楕円体上の測地線

図2．子午線楕円の微分要素。

図3．楕円体上の測地線の微分要素。

ここでは測地線の式が展開されます。その導出はBessel (1825)の導出にほぼ従っています。Jordan & Eggert (1941) 、 Bagratuni (1962 、§15)、Gan'shin (1967 、第5章)、Krakiwsky & Thomson (1974 、§4)、Rapp (1993 、§1.2)、Jekeli (2012)、およびBorre & Strang (2012)もこれらの式の導出を提供しています。

赤道半径a、極半軸bの回転楕円体を考える。扁平率f、離心率e、および第 2 離心率e ′を定義する。

$${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\quad e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {f(2-f)}},\quad e'={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}={\frac {e}{1-f}}.}$$

（測地学におけるほとんどの応用例では、楕円体は扁平楕円体（ a > b ）とみなされますが、この理論は長楕円体（a < b）にも変更なく適用でき、その場合、 f、e ²、およびe ′ ²は負の値となります。）

楕円体上の経路の基本セグメントの長さをdsとする。図 2 および図 3 から、その方位角がαの場合、ds はdφおよびdλと次の 関係にあることがわかる。$${\displaystyle \cos \alpha \,ds=\rho \,d\varphi =-{\frac {dR}{\sin \varphi }},\quad \sin \alpha \,ds=R\,d\lambda ,}$$（１） ここで、ρは子午線方向の曲率半径、R = ν cos φは緯度φの円の半径、νは法線方向の曲率半径である。したがって、基本セグメントは次のように与えられる。 $${\displaystyle ds^{2}=\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+R^{2}\,d\lambda ^{2}}$$ または $${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\sqrt {\rho ^{2}\varphi '^{2}+R^{2}}}\,d\lambda \\[3mu]&\equiv L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,\end{aligned}}}$$ ここで、φ ′ = dφ / dλであり、ラグランジュ関数L はρ ( φ )とR ( φ )を介してφに依存します。 ( φ ₁ , λ ₁ )と( φ ₂ , λ ₂ )の間の任意の経路の長さは次のように与えられます。 $${\displaystyle s_{12}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,}$$ ここで、φはφ ( λ ₁ ) = φ ₁およびφ ( λ ₂ ) = φ ₂を満たすλの関数である。最短経路または測地線は、s ₁₂を最小化する関数φ ( λ )を見つけることである。これは変分法の演習であり、最小化条件はベルトラミ恒等式によって与えられる。 $$${\displaystyle L-\varphi '{\frac {\partial L}{\partial \varphi '}}={\text{const.}}}$$$L を代入し、式(1)を用いる と、$${\displaystyle R\sin \alpha ={\text{const.}}}$$クレロー（1735）は幾何学的構成を用いてこの関係式を発見した。同様の導出はリュステルニク（1964 、§10）によっても示されている。^{[ 2 ]} この関係式を微分すると次のようになる。 $${\displaystyle d\alpha =\sin \varphi \,d\lambda .}$$ これは、式（1）と合わせて、測地線に関する 常微分方程式系につながる。$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos \alpha }{\rho }};\quad {\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\nu \cos \varphi }};\quad {\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\tan \varphi \,\sin \alpha }{\nu }}.}$$R をパラメトリック緯度βを用いて 表すと、$${\displaystyle R=a\cos \beta ,}$$ そしてクレローの関係は $${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cos \beta _{1}=\sin \alpha _{2}\cos \beta _{2}.}$$

図4．補助球にマッピングされた測地線問題。

図5．補助球面上の基本的な測地線問題。

これは、三角形NAB (図4 を参照)の2辺NA = 1 ⁄ 2 π − β ₁およびNB = 1 ⁄ 2 π − β 2とそれらの対角B = π − α ₂およびA = α _{1を関連付ける球面}三角_法の正弦定理です。 

3 辺AB = σ ₁₂、球面弧長、および挟角N = ω ₁₂、球面経度の関係を求めるには、赤道から始まる測地線を表す三角形NEPを考慮すると便利です。図 5 を参照してください。この図では、補助球を参照した変数が示されており、対応する楕円体の量が括弧内に示されています。添え字のない量は任意の点Pを参照しています。測地線が北向きに赤道を横切る点Eは、 σ、s、ωの原点として使用されます。

側面EPをPを微小移動させることで拡張すると（図6参照）、 $${\displaystyle \cos \alpha \,d\sigma =d\beta ,\quad \sin \alpha \,d\sigma =\cos \beta \,d\omega .}$$（２） 式（１）と（２）を組み合わせると、 sとλに関する微分方程式が得られる。$${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}.}$$

βとφの関係は $${\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi =(1-f)\tan \varphi ,}$$ これにより $${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }},}$$ 測地線の微分方程式は次のようになる $${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}.}$$

最後のステップは、σ をこれら両方の微分方程式の独立パラメータとして使用し、それによってsとλ を積分として表現することです。図 5 の 球面三角形EGPの頂点EとGに正弦定理を適用すると、次のようになります。$${\displaystyle \sin \beta =\sin \beta (\sigma$$ ;\alpha _{0})=\cos \alpha _{0}\sin \sigma ,} ここでα _0はEにおける方位角である。これをds / d σの式に代入し、結果を積分すると次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {s}{b}}=\int _{0}^{\sigma }{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}\,d\sigma ',}$$ （ ３）$${\displaystyle k=e'\cos \alpha _{0},}$$ 積分範囲はs ( σ = 0) = 0となるように選択されます。 ルジャンドル (1811 年、180 ページ)は、 sの式は半軸がb √ 1 + e ′ ² cos ² α ₀およびbの楕円上の弧の式と同じであることを指摘しました。λ の式をσで表すために、次のように書きます 。$${\displaystyle d\omega ={\frac {\sin \alpha _{0}}{\cos ^{2}\beta }}\,d\sigma ,}$$これは式2とクレローの関係 から導かれる。これにより、$${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}=\omega -f\sin \alpha _{0}\int _{0}^{\sigma }{\frac {2-f}{1+(1-f){\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}}}\,d\sigma ',}$$（４） 積分範囲は、赤道通過時にλ = λ _{0 、} σ = 0となるように選択する。

これで、補助球を用いた測地線の経路の解法が完了する。この方法により、大円を回転楕円体上の測地線に正確にマッピングすることができる。

地球上の楕円体（わずかに扁平化している）上の測地線を近似する方法もいくつかあります（Rapp 1991 、§6） 。これらのいくつかは、地理的距離に関する記事で説明されています。ただし、これらの方法は通常、厳密解を求める方法と同程度の複雑さです（Jekeli 2012 、§2.1.4）。

扁平楕円体 ( f = 1/50 )上の測地線、 α ₀ =45°。

図8．楕円体上の測地線に沿って約5周する。

図9．約70周回後の同じ測地線。

図7は、経線（緑色）と赤道（赤色）からなる単純な閉測地線を示しています。（ここで「単純」とは、測地線が自己交差することなく自己閉じていることを意味します。）これは、前の節で示した測地線の式から導かれます。

他のすべての測地線は、図8および図9に代表される。図8および図9は、赤道上でα₀ = 45°で始まる測地線を示している_。測地線は赤道を中心に振動する。赤道との交点はノードと呼ばれ、最大または最小緯度の点は頂点と呼ばれる。頂点のパラメトリック緯度はβ = ± ( 1 ⁄ 2 π − | α ₀ |)で与えられる。測地線は、経度が増加する前に緯度で1回の完全な振動を完了する。360°。したがって、赤道を北向きに横断するたびに（図 8 を参照）、λ は赤道の完全な周回に約2 π f sin α ₀だけ短くなります（長楕円体の場合、この値は負になり、λ は完全な周回よりも長くなります。図 10 を参照）。α 0のほぼすべての値に対して、測地線は 2 つの頂点緯度の間の楕円体の部分を埋めます（図 9 を参照_） 。

扁平楕円体b ⁄ a = 2 ⁄ 7に対する 2 つの追加の閉じた測地線。

図11．側面図。

図12．上面図。

楕円体が十分に扁平である場合、すなわちb ⁄ a < 1 ⁄ 2 の場合、別の種類の単純な閉じた測地線が可能である( Klingenberg 1982 、§3.5.19)。そのような測地線が 2 つ、図 11 と図 12 に示されている。ここで、b ⁄ a = 2 ⁄ 7であり、緑色 (青色) の測地線の赤道方位角α _{0は次のように選択されている。}53.175°（それぞれ）75.192°）、そのため測地線は楕円体の一周で赤道を中心に2回（または3回）の完全な振動を完了します。

図13は、 α1がA_の倍数で ある測地線（青色）を示しています。最短経路でなくなる点まで15°まで。 (楕円体効果を強調するために、扁平率を 1/10 に増やしました。) また、(緑色で) 一定の s 12 の曲線も示されており、これはAを中心とする測地円です_。ガウス(1828) は、任意の曲面上で測地線と測地円が直角に交わることを示しました。

赤い線はカット軌跡、つまりAから複数の (この場合は 2 つ) 最短測地線を持つ点の軌跡です。球面上では、カット軌跡は点です。扁平楕円体 (ここに示されている) 上では、 Aの対蹠点φ = − φ ₁を中心とする緯線円のセグメントです。カット軌跡の経度方向の広がりは、およそλ ₁₂ ∈ [ π (1 − f cos φ ₁ ), π (1 + f cos φ ₁ )]です。A が赤道上にある場合、φ ₁ = 0 となり、この関係は正確であるため、結果として、 | λ ₁₂ | ≤ π (1 − f )の場合にのみ赤道が最短測地線となります。長楕円体の場合、切断軌跡はAの対蹠点 λ 12 ₌ πを中心とする反子午線の線分であり、これは子午線測地線が対蹠点に到達する前に最短経路でなくなることを意味します。

測地線に関する様々な問題では、測地線が摂動を受けた際の挙動を知ることが不可欠です。これは、三角関数の調整（Ehlert 1993 ）、測地線に沿って伝わる信号の物理的特性の決定などに役立ちます。パラメータsで表される基準測地線と、そこからわずかな距離t ( s )だけ離れた 第 2 の測地線を考えます。ガウス (1828) は、t ( s )がガウス・ヤコビ方程式に従うことを示しました。$${\displaystyle {\frac {d^{2}t(s)}{ds^{2}}}+K(s)t(s)=0,}$$

ここで、K ( s )はsにおけるガウス曲率である。2階線形同次微分方程式として、その解は2つの独立した解の和として表すことができる。 $${\displaystyle t(s_{2})=Cm(s_{1},s_{2})+DM(s_{1},s_{2})}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}m(s_{1},s_{1})&=0,&\left.{\frac {dm(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}&=1,\\[6mu]M(s_{1},s_{1})&=1,&\left.{\frac {dM(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}&=0.\end{aligned}}}$$ 量m ( s ₁ , s ₂ ) = m ₁₂は、いわゆる縮尺であり、M ( s ₁ , s ₂ ) = M ₁₂は測地尺度である。^{[ 3 ]} これらの基本的な定義は図 14 に示されている 。

回転楕円体のガウス曲率は $${\displaystyle K={\frac {1}{\rho \nu }}={\frac {{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{4}{\bigl (}1-e^{2}\cos ^{2}\beta {\bigr )}^{2}}}.}$$ヘルマート（1880年、式（6.5.1.））は、この場合のガウス・ヤコビ方程式を解き、m ₁₂とM ₁₂を積分として表すことができるようにした。

図 14 (上部のサブ図) からわかるように、同じ点から始まり方位角がd α _{1だけ異なる 2 つの測地線の間の距離は}m ₁₂ d α ₁です。楕円体のような閉じた曲面では、m _{12 はゼロを中心に振動します。m 12}がゼロになる点は、始点と共役な点です。AとBの間の長さs ₁₂の測地線が最短経路であるためには、A と B の間に A と共役な点が存在しないというヤコビ条件 (Jacobi 1837) (Jacobi 1866、§6) (Forsyth 1927、§§26–27) (Bliss 1916) を満たす必要があります。この条件が満たされない場合、より短い近くの経路(必ずしも測地線ではない)が存在します。したがって、ヤコビ条件は測地線の局所的な性質であり、測地線がグローバルな最短経路となるための必要条件にすぎません。測地線が最短経路となるための必要十分条件は次のとおりです。

• 扁円楕円体の場合、| σ12 |_​ ≤ π ;
• 扁長楕円体の場合、| λ12 |_​ ≤ π、α ₀ ≠ 0の場合。α ₀ = 0の場合、 |の場合、補足条件m ₁₂ ≥ 0が必要です。 λ12 |_​ = π。

1点からの測地線 ( f = 1 ⁄ 10、φ ₁ =−30°）

図15. φ1 ₌の点Aからの測地線の包絡線−30°。

図16. 点Aと点Bを結ぶ4つの測地線、φ2 ₌26°、 λ ₁₂ =175°。

特定の点Aからの測地線を切断軌跡を超えて延長すると、図 15 に示すような包絡線が形成される。ここで、 α _{1 が}の倍数で ある測地線は、3°は水色で示されています。(測地線は、対蹠点に最初に近づくときのみ表示され、それ以降の通過については表示されません。) いくつかの測地円は緑色で示されています。これらは包絡線上に尖点を形成します。切断軌跡は赤色で示されています。包絡線はAと共役な点の軌跡です。包絡線上の点は、測地線上でm ₁₂ = 0となる点を見つけることで計算できます。ヤコビ (1891) は、包絡線によって生成されるこの星形図形をアストロイドと呼んでいます。

アストロイドの外側では、各点で 2 つの測地線が交差します。したがって、Aとこれらの点の間には 2 つの測地線 (長さは楕円体の円周の約半分) が存在します。これは、球面上で 2 点間の大円上に「短い」経路と「長い」経路が存在する状況に対応します。アストロイドの内側では、各点で 4 つの測地線が交差します。このような 4 つの測地線が図 16 に示されており、測地線は長さの増加順に番号が付けられています。(この図では、Aの位置は図 13 と同じで、同じ投影法で描かれています。) 2 つの短い測地線は安定しており、つまりm ₁₂ > 0であるため、2 点を結ぶより短い経路は近くに存在しません。他の 2 つの測地線は不安定です。最短の線 (最初の線) のみがσ ₁₂ ≤ πを満たします。すべての測地線は、図に緑色で示されている包絡線に接しています。

アストロイドは、点Aを中心とする測地線円の（外側の）外転曲線である。同様に、測地線円はアストロイドの内転曲線である。

測地線多角形とは、辺が測地線である多角形のことです。これは、辺が大円である球面多角形に類似しています。このような多角形の面積は、まず測地線セグメントと赤道の間の面積、すなわち図1の四角形AFHBの面積を計算することによって求められます（Danielsen 1989 ）。この面積が分かれば、多角形のすべての辺からの寄与を合計することによって、多角形の面積を計算できます。

ここでは、Sjöberg (2006)に従ってAFHBの面積S _{12 の}式が導出される。楕円体の任意の閉じた領域の面積は $${\displaystyle T=\int dT=\int {\frac {1}{K}}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$$ ここで、dTは表面積の要素であり、Kはガウス曲率である。ここで、測地線多角形に適用される ガウス・ボンネの定理は次のようになる。$${\displaystyle \Gamma =\int K\,dT=\int \cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$$ どこ $${\displaystyle \Gamma =2\pi -\sum _{j}\theta _{j}}$$ は測地線超過であり、_θ j_は頂点jにおける外角である。Γ の式にR 2 ₂^を掛け、これをTの式から引くと、次のようになる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}T&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {1}{K}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda \\[3mu]&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {b^{2}}{{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,\end{aligned}}}$$ ここで、楕円体のKの値が代入されている。この式を四角形AFHBに適用し、Γ = α ₂ − α ₁であることに注意して、 φについて積分を実行すると、次 のようになる。$${\displaystyle S_{12}=R_{2}^{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})+b^{2}\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}\left({\frac {1}{2{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}}}+{\frac {\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )}{2e\sin \varphi }}-{\frac {R_{2}^{2}}{b^{2}}}\right)\sin \varphi \,d\lambda ,}$$ ここで、積分は測地線に沿って行われる（したがって、φは暗黙的にλの関数である）。積分は、小さなf に対して有効な級数として表現できる（Danielsen 1989 ）（Karney 2013 、§6）。

測地多角形の面積は、その辺に沿ってS _{12 を}合計することで求められます。この結果は、多角形に極が含まれていない場合に成り立ちます。極が含まれている場合は、合計に2 π R ₂ ²を加える必要があります。辺が頂点によって指定されている場合、測地超過E ₁₂ = α ₂ − α ₁の便利な式は次のようになります。 $${\displaystyle \tan {\frac {E_{12}}{2}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}+\beta _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}-\beta _{1})}}\tan {\frac {\omega _{12}}{2}}.}$$

測地線問題を解くには、測地線を補助球面にマッピングし、大円航法における対応する問題を解く必要がある。図 5 のNEPの「基本的な」球面三角形を解く場合 、四分三角形に対するネイピアの規則を用いることができる。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \alpha _{0}&=\sin \alpha \,\cos \beta &&=\tan \omega \,\cot \sigma ,\\\cos \sigma \,&=\cos \beta \,\cos \omega &&=\tan \alpha _{0}\cot \alpha ,\\\cos \alpha \,&=\cos \omega \,\cos \alpha _{0}&&=\cot \sigma \,\tan \beta ,\\\sin \beta \,&=\cos \alpha _{0}\sin \sigma &&=\cot \alpha \,\tan \omega ,\\\sin \omega \,&=\sin \sigma \,\sin \alpha &&=\tan \beta \,\tan \alpha _{0}.\end{alignedat}}}$$ 測地線のマッピングには、距離sと経度λの積分を評価する式(3)と(4)が含まれ、これらはパラメータα ₀に依存します。

直接的な問題を扱うのは簡単です。なぜなら、α _{0 は与えられた量}φ ₁とα ₁から直接決定できるからです。計算例については、Karney (2013)を参照してください。

逆問題の場合、λ _{12は与えられていますが、} α ₀が未知であるため、これを等価球面角ω ₁₂と容易に関連付けることはできません。したがって、この問題を解くには、α ₀を反復的に求める（根を求める）必要があります。詳細はKarney (2013)を参照してください。

測地学の応用では、fが小さい場合、積分は通常、級数として評価されます( Legendre 1806 ) ( Oriani 1806 ) ( Bessel 1825 ) ( Helmert 1880 ) ( Rainsford 1955 ) ( Rapp 1993 )。任意のfに対して、積分 (3) および (4) は数値積分によって、または楕円積分 で表現することによって求めることができます( Legendre 1806 ) ( Cayley 1870 ) ( Karney 2024 )。

Vincenty (1975) は、直接問題と逆問題の解を提供しています。これらは、平坦化に関して 3 次まで実行された級数展開に基づいており、約 の精度を提供します。 WGS84楕円体の場合、 0.1 mmの誤差が生じる。ただし、逆法はほぼ対蹠点では収束しない。

Karney (2013) は、| f | ≤ 1 ⁄ 50の場合に完全な倍精度精度を提供するのに十分である 6 次までの展開を続け、すべての場合で収束するように逆問題の解を改善します。

で定義される楕円体を考える $${\displaystyle h={\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{c^{2}}}=1,}$$ ここで、( X、Y、Z )は楕円体を中心とするデカルト座標であり、一般性を失うことなく、a ≥ b ≥ c > 0である。^{[ 5 ]}ヤコビ（1866年、§§26–27）は、次のように定義される（三軸）楕円体座標（三軸楕円体緯度と三軸楕円体経度、β、ω） を採用した。$${\displaystyle {\begin{aligned}X&=a\cos \omega {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}},\\[3mu]Y&=b\cos \beta \,\sin \omega ,\\[6mu]Z&=c\sin \beta {\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}.\end{aligned}}}$$b → a の極限では、β は扁平楕円体のパラメトリック緯度となるため、記号βの使用は前のセクションと一致します。ただし、ωは上で定義した球面経度とは異なります。^{[ 6 ]}

図 17 には、一定のβ (青色) とω (緑色)のグリッド線が示されています。これらは直交座標系を構成し、グリッド線は直角に交差します。楕円体の主断面は、X = 0およびZ = 0で定義され、赤色で示されています。3 番目の主断面Y = 0は、線β = ± 90°およびω = 0°または± 180°で覆われています。これらの線は、主曲率半径が等しい 4 つの臍点(この図には 2 つが示されています)で交わります。ここおよびこのセクションの他の図では、楕円体のパラメータはa : b : c = 1.01:1:0.8であり、 φ = 40°、λ = 30°の上方の点から正射投影で見ています。

楕円体座標のグリッド線は、次の3つの異なる方法で解釈できます。

1. これらは楕円体上の「曲率線」であり、主曲率の方向に平行である（モンジュ 1796 ）。
2. これらはまた、楕円体と一葉および二葉双曲面の共焦点系との交点でもある（デュパン 1813 、第 5 部）。
3. 最後に、これらは隣接する2つの臍点を用いて定義される測地線楕円と双曲線である（Hilbert & Cohn-Vossen 1952 、p. 188 ）。例えば、図17の一定βの線は、弦の両端を2つの臍点に固定した楕円の弦構成法を用いて生成することができる。

ヤコビは、楕円体座標で表された測地線方程式が変数分離可能であることを示した。以下は、彼が友人であり隣人でもあるベッセルにその発見を語った方法である（ヤコビ 1839 、ベッセルへの手紙）。

一昨日、私は3つの軸の長さが異なる楕円体上の測地線の問題を求積法に帰着させました。これらは世界で最も単純な公式であるアーベル積分であり、2つの軸の長さを等しくすると、よく知られている楕円積分になります。

ケーニヒスベルク、1938年12月28日。

ヤコビ（ヤコビ 1839 ）（ヤコビ 1866 、§28）によって与えられた解は $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta =&\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\qquad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}}$$ ヤコビが指摘するように、「角度βの関数は角度ωの関数に等しい。これら 2 つの関数は単なるアーベル積分である…」。解には2 つの定数δとγが現れる。通常、積分の下限を測地線の始点とし、測地線の方向をγで決定する場合、 δはゼロとなる。しかし、臍点から始まる測地線の場合、γ = 0となり、δ は臍点での方向を決定する。定数γ は次のように表すことができる。 $${\displaystyle \gamma ={\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta \,\sin ^{2}\alpha -{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigl )}\sin ^{2}\omega \,\cos ^{2}\alpha ,}$$ ここでαは測地線が一定のωの線となす角度である。b → aの極限では、これはsin α cos β = const.に帰着し、これはよく知られたクレローの関係である。ヤコビの結果の導出はDarboux (1894 、§§583–584 )によって与えられており、彼はLiouville (1846 )が一般の二次曲面に対して見つけた解を与えている。

周極測地線、ω ₁ =0°、 α ₁ =90°。

図18. β1 ₌45.1°。

図19. β1 ₌87.48°。

三軸楕円体には、 X = 0、Y = 0、Z = 0で与えられる楕円体の 3 つの主断面である 3 つの単純な閉じた測地線しかありません。^{[ 7 ]} 他の測地線を調査するには、中央の主断面Y = 0と直角に交わる測地線を考えるのが便利です。そのような測地線は図 18～22 に示されており、図 17 と同じ楕円体のパラメータと視線方向を使用しています。さらに、これらの各図では、3 つの主楕円が赤色で示されています。

始点がβ ₁ ∈ ( − 90°, 90°)、ω ₁ = 0、α ₁ = 90°の場合、γ > 0となり、測地線は「極周」の意味で楕円体を一周します。測地線は赤道の南北に振動し、振動ごとに楕円体の周囲を一周するよりもわずかに短い距離を回ります。典型的な場合、測地線は 2 つの緯線β = ± β ₁で囲まれた領域を埋めます。2 つの例を図 18 と 19 に示します。図 18 は、回転する扁平楕円体の場合とほぼ同じ挙動を示しています ( a ≈ bのため)。図 9 と比較してください。ただし、始点がより高い緯度にある場合 (図 18)、a ≠ bによる歪みが明らかになります。周極測地線へのすべての接線は、 β = β ₁ で楕円体と交差する共焦点単葉双曲面に接する（Chasles 1846 ）（Hilbert & Cohn-Vossen 1952 、pp. 223–224 ）。

極横断測地線、β ₁ =90°、 α ₁ =180°。

図20. ω ₁ =39.9°。

図21. ω ₁ =9.966°。

開始点がβ ₁ = 90°、ω ₁ ∈ (0°、180°)、α ₁ = 180°の場合、γ < 0となり、測地線は「極横断」の意味で楕円体を一周します。測地線は楕円X = 0の東西に振動し、各振動で楕円体の一周よりわずかに多く周回します。典型的な場合、これにより測地線は 2 つの経線ω = ω ₁とω = 180° − ω ₁で囲まれた領域を埋めます。a = b の場合、すべての経線は測地線です。a ≠ bの影響により、このような測地線は東西に振動します。2 つの例を図 20 と 21 に示します。極付近の測地線の収縮は、b → cの極限で消えます。この場合、楕円体は長楕円体となり、図20は図10（横向きに回転させたもの）に似る。トランスポーラ測地線へのすべての接線は、ω = ω ₁で楕円体と交差する共焦点二重シート双曲面に接する。

図18～21では、測地線は（ほぼ）閉じている。前述のように、典型的なケースでは、測地線は閉じておらず、緯度線（図18～19の場合）または経度線（図20～21の場合）で囲まれた領域を埋めている。

出発点がβ ₁ = 90°、ω ₁ = 0° (臍点)、α ₁ = 135° (測地線が楕円Y = 0から直角に離れる) の場合、γ = 0となり、測地線は反対側の臍点と繰り返し交差して出発点に戻ります。ただし、各周回で、測地線がY = 0と交差する角度は、0°または180°なので、漸近的に測地線は楕円Y = 0 ( Hart 1849 ) ( Arnold 1989 、p. 265 )上にあり、図 22 に示されています。 1 つの測地線は楕円体上の領域を埋めません。臍測地線へのすべての接線は、臍点で楕円体と交差する共焦点双曲線に接します。

臍帯測地線には、いくつかの興味深い特性があります。

• 楕円体上の任意の点を通る臍点測地線は2本存在する。
• 対向する臍点間の測地距離は、測地線の初期方向に関係なく同じである。
• 楕円X = 0およびZ = 0上の閉じた測地線は安定している（初期状態で楕円に近く、ほぼ平行な測地線は楕円に近いままである）のに対し、4 つの臍点すべてを通る楕円Y = 0上の閉じた測地線は指数関数的に不安定である。摂動を受けると、平面Y = 0から大きく外れて回転し、再び平面に近い位置に戻る。（この挙動は、初期摂動の性質によっては繰り返される可能性がある。）

測地線の始点Aが臍点でない場合、その包絡線はβ = − β ₁上に 2 つの尖点があり、残りの 2つの尖点がω = ω ₁ + π上にあるアステロイドです。Aの切断軌跡は、これらの尖点の間の直線β = − β ₁の部分です。