付けです。非数値の優先順位関係は、数値の場合は可能なのに、他の複数の改訂によって改訂を元に戻すことができないため、反復改訂には不適切であると当初考えられていました。

ダルウィッチとパール^[2]は反復改訂について以下の仮説を立てた。

1. もしそうなら;${\displaystyle \alpha \models \mu}$${\displaystyle (\psi *\mu )*\alpha \equiv \psi *\alpha }$
2. もしならば;${\displaystyle \alpha \models \neg \mu}$${\displaystyle (\psi *\mu )*\alpha \equiv \psi *\alpha }$
3. もしならば;${\displaystyle \psi *\alpha \models \mu }$${\displaystyle (\psi *\mu )*\alpha \models \mu }$
4. ならば、。${\displaystyle \psi *\alpha \not \models \neg \mu }$${\displaystyle (\psi *\mu )*\alpha \not \models \neg \mu }$

特定の反復修正演算子は、Spohn、Boutilier、 Williams、Lehmann らによって提案されています。Williamsは、一般的な反復修正演算子も提供しました。

スポーン氏は修正を拒否

この非数値的な提案は、最初に Spohn によって検討されましたが、Spohn は、リビジョンによって順序が一部変更され、他の一連のリビジョンでは元の順序を復元できないという事実に基づいてこの提案を拒否しました。この演算子は、すべての のモデルを他のすべてのモデルよりも優先させることにより、新しい情報を考慮して優先順位を変更します。両方とも のモデルであるか、両方とも の非モデルである 2 つのモデルを比較する場合、元の優先順位は維持されます。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

自然な修正

式 で優先順位付けを修正すると、 のすべての最小モデル（優先順位付けに従って）が他のすべてのモデルよりも優先されるようになります。 の最小モデルではない 2 つのモデルを比較する場合、モデルの元の順序付けは保持されます。この演算子は、 による修正後の知識ベースのモデルが優先順位付けに従っての最小モデルであるという特性を保持しながら、モデル間の順序付けを最小限に変更します。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

変容

ウィリアムズは、変換を用いた信念修正反復の一般化を初めて示した。彼女は、数値的な優先順位付けに作用する条件付けと調整という 2 つの形式の修正を用いて変換を説明した。修正には、式だけでなく、その妥当性の度合いを示す既存の信念の数値または順位付けも必要である。優先順位付けは依然として反転しているが (モデルが低いほど妥当性が高い)、修正式の妥当性の度合いは直接的である (度合いが高いほど、式が最も信じられている)。

ランク付けされた改訂

ランク付けされたモデル (モデルに非負の整数を割り当てる) は、最初に指定する必要があります。このランクは優先順位に似ていますが、リビジョンによって変更されません。リビジョンのシーケンスによって変更されるのは、現在のモデル セット (現在の知識ベースを表す) と、シーケンスのランクと呼ばれる数値です。この数値は単調に減少しないため、リビジョンのシーケンスによっては、それ以降のすべてのリビジョンが完全なミート リビジョンとして実行される状況が発生します。

改訂演算子に暗黙的に含まれている仮定は、新しい情報は常に古い知識ベースよりも信頼性が高いと見なされるということです。これは、AGM 公理の 2 番目によって形式化されます。 は、で改訂した後は常に信じられます。より一般的には、信頼性が同じかどうかわからない複数の情報 (2 つだけではなく) をマージするプロセスを検討することができます。信頼性の低い情報と信頼性の高い情報をマージする場合、改訂はこのプロセスの特定のインスタンスになります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

修正プロセスへの入力は数式 と のペアですが、マージへの入力は数式、などのマルチセットです。 マージ プロセスへの 2 つのソースが同一である可能性があるため、マルチセットの使用が必要です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$

同じ程度の妥当性を持つ複数の知識ベースを統合する場合、仲裁と多数決を区別します。この区別は、情報についての仮定と、その情報をどのようにまとめるかによって異なります。

仲裁

2 つの知識ベースを調停し、を含意する結果。この条件は、古い情報を可能な限り維持するという仮定を形式化します。これは、両方の知識ベースによって含意されるすべての式が、それらの調停の結果によっても含意されると課すことと同等です。可能世界観では、「現実の」世界は、2 つの知識ベースの少なくとも 1 つに従って可能と見なされる世界の 1 つであると想定されます。${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K\vee T}$

過半数

知識ベースを他の知識ベースとマージした結果は、と同等の十分な数の他の知識ベースを追加することによって、を必然的に伴わせることができます。この条件は、一種の多数決に対応します。つまり、十分な数の知識ベースは、常に他の固定された知識ベースのセットの「意見」を克服できます。${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

上記は、アービトレーションの元の定義です。新しい定義によると、アービトレーション演算子は、マージする同等の知識ベースの数に影響されないマージ演算子です。この定義では、アービトレーションは多数決の正反対になります。

仲裁とマージの両方の公理が提案されています。すべての公理を満たす仲裁演算子の例としては、古典的な論理和があります。すべての公理を満たす多数決演算子の例としては、マージする知識ベースのモデルに対する合計ハミング距離が最小であるすべてのモデルを選択することが挙げられます。

マージ演算子は、モデル上の順序付けのファミリとして表現できます。順序付けは、マージする可能性のある知識ベースのマルチセットごとに 1 つずつあります。知識ベースのマルチセットをマージした結果のモデルは、マルチセットに関連付けられた順序付けの最小モデルです。このように定義されたマージ演算子は、順序付けのファミリが特定の条件セットを満たす場合にのみ、マージの公理を満たします。仲裁の古い定義では、順序付けはモデル上ではなく、モデルのペア (または一般にはタプル) 上にあります。

多くの修正提案には、可能性のある選択肢の相対的な妥当性を表すモデルに対する順序付けが含まれます。マージの問題は、一連の順序付けを、選択肢の組み合わせた妥当性を表現する単一の順序付けに結合することです。これは、エージェントのグループの選好を合理的な方法で組み合わせる方法を研究する社会選択理論で行われていることと似ています。信念の修正と社会選択理論は、一連の順序付けを 1 つに結合するという点で似ています。両者は、これらの順序付けの解釈方法が異なります。社会選択理論では選好が、信念の修正では妥当性が解釈されます。もう 1 つの違いは、社会選択理論では選択肢が明示的に列挙されるのに対し、信念の修正では選択肢が特定のアルファベットに対する命題モデルであることです。

計算の複雑さの観点から、信念の修正に関して最も研究されている問題は、命題の場合のクエリ応答の問題です。これは、修正の結果、つまり から式が従うかどうかを確定する問題です。ここで、、、およびは命題式です。より一般的には、クエリ応答は、更新、マージ、修正、反復修正などの信念の修正の結果によって式が含意されるかどうかを伝える問題です。注目を集めているもう 1 つの問題は、モデル検査の問題です。つまり、モデルが信念の修正の結果を満たすかどうかをチェックします。関連する質問は、そのような結果をその引数の空間多項式で表現できるかどうかです。 ${\displaystyle K*P\models Q}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

演繹的に閉じた知識ベースは無限であるため、演繹的に閉じた知識ベース上で動作する信念修正演算子の複雑性の研究は、そのような演繹的に閉じた知識ベースが同等の有限の知識ベースの形式で与えられるという仮定の下で行われます。

信念修正演算子と信念修正スキームは区別されます。前者は一対の式を別の式にマッピングする単純な数学演算子ですが、後者は選好関係などの追加情報に依存します。たとえば、Dalal 修正は演算子です。2 つの式 とが与えられると、 を計算するために他の情報は必要ないからです。一方、選好関係に基づく修正は修正スキームです。モデル間の選好順序の族が与えられていない場合、 と では修正の結果を判断できないからです。修正スキームの複雑さは、修正を計算するために必要な追加情報が何らかの簡潔な形式で与えられるという仮定で決まります。たとえば、選好関係は、モデルが次第に好まれる式のシーケンスで表すことができます。代わりに、関係をモデルのペアのセットとして明示的に格納することは、必要なスペースが命題文字の数の指数関数的であるため、選好の簡潔な表現ではありません。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K*P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

命題の場合のクエリ回答とモデル チェックの複雑さは、ほとんどの信念修正演算子とスキーマの多項式階層の 2 番目のレベルにあります。ほとんどの修正演算子は、表現の爆発の問題に悩まされています。つまり、2 つの式を修正した結果は、必ずしも 2 つの元の式の空間多項式で表現できるとは限りません。言い換えると、修正によって知識ベースのサイズが指数関数的に増加する可能性があります。

関連性が信念の修正にどのように活用できるかを示す画期的な新しい結果が達成されました。ウィリアムズ、ペッパス、フー、チョプラは、この結果を人工知能ジャーナルで報告しました。^[5]

信念の修正は、閉鎖的なネットワークにおける内在的社会資本の認識を示すためにも使用されてきた。^[6]

信念の修正を具体的に実装するシステムは次のとおりです。

• SATEN – オブジェクト指向のWebベースの修正および抽出エンジン（ウィリアムズ、シムズ）^[7]
• ADS – SATソルバーベースの信念修正（Benferhat、Kaci、Le Berre、Williams）^[8]
• BReLS ^[9]
• 不滅^[10]

信念修正機能を備えた2つのシステムはSNePS ^[11]とCycである。

• PhilPapersでの信念の修正
• インディアナ哲学オントロジープロジェクトにおける信念の論理の改訂
• ザルタ、エドワード N. (編)。「信念の論理の改訂」スタンフォード哲学百科事典。
• 無効化可能な推論:スタンフォード哲学百科事典の4.3 信念修正理論