サンクトペテルブルクのパラドックス

サンクトペテルブルクのパラドックス、またはサンクトペテルブルクの宝くじ^[1]は、コインを投げるゲームに関係するパラドックスで、宝くじゲームの期待される報酬は無限であるにもかかわらず、参加者にとっては非常にわずかな金額しか価値がないように見えます。サンクトペテルブルクのパラドックスは、期待値のみを考慮した単純な決定基準が、実際の人がおそらく誰も取ろうとしないであろう行動方針を予測する状況です。このパラドックスの解決策はいくつか提案されており、カジノがゲームを無期限に続けるために必要な金額は不可能である、などです。

この問題はニコラ・ベルヌーイによって考案され、^[2]彼は1713年9月9日にピエール・レイモンド・ド・モンモールに宛てた手紙の中でこの問題を述べています。 ^{[3] [4]}しかし、このパラドックスの名前は、ニコラの従兄弟でかつてサンクトペテルブルクに住んでいたダニエル・ベルヌーイによる分析に由来しています。ベルヌーイは1738年にサンクトペテルブルク帝国科学アカデミーの解説でこの問題についての考えを発表しました。^[5]

カジノでは、各ステージで公平なコインを投げる、 1人のプレイヤー向けのチャンスゲームを提供しています。最初の賭け金は2ドルから始まり、裏が出るたびに2倍になります。最初に表が出たらゲームは終了し、プレイヤーは現在の賭け金の何倍かを獲得します。したがって、最初の投げで表が出ればプレイヤーは2ドルを獲得し、最初の投げで裏が出、2回目で表が出れば4ドル、最初の2回の投げで裏が出、3回目で表が出れば8ドルを獲得します。数学的には、プレイヤーはドルを獲得します。ここで、 は連続して裏が出た回数です。^[5]カジノにゲームに参加するために支払う公正な価格はいくらでしょうか? ${\displaystyle 2^{k+1}}$${\displaystyle k}$

この質問に答えるには、各段階での予想される支払い額がいくらになるかを考える必要があります。確率は1/2⁠、プレイヤーは2ドルを獲得します。確率⁠1/4⁠プレイヤーは4ドルを獲得します。確率は⁠1/8⁠プレイヤーは8ドルを獲得し、以下同様に続きます。コイントスの結果が裏である限りゲームが継続し、特にカジノが無制限のリソースを持っていると仮定すると、期待値は

${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}\cdot 2+{\frac {1}{4}}\cdot 4+{\frac {1}{8}}\cdot 8+{\frac {1}{16}}\cdot 16+\cdots \\&=1+1+1+1+\cdots \\&=\infty \,.\end{aligned}}}$

この金額は際限なく増加するため、予想される勝利金は無限大となります。

したがって、自分の金銭的資産の純変化の期待値だけを考慮すると、機会があればどんな価格でもゲームに参加すべきである。しかし、ダニエル・ベルヌーイは、初期賭け金が 1ドゥカットのゲームについて説明した後に、「標準的な計算では [プレイヤーの] 期待値は無限に大きいことが示されるが、かなり合理的な人なら誰でも、喜んで 20 ドゥカットでチャンスを売るだろうことは認めなければならない」と述べた。^[5]ロバート・マーティンは、イアン・ハッキングが「このようなゲームに参加するために 25 ドルも支払う人はほとんどいない」と述べたと引用し、ほとんどのコメンテーターが同意するだろうと述べている。^[6]明らかな矛盾は、人々がゲームに参加するために喜んで支払うと思われる金額と無限の期待値との間の食い違いである。^[5]

このパラドックスを解決するためにいくつかのアプローチが提案されています。

このパラドックスの古典的な解決には、効用関数、期待効用仮説、および貨幣の 限界効用逓減の推定を明示的に導入することが含まれていました。

ダニエル・ベルヌーイによれば:

品物の価値は、価格ではなく、それがもたらす効用に基づいて決定されなければならない... 1,000ドゥカットの利益は、貧乏人にとっては金持ちよりも重要であることは間違いないが、両者の利益は同じである。

ダニエル・ベルヌーイが提案した一般的な効用モデルは、対数関数 U ( w ) = ln( w ) ( log 効用として知られる) です。これはギャンブラーの総資産wの関数であり、お金の限界効用逓減の概念が組み込まれています。期待効用仮説は、実際の人々の行動の良い基準となる効用関数、つまり賭けが良いギャンブルであるかどうかを示す正または負の値を返す関数が存在すると仮定しています。起こり得る各イベントについて、効用の変化ln(イベント後の資産) − ln(イベント前の資産) は、そのイベントが発生する確率によって重み付けされます。ゲームに参加するために請求されるコストをcとします。宝くじの期待される増分効用は、有限値に収束します。

${\displaystyle \Delta E(U)=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\left[\ln \left(w+2^{k}-c\right)-\ln(w)\right]<+\infty \,.}$

この式は、ギャンブラーの富と、ギャンブラーが支払う意思のある金額（具体的には、期待効用がプラスに変化する任意のc）との間の暗黙の関係を示します。たとえば、自然対数効用では、百万長者（1,000,000 ドル）は最大 20.88 ドルを支払う意思があり、1,000 ドルの人は最大 10.95 ドルを支払う意思があり、2 ドルの人は 1.35 ドルを借りて最大 3.35 ドルを支払う意思があります。

ダニエル・ベルヌーイの1738年の発表以前に、ジュネーブの数学者ガブリエル・クラマーは1728年にすでにこのアイデアの一部を発見しており（これもサンクトペテルブルクのパラドックスに触発されたもの）、次のように述べている。

数学者はお金の量に応じてお金の価値を評価し、良識のある人はお金の使い方に応じてお金の価値を評価する。

^{彼はニコラ・ベルヌーイ[7]}への手紙の中で、利得の限界利益が減少することを記述する平方根関数が問題を解決できることを示した。しかし、ダニエル・ベルヌーイとは異なり、彼は個人の総資産ではなく、宝くじによる利益のみを考慮した。

しかし、クラマーとベルヌーイによるこの解決策は、完全に満足できるものではありません。なぜなら、宝くじは簡単に変更でき、パラドックスが再び現れる可能性があるからです。この目的を達成するには、ゲームを変更して、さらに急速に増加する報酬を与えるようにすればよいのです。任意の無制限の効用関数に対して、メンガーが最初に指摘したように、サンクトペテルブルクのパラドックスの変種を可能にする宝くじを見つけることができます。^[8]

最近、期待効用理論は、より行動的な意思決定モデルに到達するように拡張されました。累積的見通し理論などの新しい理論のいくつかでは、サンクトペテルブルクのパラドックスは、効用関数が凹面であっても、それが有界である場合には現れない特定のケースで再び現れます。^[9]

ニコラ・ベルヌーイ自身が、このパラドックスを解決する別のアイデアを提案した。彼は、人々は起こりそうもない出来事を無視するだろうと推測した。^[4]サンクトペテルブルクの宝くじでは、起こりそうもない出来事だけが、無限の期待値につながる高額賞金をもたらすので、このアイデアはパラドックスを解決する可能性がある。確率加重のアイデアは、ずっと後になって、ダニエル・カーネマンとエイモス・トベルスキーによるプロスペクト理論の研究で再び浮上した。ポール・ヴァイリッヒも同様に、リスク回避がパラドックスを解決する可能性があると書いた。ヴァイリッヒはさらに、賞金を増やすと、実際に誰かがゲームに参加するためにお金を払う可能性が減ると書き、「手元にある鳥の数は、藪の中にいる鳥の数より価値がある」と述べた。^{[10] [11]}しかし、一部の理論家は、ギャンブルのリスクを楽しむ人がいること、賞金を増やすとリスクが増えると想定するのは非論理的であることを理由に、このアイデアを否定している。

累積的プロスペクト理論は、多くの行動規則性を予測できる期待効用理論の一般的な一般化の 1 つです。 ^{[12]しかし、累積的プロスペクト理論で導入された小さな確率イベントの過大評価は、サンクトペテルブルクのパラドックスを復活させる可能性があります。累積的プロスペクト理論は、}効用関数のべき乗係数が確率重み付け関数のべき乗係数よりも低い場合にのみ、サンクトペテルブルクのパラドックスを回避します。 ^[13]直感的には、効用関数は単に凹型である必要はなく、サンクトペテルブルクのパラドックスを回避するには、確率重み付け関数に対して凹型である必要があります。プロスペクト理論の式は 400 ドル未満の領域で得られると主張することもできます。^[12]これは、サンクトペテルブルクのパラドックスの無限に増加する合計には適用できません。

古典的なサンクトペテルブルクのゲームでは、カジノまたは銀行家が無限の資金を持っていると想定されています。この想定は長い間、非現実的であると疑問視されてきました。^{[14] [15]} アレクシス・フォンテーヌ・デ・ベルタンは、1754年に、このゲームの潜在的な支援者の資金は有限であると指摘しました。 ^[16]さらに重要なことは、ゲームの期待値はカジノの資金に対して対数的にしか増加しないことです。その結果、ゲームの期待値は、現実的に考えられる最大の資金を持つカジノと対戦した場合でも、非常に控えめです。1777年、ジョルジュ・ルイ・ルクレール・ド・ビュフォン伯爵は、29ラウンドのプレイ後、フランス王国には賭け金をカバーするのに十分なお金がないだろうと計算しました。^[17]

カジノの資源が有限であれば、その資源が尽きるとゲームは終了する。^[15]カジノの総資源（または最大ジャックポット）がWドル（より一般的には、Wはゲームの初期賭け金の半分の単位で測定される）であるとする。すると、カジノが次の賭け金を完全にカバーできなくなるまでにプレイできる最大回数は、L = ⌊ log ₂ ( W ) ⌋となる。^{[18] [注1]}カジノが賭け金をカバーできなくなった時点でゲームが終了すると仮定すると、宝くじの期待値Eは次のようになる。 ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\sum _{k=1}^{L}{\frac {1}{2^{k}}}\cdot 2^{k}=L\,.\end{aligned}}}$

次の表は、さまざまな潜在的なバンカーとその資金Wによるゲームの期待値E を示しています。

注:プレイヤーがカジノの資金よりも多く勝った場合はカジノが持っている全額が支払われるというゲーム ルールでは、追加の期待値はカジノがもう 1 ラウンドをカバーするのに十分な資金を持っている場合よりも少なくなります (つまり 1 ドル未満)。プレイヤーがWに勝つには、ラウンドL +1 をプレイする必要があります。したがって、追加の期待値はW /2 ^{L +1}です。

無限の資源という前提は、経済学においてさまざまな明らかなパラドックスを生み出します。マーチンゲール法では、コインを投げて賭けるギャンブラーは、負けるたびに賭け金を倍にして、最終的な勝利ですべての損失をカバーします。このシステムは資金が有限の場合に機能しません。ギャンブラーの破産の概念は、勝ったときに賭け金を資金の一定の割合まで増やし、負けたときに賭け金を減らさない粘り強いギャンブラーは、たとえゲームの期待値がプラスであっても、最終的には必然的に破産することを示しています。

ビュフォン^[17]は、合理的行動の理論は、合理的な意思決定者が現実の生活の中で行うことと一致していなければならないと主張し、合理的な人々は起こりそうにない出来事を定期的に無視するので、合理的な意思決定者もそのようなまれな出来事を無視するべきであると主張した。

無視できる閾値の推定として、彼は、56 歳の男性が、当時の死亡率表によると 1/10189 の確率であった今後 24 時間以内に死亡する可能性を無視するので、1/10,000 未満の確率のイベントは無視できると主張しました。これを仮定すると、サンクトペテルブルクのゲームの期待される利益はわずか です。 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{13}2^{k}{\frac {1}{2^{k}}}=13}$

ジャン・ル・ロン・ダランベールやジョン・メイナード・ケインズを含む多くの著者は、期待の最大化（効用の最大化も含む）を適切な行動規範として否定している。^{[23] [24]}特にケインズは、代替案の相対リスク^{[明確化が必要]}は、たとえその期待値が莫大であっても、それを否定するほどに高い可能性があると主張した。^[24]最近、一部の研究者は、公正価値として期待値を中央値に置き換えることを提案している。^{[25] [26]}

乗法的なダイナミクスを仮定した本質的な数学的議論を含む初期の解決策は、1870年にウィリアム・アレン・ウィットワースによって提唱されました。^[27]エルゴード性問題との明確な関連は、 2011年にピーターズによって示されました。 ^{[28]これらの解決策は、数学的には}ケリー基準または対数効用を使用することに似ています。純粋な乗法的なケースを超えた一般的なダイナミクスは、2020年にカーとチェルビニによって指摘されたように、非対数効用関数に対応することができます。^[29]

サンクトペテルブルクのパラドックスを解決するために多くの関心を集めているアプローチの1つは、戦略の認知的側面に関連するパラメータを使用することです。このアプローチは、金融における非エルゴードシステムの研究によって開発されました。金融市場の非定常性に関する研究は数多くあります。^{[30] [31]}

統計的観点から見ると、現象に関する知識は予測の確率の増加につながります。実際には、有用な情報を実装する非ランダム予測アルゴリズムによって生成された結果は、ランダムに再現することはできません (予測の数が増えるにつれて、確率はゼロに近づきます)。したがって、戦略が認知的に機能するかランダムに機能するかを理解するには、ランダムに同等またはより良い結果を得る確率を計算するだけで済みます。サンクトペテルブルクのパラドックスの場合、倍増戦略は、完全にランダムではあるが賭けの合計値の点で同等である定数賭け戦略と比較されました。この比較から、ランダム定数賭け戦略は、賭けの数が増えるにつれて確率が 50% に近づく傾向で、より良い結果を得ることが示されています。倍増戦略がシステムに関する何らかの有用な情報を利用した場合、この確率は 50% に収束するのではなく、ゼロに近づくはずです。これは、この戦略が有用な情報を使用していないことを示しています。

この観点から、サンクトペテルブルクのパラドックスは、期待される利益が無限大に近づくということは、必ずしも認知的かつ非ランダムな戦略の存在を意味するわけではないことを教えてくれます。その結果、意思決定の観点から、知識が期待される利益よりも重要であるという価値の階層を作成することができます。

このパラドックスは3世紀も前から存在しているが、近年でも新たな議論が導入されている。

ウィリアム・フェラーはサンプリングを伴う解決策を提案した。^[32]直感的にフェラーの答えは「このゲームを多数の人々で実行し、サンプル抽出から期待値を計算する」というものである。この方法では、無限回のゲームが可能な場合、期待値は無限大になり、有限回の場合には、期待値ははるかに小さい値になる。

ポール・サミュエルソンは、たとえある団体が無限の資源を持っていたとしても、ゲームは決して提供されないだろうと論じることで、このパラドックスを解決している^[33]。宝くじがプレイヤーにとって無限の期待利益を表すなら、それはまた、主催者にとって無限の期待損失を表す。ゲームは決して提供されないので、誰もゲームにお金を払うことは観察されない。サミュエルソンは、この議論を次のように要約している。「ポールは、ピーターがそのような契約に要求するほどの金額を喜んで支払うことは決してないだろう。したがって、示された活動は、強度ゼロの均衡レベルで行われるだろう。」

サンクトペテルブルクゲームの多くのバリエーションは、ゲームの提案された解決策に対抗するために提案されています。^[11]

例えば、「パサデナゲーム」では、^[34]をコインを投げる回数とすると、が奇数の場合、プレイヤーは 単位の効用を獲得し、 でない場合、プレイヤーは単位の効用を失う。このとき、このゲームから期待される効用は となる。しかし、この合計は絶対収束しないので、正または負の無限大を含む任意の数になるように並べ替えることができる。これは、パサデナゲームの期待効用が合計の順序に依存することを示唆しているが、標準的な意思決定理論では合計の順序を選択するための原則的な方法は提供されていない。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n}}}$${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$

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• サンクトペテルブルク宝くじのオンラインシミュレーション