大圏航法

大圏航法または正航法（正航路に関連、古代ギリシャ語の ορθός ( orthos )  「直角」とδρόμος ( drómos ) 「道」に由来）は、船舶（船または航空機）を大圏に沿って航行する 方法である。このような航路は 、地球上の2点間の距離が最短となる。 ^[1]

大圏経路は球面三角法を使って求めることができる。これは逆測地問題の球面版である。航海士がP ₁  = (φ ₁ ,λ ₁ ) から出発し、大圏をP ₂  = (φ ₂ ,λ ₂ ) の地点まで移動することを計画している場合 (図 1 を参照、φ は緯度、正の北向き、λ は経度、正の東向き)、初期経路 α ₁と最終経路 α _{2 は}球面三角形を解く公式によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\ sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{整列}}}$

ここでλ ₁₂  = λ ₂  − λ ₁ ^{[注 1]であり、α} ₁、α ₂ の象限は正接公式の分子と分母の符号によって決定される（例えばatan2関数を使用）。2点間の中心角σ ₁₂は次のように与えられる。

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _ {2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _ {12}}}.}$^{[注2] [注3]}

(この式の分子には、tan α _{1 を}決定するために使用された量が含まれています。) 大円に沿った距離はs ₁₂  =  R σ ₁₂になります。ここで、 Rは地球の想定半径、 σ _{12 は}ラジアンで表されます。平均地球半径を使用すると、R  =  R _{1 ≈ 6,371 km (3,959 mi) で、距離}s ₁₂ の結果は、 WGS84楕円体の測地線の長さの 1% 以内になります。詳細については、 楕円体上の測地線を参照してください。

海面を球面で近似すれば、最適方向の詳細な評価が可能になる。標準的な計算では、船舶を測地緯度 φ _sと測地経度 λ _sに配置する。ここで、φ は赤道の北側を正とし、λ はグリニッジの東側を正とする。球の中心を中心とする地心座標系では、直交座標成分は

${\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s} \sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}$

そして目標位置は

${\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t} \sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right)。}$

北極は

${\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

最小距離 dは、 sとtを通る大円に沿った距離です。これは、球の中心と大円を含む平面で計算されます。

${\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}$

ここで、θは球の中心から見た2点の角度距離で、ラジアンで測定されます。角度のコサインは、 2つのベクトルの ドット積によって計算されます。

${\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}$

船が北極に向かってまっすぐ進む場合、移動距離は

${\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}$

船がtから出発し、北極までまっすぐ泳ぐ場合、移動距離は

${\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}$

球面三角法の余弦公式[ ^4]は、一方で北を指し、他方で tを指すsを通る大円の間の角度pについて、

${\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}$

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}$

正弦の公式は

${\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}$

これをsin θ _s,tについて解き、前の式に代入すると、位置角の正接を表す式が得られる。

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}$

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}$

簡単な導出では、0 からπの間の角度が得られますが、その角度の符号（北の西か東か？）はわかりません。そのため、逆正接の正しい分岐を使用して-π≤p≤πの全範囲の角度を生成できるように、pの正弦と余弦を別々に生成する、より明確な導出が望まれます。

計算は、 sとt の間の大円の構築から始まります。大円は、球の中心、 s、t を含む平面にあり、軸ωの周りで角度θ _{s,t だけ}s を回転させて構築されます。軸は大円の平面に垂直で、2 つの位置の正規化されたベクトル外積によって計算されます。

${\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}$

球の中心を中心とする右手傾斜座標系は、次の3つの軸で表されます。軸s、軸

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)}$

そして軸ωである。大円に沿った位置は

${\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}$

コンパス方向は、2つのベクトルsとs⊥_を挿入し、 θ=0におけるθに対するベクトルの勾配を計算することによって与えられます。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}$

角度p は、点sにおける球面の接線方向の平面内でこの方向を 2 つの直交方向に分割することによって与えられます。2 つの方向は、単位長さに正規化されたsのφおよびλに対する偏微分によって与えられます。

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}$

位置sにおいて、 u _{N は}北を指し、 u _{E は}東を指します。位置角p はs _{⊥ を}この2つの方向に投影します 。

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}$、

ここで、正の符号は、正の位置角が北から東に向かっていることを意味します。pのコサインとサインの値は、この式の両辺に2つの単位ベクトルを掛け合わせることで計算されます。

${\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];}$

${\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].}$

s _⊥の複雑な式を挿入する代わりに、評価では三重積が引数の循環シフトに対して不変であることを利用することができます。

${\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}$

atan2を使用して値を計算する場合、 cos φ _tによる除算とsin θ _s,t による乗算によって両方の式を簡約できます。これらの値は常に正であり、その演算では符号が変わらないためです。

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}$

ウェイポイント、つまりP ₁とP ₂の間の大円上の選択された点の位置を 見つけるには、まず大円をそのノード A、つまり大円が北方向に赤道を横切る点まで外挿します。この点の経度を λ ₀とします（図1を参照）。この点の方位角α ₀は次のように与えられます。

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$^[注4]

大円に沿ったAからP ₁とP ₂ までの角度距離をそれぞれσ ₀₁とσ _{02とします。}ネイピアの法則を 用いると、

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(φ ₁  = 0 および α ₁  =  1 ⁄ 2 π の場合、σ ₀₁  = 0 を使用します)。

これにより σ ₀₁が得られ、σ ₀₂  = σ ₀₁  + σ ₁₂となります。

ノードの経度は

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}$

最後に、任意の点P （図2参照）における位置と方位角を、直接測地線問題の球面版によって計算する。^[注5]ネイピアの法則によれば、

${\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$^{[注 6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}$

_{σ 01 、λ、α を決定するには、} atan2関数を使用する必要があります。たとえば、経路の中点を見つけるには、σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ) を代入します。または、開始点から距離d の点を見つけるには、σ = σ ₀₁  +  d / Rを使用します。同様に、頂点、つまり大円上の最大緯度の点を見つけるには、σ = + 1 ⁄ 2 π を代入します。経路を経度でパラメータ化するには、次のようにすると便利です。

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$^{[注 7]}

一定の間隔で経度ごとに緯度を求め、その結果の位置をメルカトル図法に転送すると、一連の等角線で大円を近似することができます。このようにして決定された経路は、座標が 楕円体上の地理座標として解釈される 場合、端点を結ぶ大楕円を与えます。${\displaystyle (\phi ,\lambda )}$

これらの公式は、地球の球形モデルに適用されます。また、回転楕円体上の最短経路、つまり測地線を見つけるための手段である補助球面上の大円を求める際にも使用されます。楕円体上の測地線に関する記事を参照してください。

バルパライソ（φ ₁  = −33°、λ ₁  = −71.6°） から上海（φ ₂  = 31.4°、λ ₂ = 121.8°）までの大圏ルートを計算します 。

進路と距離の公式は、λ ₁₂  = −166.6°、^[注8] α ₁  = −94.41°、α ₂  = −78.42°、σ ₁₂  = 168.56°となる。地球の半径をR = 6371 kmと すると 、距離は s ₁₂  = 18743 kmとなる。

ルート沿いの点を計算するには、まず α ₀  = −56.74°、σ ₀₁  = −96.76°、σ ₀₂  = 71.8°、λ ₀₁  = 98.07°、λ ₀  = −169.67° を求めます。次に、ルートの中点を計算するには (たとえば)、σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ) = −12.48° を取り、φ = −6.81°、λ = −159.18°、α = −57.36° を解きます。

測地線をWGS84楕円体上で正確に計算すると、^[5]の結果はα1 = −94.82°、α2 = −78.29°、s12 = 18752 kmとなる_。 測地_線 の 中点はφ = −7.07°、λ = −159.31°、α = −57.45 _° である。

心距図に描かれた直線は大円の一部です。これをメルカトル図に転記すると曲線になります。位置は経度の都合のよい間隔で転記され、この軌跡がメルカトル図にプロットされて航行に使用されます。

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• Great Circle – MathWorld の Great Circle の説明、図、方程式。Mathworld、Wolfram Research, Inc. c1999
• 大圏マップ 球体上に大圏ルートをプロットするためのインタラクティブ ツール。
• Great Circle Mapper 大圏ルートをプロットするためのインタラクティブ ツール。
• 2 点間の (初期) コースと距離を導出する大円計算機。
• 大円距離 地図上に大円を描くためのグラフィカル ツール。距離と方位も表で表示されます。
• 正順航法ナビゲーションのための Google アシスタンス プログラム